初中数学湘教版七年级上册4.3.1角与角的大小比较优秀学案

4．3　角

4．3.1　角与角的大小比较

【旧知再现】

角的特点：(1)__一__个顶点，__两__条边．

(2)它的两条边是__射线__不是__线段__，不能测量出长度．

(3)角的大小与两条边的长短__无关__，只和两条边张开的__大小__有关．

【新知初探】

阅读教材P123【观察】，你的发现是：

1．角的概念

(1)角：由具有__公共__端点的__两__条射线组成的图形．

(2)角：一条射线绕着它的__端点__从一个位置__旋转__到另一个位置时所成的图形．

2．角的表示

阅读教材P124【探究】，你的发现是：

角的比较：(1)用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．

(2)把两个角叠合在一起比较大小．

阅读教材P125表格后的内容，你的发现是：

角的平分线：以一个角的__顶点__为端点且把这个角分成两个__相等__的角的射线．

【质疑判断】

1．一条直线就是一个平角．(　×　)

2．两条射线组成的图形叫做角．(　×　)

3．一个周角等于两个平角．(　√　)

4．如图，∠β也可以用∠D表示．(　×　)

5．若BD是∠ABC的角平分线，则∠ABC＝2∠ABD.(　√　)

【妙招巧记】

角的四种表示法，

用时是有要求的：

大写字母用三个，

顶点字母放中间；

大写字母用一个，

顶点只有一个角；

希腊字母或数字，

配上弧线才能表．

　角的概念、表示法和角的比较

【P123观察拓展】——角的表示方法

根据给出图回答下列问题：

(1)∠1表示成∠A，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？

(2)图中哪个角可以用一个字母来表示？

(3)以A为顶点的角有几个？请表示出来．

(4)∠ADC与∠ACD是同一个角吗？请说明理由．

【思路点拨】(1)(2)在一个点处只有一个角，这个角可用一个字母表示；(3)角的两边不同，(4)角的顶点不同，则两个角不同．

【自主解答】(1)不正确，以A为顶点的角有3个，故不能用∠A表示，可表示为∠DAC.

(2)图中∠B可以用一个字母表示．

(3)以A为顶点的角有3个，分别是∠BAC，∠BAD，∠DAC.

(4)不是同一个角，因为这两个角的顶点不同．

【归纳提升】

角的表示方法的几点注意

1．用三个大写的英文字母表示角时，必须把表示角的顶点的字母写在中间．

2．当角的顶点处只有一个角时，也可以用一个大写的英文字母表示角．

3．用阿拉伯数字或小写的希腊字母表示角时，一定要在图中该角的位置画出小弧线并标出数字或小写的希腊字母，方可使用．

4．在实际表示中，同一个角可能有多种表示方法， 一般选取较简易的表示方法．

变式一：巩固 如图，下列说法正确的是(C)

A.∠1与∠BOC表示同一个角

B．∠β表示的是∠AOC

C．∠1＋∠β＝∠AOC

D．∠β＞∠1

变式二：提升 (1)请将图中的角用不同方法表示出来，并填写下表：

(2)用量角器度量∠A，∠2，∠ABE的度数，它们的度数之间有什么关系？

解：(1)∠ABE可表示为∠4，∠1可表示为∠ABC，∠ACB可表示为∠2，∠3可表示为∠ACF；

答案：∠4　∠ABC　∠2　∠ACF

(2)∠A＝25°，∠2＝55°，∠ABE＝80°，

所以它们的度数之间的关系为：∠A＋∠2＝∠ABE.

　角的平分线及应用

【P125角的平分线定义拓展】——用角平分线计算角的大小

如图，已知点O是直线AB上任意一点，∠AOC＝5∠BOC，OD平分∠AOC，求∠BOD的度数．

【完善解答】因为已知点O是直线AB上任意一点，

所以∠AOC＋∠BOC＝__180°__，平角的定义

因为∠AOC＝5∠BOC，

所以5∠BOC＋∠BOC＝__180°__，等量代换

所以∠BOC＝__30°__，解一元一次方程

所以∠AOC＝5×__30°__＝__150°__，代入求值

因为OD平分∠AOC，

所以∠COD＝__∠AOC__＝×__150°__＝__75°__．

角平分线的定义

所以∠BOD＝∠BOC＋∠COD

＝30°＋75°＝105°.角的和差

【归纳提升】

由BD是∠ABC的平分线可得到的三种关系式

(1)∠ABD＝∠CBD；

(2)∠ABD＝∠ABC, ∠CBD＝∠ABC；

(3)∠ABC＝2∠ABD，∠ABC＝2∠CBD.

变式一：巩固 如图，∠AOB＝20°，∠BOC＝80°，OE是∠AOC的平分线，则∠COE的度数为(A)

A．50°    B．40°    C．30°    D．20°

变式二：提升 如图，BD平分∠ABC，BE分∠ABC成3∶4两部分，∠DBE＝8°，求∠ABC的度数．

解：设∠ABE＝3x，则∠CBE＝4x，∠ABD＝3.5x，

因为∠DBE＝∠ABD－∠ABE，

所以3.5x－3x＝8°，

x＝16°，7x＝7×16°＝112°.

所以∠ABC＝112°.

【火眼金睛】

　若∠AOB＝2∠BOC且∠AOB＝80°，求∠AOC.

正解：

①当OC在∠AOB的内部时，如图①

因为∠AOB＝2∠BOC，∠AOB＝80°，

所以∠BOC＝40°，

所以∠AOC＝∠AOB－∠BOC

＝80°－40°＝40°.

②当OC在∠AOB的外部时，如图②

因为∠AOB＝2∠BOC，∠AOB＝80°，

所以∠BOC＝40°，

所以∠AOC＝∠AOB＋∠BOC

＝80°＋40°＝120°.

所以∠AOC＝40°或∠AOC＝120°.

【一题多变】

如图，OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，若∠BOC＝50°，∠BOA＝80°，求∠DOE的度数．

解：因为OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，

所以∠AOD＝∠BOD＝∠BOA，∠BOE＝∠COE＝∠BOC，

因为∠BOC＝50°，∠BOA＝80°，

所以∠BOE＝25°，∠BOD＝40°，

所以∠DOE＝25°＋40°＝65°.

【母题变式】

【变式一】(变换条件、问法)如图，OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，若∠BOC＝50°，∠DOE＝65°，求∠BOA的度数．

解：因为OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，所以∠AOD＝∠BOD＝∠AOB，

∠BOE＝∠COE＝∠BOC，

因为∠BOC＝50°，所以∠BOE＝25°，

因为∠DOE＝∠BOE＋∠BOD，∠DOE＝65°.

所以∠BOD＝65°－25°＝40°.

所以∠BOA＝2∠BOD＝80°.

【变式二】(变换条件、问法)如图，OE是∠BOC的平分线，若∠BOC＝50°，∠BOA＝80°，∠DOE＝65°.试说明OD是∠AOB的平分线．

解：因为OE是∠BOC的平分线，

所以∠BOE＝∠COE＝∠BOC，

因为∠BOC＝50°，所以∠BOE＝25°，

因为∠DOE＝∠BOE＋∠BOD，∠DOE＝65°.

所以∠BOD＝65°－25°＝40°.

因为∠BOA＝80°，

所以∠AOD＝∠BOA－∠BOD＝80°－40°＝40°.

所以∠AOB＝2∠AOD＝2∠BOD，

所以OD平分∠AOB，

即OD是∠AOB的平分线．