人教版13.1.2 线段的垂直平分线的性质第1课时教案

第十三章 轴对称

13.1  轴对称

13.1.2   线段的垂直平分线的性质

第1课时   线段的垂直平分线的性质与判定

一、教学目标

1.理解并掌握线段垂直平分线的性质和判定的内容.

2.熟练运用线段垂直平分线的性质和判定进行计算与证明.

3.会用尺规过直线外一点作已知直线的垂线.

二、教学重难点

重点：线段垂直平分线的性质和判定的内容.

难点：运用线段垂直平分线的性质和判定进行计算与证明.

三、教学过程

【新课导入】

[复习导入]1.什么是轴对称图形？

（如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称.）

2.线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？

（线段是轴对称图形，它的对称轴是这条线段的垂直平分线.）

3.什么是线段的垂直平分线？

（经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.）

教师带领学生复习旧知，鼓励学生积极的投入到活动中，为这节课做准备,尤其强调线段的垂直平分线的定义.

【新知探究】

知识点1   线段垂直平分线的性质

[提出问题]如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到点A和点B的距离，你有什么发现？

[动手操作]1.学生用练习本上先作出线段AB，过AB中点作 AB的垂直平分线l，在l上取P1、P2、P3…连接AP1、AP2、AP3、BP1、BP2、BP3…

2．作好图后，用直尺量出AP1、AP2、AP3、BP1、BP2、BP3的长度…之后小组讨论发现了什么样的结论？．

(经测量可以发现，点P1，P2，P3，…到点A的距离与它们到点B的距离分别相等，即 P1A =P1B，P2A = P2B，P3A=P3B.)

[提出问题]如果把线段AB沿直线l对折，还有同样的发现吗？

[动手操作]学生把线段AB沿直线l对折，发现线段P1A与P1B，线段P2A与P2B，线段P3A与P3B……都是重合的，因此它们也分别相等.

[提出问题]你能证明你得到的结论吗？

[小组讨论]学生之间进行讨论，教师提醒学生科利用三角形全等来证明.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下验证过程：

已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上．

求证：PA=PB．

证明：∵l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB．

又CA=CB，PC =PC，

∴△PCA≌△PCB（SAS）．

∴PA=PB．

[归纳总结]线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

该性质定理的几何语言：

∵直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上，

∴PA=PB.

同时提醒学生，该性质定理可判断两线段是否相等.

[课件展示]跟踪训练

如图，在△ABC中，ED垂直平分AB，交AB于点D ,交AC于点F，交BC的延长线于点E,若BF=6，CF=2，则AC的长为　  8 　.

知识点2   线段垂直平分线的判定

[提出问题]将线段垂直平分线的性质定理的条件与结论反过来，即如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？

[小组交流]学生小组间讨论，画出图形，写出已知、证明，之后代表发言.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下验证过程：

已知：如图，P是线段AB外一点，且PA=PB．

求证：点P在线段AB 的垂直平分线上．

证明：如图，过点P 作PC⊥AB 于点C，

则∠PCA =∠PCB =90°．

在Rt△PCA和Rt△PCB中，

    PA=PB，

PC=PC，

∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC=BC．

又PC⊥AB，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上．

[归纳总结]线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

该判定定理的几何语言：

∵PA=PB，

∴点P在线段AB的垂直平分线上.

同时提醒学生，该判定定理可判断一个点是否在线段的垂直平分线上.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下两道例题：

例1   如图,在ΔABC中,边AB的垂直平分线EF交BC的垂直平分线MN于点P，连接AP，BP，CP.求证：AP=BP=CP.

证明：∵点P在线段AB的垂直平分线MN上，

∴AP=BP.

同理  BP=CP.

∴AP=BP=CP.

例2   如图,在ΔABC中,边AB的垂直平分线EF交BC的垂直平分线MN于点P.求证：点P在AC的垂直平分线上.

证明：连接AP，BP，CP.

∵AB的垂直平分线EF交BC的垂直平分线MN于点P，∴PA=PB, PB=PC.∴PA=PC.

∴点P在AC的垂直平分线上.

由例1和例2可知：三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.

[归纳总结]小结：从线段垂直平分线的性质和判定可以看出，在线段AB的垂直平分线l上的点与点A，B的距离都相等，反过来，与A，B的距离相等的点都在l上，所以直线l可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合.

知识点3尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线

[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：

例3  尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.

已知：直线AB和AB外一点C(如图） .

求作：AB的垂线，使它经过点C .

作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.

（2）以点C 为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E.

（3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.

（4）作直线CF.

直线CF就是所求作的垂线.

[提出问题]为什么直线CF就是所求作的垂线？

[小组讨论]学生分组讨论，之后代表回答，其他代表补充，之后教师纠错.（因为DF=EF，根据垂直平分线的判定定理即可得到.）

【课堂小结】

【课堂训练】

1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，AD=3，PD=4，则线段PB的长为（  B  ）

A.  6              B.  5          C.   4         D. 3

2.（2021•梧州）如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，分别交边AB，BC于点D，E，且AB＝9，AC＝6，则△ACD的周长是（　C　）

A．10.5      B．12           C．15      D．18

【解析】∵DE是△ABC的边BC的垂直平分线，

∴BD＝CD，

∴△ACD的周长＝AD+CD+AC＝AD+BD+AC＝AB+AC，

∵AB＝9，AC＝6，∴△ACD的周长＝9+6＝15．

故选C．

3.如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.则图中相等的线段有         OC=OD，AO=OB，且AC=BC=AD=BD                                .

4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°, BD平分∠ABC，交AC于点D，DE垂直平分AB交AB于点E，若DE=1 ,BD=2，则AC=3.

【解析】∵DE垂直平分AB，BD=2,

∴AD=BD=2.

∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，

∴CD=DE=1，

∴AC=AD+CD=2+1=3.故答案为3.

【变式】（2021•杭州二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，S△AED：S△ABC＝    1:3     ．

【解析】∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，

∴S△AED=S△BED.

∵∠C=∠BDE=90°，∠1=∠2，BE=BE，

∴△BDE≌△BCE（AAS）.

∴S△BED=S△BEC，∴S△ABC=3S△AED，∴S△AED：S△ABC=1：3．

故答案为1：3．

5.如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.求证：OE是CD的垂直平分线.

证明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,

∴DE=CE.

又OE=OE，

∴Rt△OED≌Rt△OEC.

∴DO=CO.∴OE是CD的垂直平分线.

6.如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，求证：AB+BD=DE.

证明：∵AD⊥BC，BD=DC，                

∴AB=AC.

∵点C在AE的垂直平分线上,       

∴AC=CE.

∴AB=AC=CE.

∴AB+BD=CE+DC=DE，即AB+BD=DE.

7. 如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E是AC上的一点，连接DE，BE，求证：∠ABE=∠ADE.

证明：连接DB.∵AB=AD，BC=DC,

∴点A和点C都在线段BD的垂直平分线上.

∴线段AC所在的直线是线段BD的垂直平分线.

∵E是AC上的一点，∴BE=DE.

在△ABE和△ADE中，

  AB=AD，   

  BE=DE，   

  AE=AE，

∴△ABE≌△ADE(SSS).∴∠ABE=∠ADE.

8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE=AF,请判断线段AD所在的直线是否为线段EF的垂直平分线.如果是，请予以证明；如果不是，请说明理由．

解：线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线.

证明如下：

方法一（定义法）：设AD与EF的交点为O.

∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD，

又AE=AF，AO=AO，∴△AOE≌△AOF（SAS）.

∴EO=FO，∠EOA=∠FOA.

又∠EOA+∠FOA=180°.

∴∠EOA=∠FOA=90°，即AO⊥EF.

∴线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线.

方法二（判定定理法）：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD，

又AE=AF，AD=AD，∴△ADE≌△ADF（SAS）.

∴DE=DF.∴点D在线段EF的垂直平分线上.

又AE=AF，∴点A在线段EF的垂直平分线上.

∴线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线.

提醒学生：判断线段垂直平分线的方法：（1）定义法；（2）判定定理法.应用时可根据题目特点灵活选择.

【教学反思】

本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因此本节课的教学效果较好，再通过跟踪训练和课堂训练这两个环节，不但使学生对所学的新知识得到及时巩固和提升，同时又使得还存在模糊认识的学生得到进一步澄清，这就让学生在学习新知识的第一时间得到最清晰的认识，这正是高效的价值所在．学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理理解不透彻，还需在今后的教学和作业中进一步进行巩固和提高．