17.1 一元二次方程（讲+练，四大题型）-八年级数学上册同步讲与练（沪教版）

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17.1 一元二次方程学习目标： 1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各项系数；2.根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.重点：理解并能灵活运用一元二次方程的概念解决有关问题.难点：根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型.知识点一 一元二次方程1.一元二次方程的概念等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。2.一元二次方程必须同时满足的条件(1)是整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2 例如3x2-x+1=0, 52y-y2=8都是一元二次方程，而xy-x²=0 (不满足“只含有一个未知数”),x³-4x=0 (不满足“未知数的最高次数是2”)都不是一元二次方程。即学即练 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ）答案：C判断一元二次方程的方法先看方程等号两边是不是整式，如果是整式，再移项、合并同类项，使方程等号右边为0,最后观察其是否还同时具备“只含有一个未知数”“未知数的最高次数是2”这两个条件，若同时具备了，则方程是一元二次方程，否则不是.定义中“等号两边都是整式”是指原方程中等号两边都是整式，而不是“整理合并(整理合并是指去分母、去括号、移项和合 并同类项)”之后都是整式，定义中“只含有一个未知数(一元), 并且未知数的最高次数是2(二次)”这句话，是对将方程“整理合并”之后而言的，当方程中二次项系数含有字母时，若字母的取值范围不明确，则这个方程不一定是一元二次方程。知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0(a≠0): 其中ax² 是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项注意：（1）a≠0是一元二次方程的必要条件.（2）如果明确指出方程ax²+bx+c=0是关于x的一元二次方程，那么就隐含了a≠0这一重要条件。学生：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？老师：即学即练 将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数.解：去括号，得：3x²－3x=5x+10. 移项、合并同类项，得该方程的一般形式为 3x²－8x－10=0.其中二次项是 3x²，系数是 3；一次项是－8x，系数是－8；常数项是－10.(1)一元二次方程一般形式的特点为方程右边是0,方程左边是关 于x 的二次整式(2)“a≠0”是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分，也 是考查一元二次方程的定义的重点，但b,c可以为0.(3)要确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数与常数项，必须先将一元二次方程化为一般形式，二次项系数、一次项系数与常数项都包括它们前面的符号.如4x²-3x-2=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为4,-3,-2.(4)通常情况下，方程整理为一般形式时，将二次项系数化为正数.知识点三 一元二次方程的解(根)1.一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.2.判断一个数是不是一元二次方程的解的方法将此数代入一元二次方程，若能使方程左右两边相等，则这个数是一元二次方程的解；反之，它不是一元二次方程的解。即学即练 下面哪些数是方程 x2–x–6 = 0的解? -4，-3， -2，-1，0，1，2，3，4所以x=－2，x=3是方程 x2–x–6 = 0的解.题型一 一元二次方程的定义例1（2023秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期末）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）A．2x2=5x-1 B．x+1x=2C．x-3x+1=x2-5 D．3x-y=5【答案】A【分析】利用一元二次方程的定义，即可找出结论．【详解】解：A．方程2x2=5x-1是一元二次方程，选项A符合题意；B．方程x+1x=2是分式方程，选项B不符合题意；C．原方程整理得2x-2=0，该方程为一元一次方程，选项C不符合题意；D．3x-y=5是二元一次方程，选项D不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．举一反三1 （2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）下列方程是一元二次方程的是（　　）A．x2=2 B．1x2+x=2 C．x2+2y-1=0 D．x2-5=xx-1【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．【详解】解：A．x2=2是一元二次方程，故此选项符合题意；B．1x2+x=2是分式方程，故此选项不符合题意；C．x2+2y-1=0是二元二次方程，故此选项不符合题意；D．x2-5=xx-1化简以后不含二次项，所以不是一元二次方程，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：（1）一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；（2）一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0a≠0．掌握一元二次方程的定义是解题的关键．举一反三2 （2022秋·上海青浦·八年级校考期中）下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（    ）．A．ax2+bx+c=0（其中a、b、c是常数） B．x2=-2C．2x2+5x-7=x2x+1 D．1x2-x2+3=0【答案】B【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．【详解】解：A、当a=0时，方程ax2+bx+c=0不是一元二次方程，不符合题意；B、x2=-2是一元二次方程，符合题意；C、2x2+5x-7=x2x+1整理之后为5x-7=x，是一元一次方程，不符合题意；D、1x2-x2+3=0，分母中含有未知数，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，一般形式为：ax2+bx+c=0a≠0．题型二 一元二次方程的一般形式例2 （2022秋·上海奉贤·八年级校联考期中）当m 时，方程mx2-2x=x2+3是一元二次方程．【答案】m≠1【分析】先将方程整理为一元二次方程的一般式，再使二次项系数不为0即可求解．【详解】解：将方程mx2-2x=x2+3化为m-1x2-2x-3=0，∵方程mx2-2x=x2+3是一元二次方程，∴m-1≠0，则m≠1，故答案为：m≠1．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0中a≠0是解答的关键．举一反三1 （2021秋·上海杨浦·八年级统考期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9的常数项为0，则m的值为 ．【答案】-3【分析】根据题意可得：m2-9=0 且m-3≠0 ，即可求解．【详解】解：将一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9整理得：（m﹣3）x2﹣3x+m2-9=0，∵关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9的常数项为0，∴m2-9=0 且m-3≠0 ，解得：m=-3 ．故答案为：-3【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义和一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0a≠0 是解题的关键．举一反三2 （2020秋·上海·八年级统考期中）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（    ）A．x-1x+3=0 B．ax2+bx+c=0（其中a、b、c是常数）C．1x2-x2=1 D．x-3x-2=x2-1【答案】A【分析】先将各选项一元二次方程不是一般形式的化为一般形式，然后根据一元二次方程的定义逐一判断即可．【详解】解：A．(x-1)(x+3)=0，整理，得x2+2x-3=0，是一元二次方程，故符合题意；B．当a=0时，ax2+bx+c=0（其中a、b、c是常数）不是一元二次方程，故不符合题意；C．1x2-x2=1不是整式方程，所以不是一元二次方程，故不符合题意；D．(x-3)(x-2)=x2-1，整理，得5x-7=0，不是一元二次方程，故不符合题意．故选A．【点睛】此题考查的是一元二次方程的判断，掌握一元二次方程的定义及一般形式是解题关键．题型三 一元二次方程的解例3 （2022秋·上海静安·八年级上海市民办扬波中学校考期中）若x=-1是方程x2-mx-3=0的一个根，则m的值为 ．【答案】2【分析】根据一元二次方程的解的定义将x=-1代入方程x2-mx-3=0，列出关于m的方程，通过解方程求得m的值即可．【详解】解：∵x=-1是方程x2-mx-3=0的一个根，∴1+m-3=0，解得：m=2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是根据题意得出1+m-3=0．举一反三1 （2022秋·上海虹口·八年级校考期中）关于x的方程2x2-(m+4)x+m-6=0有一个根为零，那么m= ．【答案】6【分析】将x=0代入原方程，得到新的方程，求解即可得到m的值．【详解】解：关于x的方程2x2-(m+4)x+m-6=0有一个根为0，即x=0，∴m-6=0，解得：m=6，故答案为：6．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，方程的解是能使方程两边左右相等的未知数的值．举一反三2 （2022秋·上海金山·八年级校联考期末）已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+m-3=0的一个根是0，那么m= ．【答案】3【分析】根据一元二次方程的定义得到m-1≠0，由方程的解的定义，把x=0代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．【详解】解：∵关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+m-3=0的一个根为0，∴m-3=0，且m-1≠0，解得，m=3，故答案是：3．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程的定义．注意二次项系数不等于零．题型四 一元二次方程的解的估算例4 （2023秋·陕西西安·九年级西安市第八十五中学校考开学考试）根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是(   )A．30，∴关于x的方程ax2+bx+c=0 a≠0的一个解x的范围是3.24