初中第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质同步训练题

这是一份初中第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质同步训练题，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题22.10 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与性质
（分层练习）（基础练）
一、单选题
1．已知抛物线（b为常数）的顶点不在抛物线（c为常数）上，则c应满足（     ）
A． B． C． D．
2．将二次函数配方为的形式为（　　）
A． B．
C． D．
3．二次函数的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
4．二次函数的图象上有两点，则的值是（     ）
A．负数 B．零 C．正数 D．不能确定
5．已知 ， 是函数上的点，则
A． B． C． D．， 的大小关系不确定
6．已知二次函数的图象如图所示，则、、满足（     ）

A．，， B．，，
C．，， D．，，
7．二次函数，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴为直线
C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小
8．若二次函数（a，b为常数）的图象如图，则a的值为（　　）
  
A． B． C． D．
9．如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点（2,0）．下列说法：①；② ；③；④若，是抛物线上的两点，则．其中说法正确的是（     ）

A．①②④ B．①③ C．①④ D．③④
10．已知二次函数的图象开口向上，并经过点，下列结论正确的是（      ）
A．当时，函数值随的增大而增大
B．当时，函数值随的增大而减小
C．存在一个负数，使得当时，函数值随的增大而减小；当时，函数值随的增大而增大
D．存在一个正数，使得当时，函数值随的增大而减小；当时，函数值随的增大而增大
二、填空题
11．抛物线的对称轴是直线 ．
12．已知抛物线的顶点在轴的下方，则实数的取值范围是 .
13．学校航模组设计的火箭升空高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）满足函数表达式，则点火后最多能达到 米.
14．已知二次函数，当时，y的取值范围是 ．
15．在同一坐标系中画出函数和的图象，试写出这两个函数的图象都具有的一个性质 ．
16．点均在二次函数的图象上，则的大小关系是
17．二次函数的图像如图所示，根据图像可知：当时，方程根情况为 ．

18．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①，同号；②当和时，函数值相等；③；④当时，正确的结论有 ．
  

三、解答题
19．抛物线与y轴交于点．
（1）求m的值；
（2）判断点是否在抛物线上，并说明理由．





20．已知二次函数的图象经过点．求：
（1）该二次函数的表达式；
（2）函数图象的顶点坐标；
（3）当自变量x满足时，函数值y的取值范围为______．




21．二次函数 的自变量x与对应的函数y的值（部分）如表所示：
x
…



0
1
2
…
y
…
m
7
1

1
7
…
解答下列问题：
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）表格中m的值等于　 　；
（3）在直角坐标系中，画出这个函数的图象．
  







22．画出一元二次函数的图象．求开口方向、对称轴、顶点坐标、最值，与轴交点坐标，与轴交点坐标，以及取哪些值时，随的增大而增大；取哪些值时，随的增大而减小．





23．已知抛物线经过点，．
（1）求抛物线解析式及对称轴．
（2）关于该函数在的取值范围内，有最小值，有最大值1，求m的取值范围．




24．如图，是某位同学设计的动画，随着音乐节奏起伏变化，屏幕上就会闪现不同的抛物线．抛物线的统一形式为，且顶点始终在直线上．
（1）若，且抛物线顶点纵坐标为3，求、的值；
（2）试推断：与的数量关系；
（3）横、纵坐标都是整数的点称为整点，若抛物线的顶点恰好是整点时，抛物线就会改变颜色．那么，当时，这组抛物线中有几条会改变颜色．









参考答案
1．D
【分析】先求出抛物线（b为常数）的顶点为，求出顶点在上时，c的取值范围，即可得到顶点不在抛物线（c为常数）上时c的取值范围．
解：由知，抛物线（b为常数）的顶点为，
当顶点在上时，则，则，
∴抛物线（b为常数）的顶点不在抛物线（c为常数）上时，则c应满足．
故选：D
【点拨】此题考查了二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点和准确计算是解题的关键．
2．B
【分析】利用配方法，把一般式转化为顶点式即可．
解：将二次函数配方为的形式为，
故选B．
【点拨】本题考查了二次函数的一般式，顶点式，正确利用配方法是解答本题的关键，配方法方法是，先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式．
3．A
【分析】根据二次函数的顶点坐标为，它的开口方向向下，且图象经过原点，即可解答．
解：∵二次函数，
∴开口向下，顶点为，且经过原点．
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的开口方向、顶点坐标．
4．B
【解析】直接把各点坐标代入二次函数的解析式，求出y1，y2的值即可.
解：∵二次函数y=−（x−2）2+a 的图象上有两点（-1，y1），（5， y2），
y1 =-（-1-2）2 +a，
y2 = （5-2）2+a，
∴y1-y2=-（-1-2）2+a+ （5-2）2-a=-×9+×9=0，
故选B.
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，包括图像上点的坐标特点，比较函数值的大小，熟悉并灵活运用二次函数的图像和性质是解题的关键.
5．B
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出a，b的值，比较后即可得出结论．
解：∵，是函数上的点，
∴，，
∵，
∴，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征求出a，b的值是解题的关键．
6．D
【分析】根据开口方向可得a的符号，根据对称轴在y轴的哪侧可得b的符号，根据抛物线与y轴的交点可得c的符号．
解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴．
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系；用到的知识点为：抛物线的开口向上，；对称轴在y轴右侧，a，b异号；抛物线与y轴的交点即为c的值．
7．D
【分析】将二次函数的顶点式化为一般式，确定二次函数的系数，由此即可求解．
解：，，，，
∴选项，开口向上，故选项错误；
选项，对称轴为，故选项错误；
选项，顶点坐标的横坐标为，纵坐标为，即顶点坐标为，故选项错误；
选项，开口向上，对称轴为，在对称轴坐标时，随的增大而减小，故选项正确．
故选：．
【点拨】本题主要考查二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数中图像的性质与系数的关系是解题的关键．
8．D
【分析】根据图象开口向下可知，又二次函数图象经过坐标原点，把原点坐标代入函数解析式解关于a的一元二次方程即可．
解：把原点代入抛物线解析式，得，
解得，
∵函数开口向上，，
∴．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，观察图象判断出a是负数且经过坐标原点是解题的关键．
9．A
【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，利用抛物线的对称轴方程得到b=-a＞0，利用抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，则可对①进行判断；利用抛物线经过点（2，0）得到4a+2b+c=0，同时得到c=-2a，加上b=-a，则可对②进行判断；利由抛物线与x轴有两个交点结合根的判别式，即可得出b2-4ac＞0，，则可对③进行判断；通过比较点（-，y1）到直线x=的距离与点（，y2）到直线x=的距离的大小可对④进行判断．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x==，
∴b=-a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线经过点（2，0），
∴4a+2b+c=0，
∴c=-2a，
∴-2b+c=2a-2a=0，所以②正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=b2-4ac＞0，所以③错误；
∵点（，y1）到直线x=的距离比点（，y2）到直线x=的距离大，
∴y1＜y2；所以④正确．
故选：A．
【点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系，观察二次函数图象，逐一分析四条说法的正误是解题的关键．
10．D
【分析】根据二次函数的图象开口向上，并经过点，得出，，则对称轴，即可求解．
解：根据二次函数的图象开口向上，并经过点，．
将代入函数解析式得：，
将代入函数解析式得：，
得：，解得：，
又抛物线开口向上，可得，
，
则函数的对称轴．
所以A、B、C不正确；D正确．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，得出对称轴是解题的关键．
11．
【分析】把解析式化为顶点式可求得答案．
解：∵，
∴对称轴是直线，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．
12．
【分析】先将抛物线解析式化为顶点式，再利用顶点在x轴下方，即可求出m的范围．
解：，
∵抛物线的顶点在轴的下方，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了抛物线的顶点式解析式，解题关键是理解当顶点纵坐标小于0时，顶点位于x轴下方．
13．170
【分析】把化为顶点式，根据二次函数性质即可得到答案
解：∵，，
∴抛物线开口向下，二次函数有最大值170，
∴点火后最多能达到170米，
故答案为：170
【点拨】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式和最值是解题的关键．
14．
【分析】先把函数化成顶点式，求出二次函数的最小值，再求出当和对应的y值，最后求出最大值和最小值即可．
解：二次函数化为顶点式为，
∵，
∴二次函数有最小值为，此时，
当时，，
当时，，
∴该函数在的取值范围内，y的取值范围内是，
故答案为：
【点拨】本题考查了二次函数的性质和二次函数的最值，能把函数化成顶点式和求出当和对应的y值是解此题的关键．
15．对称轴都为（答案不唯一）
【分析】首先画出两个函数的图象，然后根据图象求解即可．
解：如图所示，

由图象可得，两个函数的图象的对称轴都为，
故答案为：对称轴都为（答案不唯一）．
【点拨】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
16．
【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为，图象开口向下，根据函数图象上的点离对称轴的水平距离越近，函数值越大，可判断的大小关系．
解：∵，，
∴对称轴为，开口向下，
∵，，，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性，解题的关键是利用对称性求解．
17．无实数根
【分析】根据函数图像得到二次函数的最大值，根据的范围即可得到答案．
解：由题可知，的开口向下，
当时，函数有最大值，且，
当时，无实数根．
故答案为：无实数根．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
18．②③④
【分析】利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴得到，则可对①③进行判断；利用抛物线的对称性可对②进行判断；利用抛物线的对称性确定抛物线与轴的一个交点坐标为，再根据二次函数的图象可对④进行判断．
解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，
，所以①错误，
，所以③正确；
抛物线的对称轴为直线，
当和时，函数值相等，所以②正确；
抛物线与轴的一个交点坐标为，
而抛物线的对称轴为直线，
抛物线与轴的一个交点坐标为，
当时，，所以④正确．
故答案为：②③④．
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是利用图象进行分析，得到相应系数的符号．
19．（1）；（2）点不在抛物线上．
【分析】（1）利用待定系数法求出m的值即可；
（2）把点的坐标代入即可判断．
（1）解：把代入得，
，
则m的值是．
（2）解：点不在抛物线上．
理由如下：把代入得，
，
把代入得，
，
所以点不在抛物线上．
【点拨】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法是解题的关键．
20．（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）将代入二次函数求得m的值，即可求出二次函数表达式；
（2）将二次函数一般式化为顶点式，即可求出顶点坐标；
（3）直接求出当自变量x满足时，函数值y的取值范围．
解：（1）将代入二次函数得：

解得：，
∴二次函数的表达式为；
（2），
所以抛物线的顶点坐标为；
（3）当自变量x满足时，函数值y的取值范围为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
21．（1）；（2）17；（3）见分析．
【分析】（1）由表中数据看出对称轴是直线，即y轴，顶点为，设这个二次函数的解析式为，，把代入，求出a值，即得；
（2）把代入，即可求得m的值；
（3）根据表中数据描点，然后用光滑的曲线顺次连接即可.
解：（1）由表中数据看出，与，与对称，
∴对称轴是直线，即y轴，顶点为，
∴设这个二次函数的解析式为，，
把代入，得，
∴，
∴二次函数的解析式为；
（2）把代入 ，
得，
故答案为：17；
（3）运用表中数据，在直角坐标系中描出，，，，各点，然后用光滑的曲线顺次连接各点，画出这个函数的图象，如图，
  ．
【点拨】本题主要考查了二次函数．熟练掌握表格中数据的对称性，待定系数法求解二次函数的解析式，描点连线，是解决问题的关键．
22．见分析
【分析】根据函数图象的作法的一般步骤作出相应图象，然后利用二次函数的基本性质求解即可．
解：列表如下：
x

0
1
2
3
y
0
3
4
3
0
图象如图所示：
  
∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵，
∴开口方向向下，
对称轴为：，
∵顶点坐标为：，
∴最大值为：4，
与x轴交点坐标为：
令，即，
解得：，
∴或，
∴与x轴的交点坐标为：，
当时，，
∴与y轴交点坐标为：，
当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．
【点拨】题目主要考查二次函数图象的作法及基本性质，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
23．（1）抛物线解析式为，对称轴为；；（2）
【分析】（1）把点，，代入解析式，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意画出图象，结合图象即可求解．
（1）解：将点，代入抛物线，得
，
得，
∴抛物线解析式为，
对称轴为：；
（2）解：如图，由抛物线的对称性可画出草图，
  
由图象可知：当时，y的最小值为，最小值为1，
∴当时，对应的函数的的最小值为，最小值为1，m的取值范围为．
【点拨】本题考查了二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
24．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）由题意抛物线的顶点坐标为，根据顶点坐标公式即可求解；
（2）根据顶点始终在直线上，列出等式，即可求解；
（3）根据对称轴为直线且为整数，得出的值，进而即可求解．
（1）解：∵，则，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：依题意，顶点始终在直线上
∴，又，
解得：，
（3）解：∵，
∴，顶点在上，
∵对称轴为直线是整数
∴当
∴当时，这组抛物线中有8条会改变颜色
【点拨】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，熟练掌握二次函数顶点坐标公式是解题的关键．