高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积优秀课后练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积优秀课后练习题，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高中数学高一下 人教2019A版必修第二册
8-3简单几何体的表面积与体积 课时练习
一、单选题
1．过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则圆柱的侧面积是（    ）
A． B． C． D．
2．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积为（    ）
A．160 B．80 C．100 D．120
3．将一个斜边为2的等腰直角三角形绕直角边旋转一周形成的几何体的体积为（    ）
A． B． C． D．
4．《九章算术》中，将两底面为直角三角形的正柱体，亦即长方体的斜截平分体，称为堑堵.今有如图所示的堑堵形状容器装满水，当水量使用了一半时，水面高度占的（    ）

A． B．
C． D．
5．已知长方体全部棱长的和为，表面积为，则其体对角线的长为（    ）
A． B． C． D．
6．已知四面体的棱长都等于2，那么它的外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
7．如图所示，平行四边形中，，且.将其沿折成直二面角，所得的四面体的外接球表面积为（    ）

A． B． C． D．
8．已知三棱锥，在底面中，，，面，，则此三棱锥的外接球的表面积为（     ）
A． B． C． D．
9．在边长为6的菱形中，，现将沿折起，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
10．一个圆柱内接于一个底面半径为2，高为4的圆锥，则内接圆柱侧面积的最大值是（    ）
A． B． C． D．
11．若一个三棱锥的底面是斜边长为的等腰直角三角形，三条侧棱长均为，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
12．已知四棱锥的所有顶点都在同一球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于，则球的体积等于（    ）
A． B． C． D．

二、填空题
13．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中B，C分别是上、下底面圆的圆心，且，则该陀螺下半部分的圆柱的侧面积与上半部分的圆锥的侧面积的比值是______．

14．由正三棱锥截得的三棱台的高为，，．若三棱台的各顶点都在球的球面上，则球的表面积为______．
15．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术・商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术・商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC，其中平面，，，则四面体PABC的外接球的表面积为______．

16．如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长度都是2，则它的外接球的体积是___________.
17．某几何体的三视图如下图所示，俯视图是边长为4的正三角形，则此几何体的表面积为_________.


三、解答题
18．如图，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3.

（1）求正三棱锥的表面积；
（2）求正三棱锥的体积.
19．已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为.

（1）求圆锥的底面积；
（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.
20．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，求所需纸的最小面积．
21．如图是边长为1的正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、的中点，现在沿三角形GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块的体积是原正方体的几分之几？

22．已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为.

(1)求圆锥的底面积；
(2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的高.
23．如图，是圆柱的一条母线，是圆柱的底面直径，在圆柱下底面圆周上，是线段的中点．已知．

（1）求圆柱的侧面积；
（2）求证：．

答案：
1．B
【分析】根据截面是面积为16的正方形可求底面圆的半径以及圆柱的高，进而可求圆柱的侧面积.
【详解】如图所示，过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是正方形ABCD，
面积为16，故边长，
即底面半径，侧棱长为，
则圆柱的侧面积是，
故选：B.

2．A
【分析】由已知条件求得底面菱形的两条对称线长，从而求得菱形的边长，由侧面积公式可得侧面积．
【详解】设底面边长是a，底面的两条对角线分别为l1，l2，
所以＝152－52，＝92－52.
又，
即152－52＋92－52＝4a2，所以a＝8，
所以S侧＝ch＝4×8×5＝160.
故选：A．

3．C
【分析】由题意旋转后的几何体圆锥，由题意求出其底面半径和高，从而可得出答案.
【详解】设为斜边为2的等腰直角三角，将其绕直角边旋转一周形成圆锥，如图
则,
则圆锥的底面圆的半径为 ，高为
所以其体积为
故选：C

4．C
【分析】由题意结合柱体的体积公式可知高没变，底面积变为一半，而底面是等腰直角三角形，从而可求出边长间的关系，进而可求得答案
【详解】水的一半就是体积的一半，柱体体积公式是底面积乘高，高没变，底面积变为一半，
因为底面是等腰直角三角形，所以边长变为AB的，
所以水面高度占AB的，
故选：C.
5．A
【分析】利用，可得对角线的长.
【详解】设长方体的三条棱的长分别为：，
则，
可得对角线的长为．
故选：A．
6．C
【分析】根据正四面体的特征可知球心在高上，根据勾股定理，即可 求解半径，进而根据表面积公式即可求解球的表面积.
【详解】如图，正四面体棱长为2，平面于，则是中心，

，平面，平面，则，
设外接球球心为，则在，则为外接半径，
由得，解得，
所以其外接球的表面积为，
故选：C．
7．D
【解析】由面面垂直的性质定理可得出平面，求出的外接圆半径，利用公式可求得外接球的半径，然后利用球体的表面积公式可得出结果.
【详解】翻折前且，，则，
翻折后，平面平面，平面平面，平面，
平面，
的外接圆直径为，，
所以，四面体的外接球半径为，
因此，外接球的表面积为.
故选：D.
8．D
【分析】利用正弦定理求出的外接圆半径为1，结合面，求出外接球半径，进而求出外接球的表面积.
【详解】设的外接圆半径为R，因为，，由正弦定理得：，所以的外接圆半径为1，设球心O在的投影为D，则DA=1，因为面，，故，由勾股定理得：，即此三棱锥的外接球的半径为2，故外接球表面积为.

故选：D
9．A
【分析】当三棱锥的体积最大值时，平面平面，即可求出外接圆的半径，从而求出面积.
【详解】当三棱锥的体积最大值时，平面平面，如图，

取的中点为，连接，则.
设分别为，外接圆的圆心，为三棱锥的外接球的球心，
则在上，在上，且,
且平面，平面.
平面平面，平面平面，平面
平面，，同理
四边形为平行四边形
平面，平面
，即四边形为矩形.


外接球半径
外接球的表面积为
故选：A.
10．D
【解析】设内接圆柱的底面半径为，根据题中条件，得到内接圆柱的高，由圆柱的侧面积公式，表示出侧面积，进而可求出结果.
【详解】
圆锥的底面半径为2，高为4，
设内接圆柱的底面半径为，
则它的上底面截圆锥得小圆锥的高为，
因此，内接圆柱的高；
圆柱的侧面积为，
令，当时，；
所以当时，，
即圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，最大值为.
故选：D.
11．D
【分析】根据侧棱相等的三棱锥的顶点在底面的投影为底面三角形的外心，而球心在过底面三角形外心且与底面垂直的直线上，构造三角形借助勾股定理可解.
【详解】三条侧棱棱长相等，
∴P在底面的射影D是的外心，
又∵是斜边为BC的等腰直角三角形，
∴D是BC中点，
易知直线PD上的点到A、B、C的距离相等，故三棱锥外接球的球心O在直线PD上，
记球的半径为R，则直角三角形BOD中有
，
，故外接球表面积为.
故选：D

12．C
【分析】由条件可得球心为正方形的中心，当此四棱锥的高为球的半径时，此四棱锥体积取得最大值. 设球的半径为,则，可得为等边三角形，根据条件可得，从而得出答案.
【详解】四棱锥的所有顶点都在同一球面上，
底面是正方形且和球心在同一平面内,
所以球心为正方形的中心，
当此四棱锥的高为球的半径时，此四棱锥体积取得最大值.
此时四棱锥为正四棱锥.
设球的半径为，则,

为等边三角形，则
所以此四棱锥的表面积为
所以，因此球的体积.

故选：C.
13．
【分析】设，则，，则可求出圆柱的侧面积与圆锥的侧面积，即可求出答案.
【详解】设，则，
因为，所以，
则圆柱的侧面积，
圆锥的侧面积，
故．
故答案为：.
14．
【分析】设三棱台的上底面的外接圆的圆心为，下底面的外接圆的圆易得三棱台的外接球的球心在上，分别求得AG，，在和，利用勾股定理求解.
【详解】如图所示：

设三棱台的上底面的外接圆的圆心为，
下底面的外接圆的圆心为，则，为所在正三角形的中心，
故三棱台的外接球的球心在上，
因为是边长为6的等边三角形，故，
同理可得，
设三棱台的外接球的半径为，
在中，，
在中，，
又三棱台的高为，
因为，所以，
故球心在的延长线上，
则，
解得，
所以球的表面积为．
故答案为：．
15．
【分析】确定外接球球心求得球半径后可得表面积．
【详解】由于平面，因此与底面上的直线都垂直，
从而与不可能垂直，否则是锐角三角形，由于，因此有，
而与是平面内两相交直线，则平面，平面，所以，
所以的中点到四个点的距离相等，即为四面体PABC的外接球球心．
，，
所以所求表面积为．
故答案为：．

16．
【分析】将此三棱锥放入正方体中，即转化为正方体的外接球的问题，而正方体的体对角线即为相应的外接球的球直径，进而可以求得体积.
【详解】因为三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且侧棱均为，
所以它的外接球就是它扩展为正方体的外接球，
求出正方体的对角线的长为，
所以球的直径是，半径为，所以球的体积为.
故答案为：.
17．
【分析】由三视图还原原几何体，确定几何体的结构，然后计算表面积．
【详解】由三视图，原几何体是一个正三棱柱，高为2，底面边长为4，
表面积为．
故答案为：．
18．（1）；（2）.
【解析】（1）取的中点D，连接，利用勾股定理求得，可得三角形的面积，进一步可得正三棱锥的侧面积，再求出底面积，则正三棱锥的表面积可求；
（2）连接，设O为正三角形的中心，则底面.求解，再由棱锥体积公式求解.
【详解】（1）取的中点D，连接，
在中，可得.
∴.
∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，
∴正三棱锥的侧面积是.
∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴.
则正三棱锥的表面积为；
（2）连接，设O为正三角形的中心，则底面.
且.
在中，.
∴正三棱锥的体积为.

19．（1）；（2）.
【解析】（1）先由圆的周长公式求出圆锥的底面圆的半径，再求圆锥的底面积；
（2）圆柱的高，，再由求出的关系式，进而得出圆柱的侧面积，再结合二次函数的性质以及圆柱的体积公式求解即可.
【详解】解：（1）沿母线AB剪开，侧展图如图所示：

设，在半圆⊙A中，， 弧长，
这是圆锥的底面周长，所以，
所以，
故圆锥的底面积为；
（2）设圆柱的高，，
在中，，
，所以，
即，，
，
，
所以，当，时，圆柱的侧面积最大，
此时.
20．8
【分析】把正方体的表面展开，得到5个边长为1的正方形组成十字形，并在四端加上四个斜边为1的等腰直角三角形，就可以包住棱长为1的正方体，直接求面积即可.
【详解】如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为，其面积为8．
    
图①                 图②
21．.
【解析】根据三棱锥和柱体的体积公式，即可求解.
【详解】由题意，边长为1的正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、的中点，
锯掉的三棱锥的体积.
正方体的体积.
锯掉的这块的体积是原正方体的.
故答案为：.
22．(1)
(2)

【分析】（1）根据展开图扇形的弧长即为底面圆的周长求出底面圆的半径，即可求出圆锥的底面积；
（2）设圆柱的高，，根据三角形相似得到，即可表示出圆柱的侧面积，根据二次函数的性质求出面积最大值，即可得解；
(1)
沿母线AB剪开，侧展图如图所示：

设，在半圆⊙A中，，弧长，这是圆锥的底面周长，
所以，
所以，故圆锥的底面积为；
(2)
设圆柱的高，，
在中，，
∽，所以，即，，
圆柱侧面积为：，
所以，当，时，圆柱的侧面积最大.
23．（1）；（2）证明见解析．
【分析】(1)求出圆柱下底面圆周的周长，结合圆柱的侧面积公式即可求解；（2）根据平面ABC，可得,结合可得平面,利用线面垂直的性质定理即可得证.
【详解】（1）由题意可得，又，所以,
所以圆柱的侧面积为.
(2)由题意可知，平面ABC，又平面ABC，所以,因为，,所以平面,又平面,所以.