沪教版（五四学制）初中数学 八年级上册 第十七章 一元二次方程 测试 (word版 含解析)

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一元二次方程
一．选择题（共8小题）
1．下列方程中，是一元二次方程的有　　
①；
②；
③；
④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
3．关于的方程有实数根，则的取值范围是　　
A．且 B． C．且 D．
4．方程的解为　　
A． B． C．或1 D．
5．已知关于的方程可以配方成的形式，则的值为　　
A．3 B．6 C． D．
6．用配方法将代数式变形，结果正确的是　　
A． B． C． D．
7．已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是　　
A． B． C． D．
8．某电动自行车厂四月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，六月份的产量提高到1210辆，则该厂五、六月份的月平均增长率为　　
A． B． C． D．

二．填空题（共15小题）
9．已知为一元二次方程的一个根，则代数式的值为　　．
10．若关于的一元二次方程的一个根为3，则　　．
11．若，为实数，，则　　．
12．已知，则　　．
13．方程的解是　　．
14．等腰三角形的两边恰为方程的根，则此等腰三角形的周长为　　．
15．在等腰三角形中，，，的长是关于的方程的两根，则的值是　　．
16．已知是一元二次方程的一个根，则的值为　　．
17．关于的方程有实数根，则实数的取值范围是　　．
18．若关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的取值范围是　　．
19．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　　．
20．参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握手45次，参加此次同学聚会共　　人．
21．某学习小组全体同学都为本组其他人员送了一张新年贺卡，若全组共送贺卡156张，设这个小组的同学共有人，可列方程：　　．
22．如图，在工地一边的靠墙处，用120米长的铁栅栏围一个占地面积为2000平方米的长方形临时仓库，并在其中一边上留宽为3米的大门，设无门的那边长为米．根据题意，可建立关于的方程是　　．

23．如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积刚好为，则此时花圃段的长为　　．


三．解答题（共5小题）
24．按要求解下列万程：
（1）（因式分解法）；
（2）（求根公式法）．


25．解方程：
（1）（配方法）；
（2）（公式法）．


26．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论为任意实数，方程总有实数根．
（2）如果这个方程的根的判别式的值等于1，求方程的解．


27．先阅读下面的内容，再解决问题：
例题：若，求和的值．
，
．
．
，．
，．
问题：
（1）已知，求的值．
（2）已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围．


28．阅读材料：数学课上，陈老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：，
因为，
所以，
当时，，
因此有最小值1，即的最小值为1．
通过阅读，解下列问题：
（1）代数式的最小值为　　；
（2）求代数式的最大值或最小值；
（3）试比较代数式与的大小，并说明理由．

一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【分析】一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
【解答】解：①符合一元二次方程的定义，故符合题意；
②中，当时，它不是一元二次方程，故不符合题意；
③由得到：，属于一元一次方程，故不符合题意；
④不是整式方程，故不符合题意．
故选：．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．【分析】根据一元二次方程定义可得，再解可得答案．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足4个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2；
④二次项的系数不等于0．
3．【分析】分为两种情况：①当，②，根据已知得出△，求出即可．
【解答】解：分为两种情况：①当时，，
解得：；
②当时，关于的方程有实数根，
△，
解得：，
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式的应用，能得出关于的不等式是解此题的关键，
4．【分析】利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：原方程变形为：，
，
或．
故选：．
【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
5．【分析】将变形为，根据可以配方成的形式知，据此求出的值，从而得出答案．
【解答】解：，
，
可以配方成的形式，
，
则，
，
故选：．
【点评】本题主要考查解一元二次方程配方法，解题的关键是根据题意求出的值．
6．【分析】根据配方时，常数项等于一次项系数一半的平方，可对变形为，然后配方即可得出答案．
【解答】解：

．
故选：．
【点评】本题考查了配方法在代数式变形中的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．
7．【分析】先利用配方法对含的式子和含有的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出和的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．
【解答】解：，
，
，
，，
，，
，．
三角形的三条边为，，，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．
8．【分析】设该厂五、六月份的月平均增长率为，根据该厂四月份及六月份的产量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设该厂五、六月份的月平均增长率为，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题（共15小题）
9．【分析】利用一元二次方程的解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：为一元二次方程的一个根．
，
即，
．
故答案为2020．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
10．【分析】把代入原方程得，然后的值．
【解答】解：把代入方程，得，
所以．
故答案是：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
11．【分析】设，则原方程变为，解关于的方程求得的值，进而即可求得的值．
【解答】解：设，则原方程变为，
即，
，
，，
，
，即，
．
故答案为36．
【点评】本题考查了解一元二次方程、解根式方程和分解因式等知识点，能正确进行换元是解此题的关键．
12．【分析】设，把原方程转化为含的一元二次方程，先用因式分解法求解，再确定的值．
【解答】解：设，原方程可变形为：，
即．
，
解得，．
，
．
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，掌握换元法和解一元二次方程的因式分解法是解决本题的关键．
13．【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：，
，
则，
或，
解得，．
故答案为：，．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
14．【分析】先利用因式分解法中的十字相乘法求得方程的根，再利用三角形的三边关系及等腰三角形的性质求得答案即可．
【解答】解：，
，
或，
，，
等腰三角形的两边恰为方程的根，且，
该三角形的三边分别为2，5，5，
此等腰三角形的周长为：．
故答案为：12．
【点评】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程在几何图形问题中的应用，熟练掌握一元二次方程的解法和三角形的三边关系是解题的关键．
15．【分析】当时，根据判别式的意义得到△；当或，把代入方程得，然后分别解关于的方程即可．
【解答】解：为等腰三角形，
或或，
当时，△，解得，此时，满足条件；
当或，把代入方程得，解得，解得，，即、的长为6、4，满足条件；
综上所述，的值为25或24．
故答案为25或24．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．也考查了等腰三角形的性质和三角形三边的关系．
16．【分析】首先把代入一元二次方程中得到关于的方程，然后解关于的方程即可求出结果．
【解答】解：是一元二次方程的一个根，
，
，
，
解得或，
当时，不合题意，
．
故答案为：．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．
17．【分析】根据一元二次方程的根的判别式即可求出答案．
【解答】解：当时，△，
，
且，
当时，
此时方程为，满足题意，
故答案为：．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解根的判别式，本题属于基础题型．
18．【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围．
【解答】解：根据题意得：△，且，
解得：且．
故答案为：且．
【点评】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键．
19．【分析】若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式△，建立关于的不等式，求出的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
【解答】解：方程有两个实数根，
根的判别式△，
即，且．
故答案为：，且．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
20．【分析】根据“见面时每两人都握了一次手，所有人共握手45次”，设有个同学参加这次聚会，列出关于的一元二次方程，解之即可．
【解答】解：根据题意得：
，
解得：（舍去），，
答：这次同学聚会有10人，
故答案为：10．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确找到等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
21．【分析】设这个小组的同学共有人，则每人送张贺卡，根据送出贺卡的总数小组人数每人送出贺卡数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设这个小组的同学共有人，则每人送张贺卡，
根据题意得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．【分析】等量关系为：（铁栅栏长围成矩形的面积，把相关数值代入即可．
【解答】解：设无门的那边长为米，
则平行于墙的一面长为，
工地面积为．
故答案为．
【点评】考查列一元二次方程；得到平行于墙的一面长是解决本题的易错点．
23．【分析】设米，则米，根据围成的花圃的面积刚好为40平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合的长度不超过11米，即可确定的值，此题得解．
【解答】解：设米，则米，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
故答案为：4．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
24．【分析】（1）十字相乘法因式分解，再求解即可；
（2）写出、、的值，然后利用求根公式法求解．
【解答】解：（1），
因式分解得，，
由此得，，，
所以，，；

（2），
，，，
△，
，
，．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据题目要求的方法求解．
25．【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；
（2）方程利用公式法求出解即可．
【解答】解：（1）方程整理得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，；
（2），，，
△，
解得：，
解得：，．
【点评】此题考查了解一元二次方程公式法，以及配方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
26．【分析】（1）先计算判别式的值得到△，配方得△，再根据非负数的性质得到△，然后根据判别式的意义即可得到结论．
（2）利用判别式的定义得到△，解的方程，再利用一元二次方程的定义确定，即可求得一元二次方程为，因式分解法解方程即可求得方程的解．
【解答】解：（1）关于的一元二次方程．
△，
无论为任何实数，方程总有实根．
（2）由题意得，△，
解得，，
而，
，
关于的一元二次方程为．
，
解得，．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
27．【分析】（1）已知等式利用完全平方公式整理配方后，根据非负数的性质求出与的值，即可解答；
（2）已知等式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出与的值，根据三角形三边关系即可求出的范围．
【解答】解：（1），
，
，
，，
，
；
（2），
，
，
，，
，，
，
是中最长的边，
．
【点评】此题考查了配方法的应用，非负数的性质：偶次幂，以及三角形三边关系，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
28．【分析】（1）根据题意给出的方法即可求出答案；
（2）根据配方法即可求出答案．
（3）先作差，然后利用配方法即可求出答案．
【解答】解：（1），
的最小值1；
（2），
由于，所以
当时，，
则最大值为2；
（3）

由于

即
【点评】本题考查配方法，解题的关键是正确理解配方法，本题属于基础题型．