人教版九年级上册22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质课后测评

这是一份人教版九年级上册22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质课后测评，共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题22.12 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质
（分层练习）（培优练）
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知二次函数，经过点．当时，的取值范围为．则下列四个值中有可能为的是（    ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，过点的直线交抛物线于，两点，已知，且，则下列说法正确的是（    ）
A．当且时，有最小值 B．当且时，有最大值
C．当且时，有最小值 D．当且时，有最大值
4．若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，若在二次函数 （m为常数）的图象上存在两个二倍点，，且，则m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
5．二次函数与自变量的部分对应值表如下，已知有且仅有一组值错误（其中，，，均为常数）














甲同学发现当时，是方程的一个根；乙同学发现当时，则．下列说法正确的是（　　）
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都错 D．甲乙都对
6．若点，，，，均在抛物线上，且，则的大小关系是（    ）
A． B． C． D．
7．已知二次函数与一次函数交于、两点，当时，至少存在一个x使得成立，则m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
8．函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（    ）

A． B． C． D．
9．如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：

①；
②；
③，是抛物线上两点，则；
④若关于x的一元二次方程没有实数根，则；
⑤对于任意实数m，总有．
其中正确的结论有（    ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图，平面直角坐标系中，已知，，，抛物线过A点、B点，顶点为P，抛物线过A点、C点，顶点为Q，若P在线段AQ上，则的值为（    ）

A． B． C． D．
二、填空题
11．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3在t≤x≤t+3时的最小值是t，则t的值为 .
12．已知顶点为A的抛物线与顶点为C的抛物线交于，，则四边形的周长为 ．
13．在平面直角坐标系中，二次函数过点（4，3），若当0≤x≤a 时，y 有最大值 7， 最小值 3，则 a 的取值范围是 ．
14．已知函数y＝﹣x2+2x+5，当0≤x＜m时，函数值的取值范围是5≤y≤6，则实数m的取值范围是 ．
15．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝mx（－2mx＋m－2（m＞0）．
（1）抛物线的顶点坐标为 ；
（2）点M（x1，y1）、N（x2，y2）（x1＜x2≤3）是拋物线上的两点，若y1＜y2，x2－x1＝2，则y2的取值范围为 （用含 m的式子表示）
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点．为抛物线的顶点．若直线交直线于点，且为线段的中点，则的值为 ．

17．如图，函数的图象，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为 ．

18．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且，则下列结论：；；；其中正确结论的序号是 ．
  

三、解答题
19．如图，已知抛物线，点是第一象限内抛物线上一个动点，作轴于点，点是第一象限内抛物线上的另一个点（点在的右侧），且，作轴于点．
（1）当点是抛物线的顶点时，求点的坐标；
（2）当点关于的对称点恰好落在轴上时，求的长．





20．已知抛物线（m为常数）与y轴的交点为C点．
（1）若抛物线经过原点，求m的值；
（2）若点和点在抛物线上，求C点的坐标；
（3）当，与其对应的函数值y的最小值为9，求此时的二次函数解析式．











21．函数y1＝x²﹣2x，y2＝ax﹣1．
（1）直接写出函数y1的顶点坐标．
（2）当x＝m时，y1＝h；当x＝n时，y2＝k．若对于任意的实数m，其中﹣1≤m≤2，总存在实数n，其中﹣1≤n≤2，使得h＝k，求a的取值范围．










22．如图，将抛物线平移后得到抛物线，两抛物线与轴分别交于点，．抛物线，的交点的横坐标是1，过点作轴的平行线，分别交抛物线，于点，．
（1）求抛物线的对称轴和点的横坐标．
（2）求线段和的长度．





23．已知抛物找（a、b为常数，且），顶点为A，与y轴交于点B，点B、C关于抛物线的对称轴对称，连接AB、BC、AC，点．
（1）当，时，求顶点A的坐标；
（2）当时，点A在x轴下方时，求b的取值范围；
（3）当△ABC的面积为4，求a的值：
（4）点D关于抛物线对称轴的对称点是E，直线AE交BC于F，且直线AE将△ABC的面积分成1：3的两部分，且△BEF的面积为，直接写出a的值．






24．抛物线y = ax2 + bx + c（a≠0）经过点A（ - 4，0）和点B（5，）
（1）求证:a + b = ；
（2）若抛物线经过点C（4，0）
①点D在抛物线上，且点D在第二象限，并满足∠ABD = 2∠BAC，求点D的坐标；
②直线y = kx - 2（k≠0）与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左侧），点P是直线MN下方的抛物线上的一点，点Q在y轴上，且四边形MPNQ是平行四边形，求点Q的坐标


































参考答案
1．D
【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可．
解：，
该抛物线顶点坐标是，，
将其沿轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是，，
，
，
，
，
点，在第四象限；
故选：．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质、平移的性质、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点坐标是解题的关键．
2．D
【分析】由时，的取值范围为，可得或是方程的两个根，则有，再由，可得，即将≥，将点代入函数解析式可得，利用的取值范围确定的取值范围即可求解．
解：当时，，
∴，
∵当时，的取值范围为，
∴或是方程的两个根，
∴，
∴，
∴，
∴是函数的对称轴，
又∵当时，的取值范围为．
∴，
∴，
∵函数经过点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴的可能取值为，
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程、不等式的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特点是解题的关键．
3．A
【分析】设直线，联立直线与抛物线解析式得出是方程的两根，进而根据，得出在的下方，得出，则，即可得出，进而结合选项，进行判断即可求解．
解：依题意，过点的直线交抛物线于两点，
设直线，
联立，
即，
∴是方程的两根，
即，，
∵，
∴在的下方，
联立，
解得：或，
∴，
∵在抛物线上，则，
∴，
∴，
当且，
∴，
∴有最小值，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，一次函数与二次函数交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．B
【分析】根据题意得出纵坐标是横坐标的2倍总在直线上，、是方程的两个解，根据根与系数的关系得出，，根据根的判别式得出，根据，得出m取任意实数时，总成立，根据，得出，，即，得出，求出m的值即可．
解：∵纵坐标是横坐标的2倍总在直线上，
∴点，一定在直线上，
又∵点，在二次函数 （m为常数）的图象上，
∴、是方程的两个解，
即，
∴，，
，
∵，
又∵，
∴，
∴m取任意实数时，总成立，
∵，
∴，，
∴，
即，
∴，
解得：，故B正确．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了一次函数与二次函数的交点问题，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是根据题意得出、是方程的两个解，且．
5．A
【分析】根据表格数据得出与的数据正确，进而得出，对称轴为直线，判断甲正确，假设乙正确，则出现2组数据错误，与题意不符，据此即可求解．
解：根据表格可知，与时的函数值相等，
当时，，时，
∴
由抛物线的对称性可得，对称轴为直线，即
∵
∴当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而增大，
∴抛物线开口向上，则，
∵对称轴为，当时，
∴当时，
即当时，是方程的一个根；
若时，则，则存在2组数据错误，故不符合题意，
故甲对乙错，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．C
【分析】先把点A和点B坐标代入得出，再求出，求出该抛物线与x轴的两个交点坐标，结合，在抛物线上，得出，点在点B的左边，，，即可得出，进而得出对称轴的取值范围，最后根据该抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，即可比较函数值的大小．
解：把，代入得：
，
整理得：，
得：，
整理得：，
∴该抛物线的对称轴为直线，
当时，，
解得：，，
即该抛物线与x轴的交点坐标为：，
∵，在抛物线上，
∴当时，y随x的增大而减小，该抛物线开口向下；
∴点在点B的左边，
∴，，整理得：，
∴，则，
∴点C离对称轴的距离：，即，
点D离对称轴的距离：，即，
点E离对称轴的距离：，即，
∵该抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，
∴，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是根据题意得出对称轴的取值范围，掌握当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小；反之，越大．
7．D
【分析】由题意可得二次函数对称轴为直线，联立两函数得，求得，，当时，要使得至少存在一个x使得成立，只需当时，即可，三种情况：①当时，②当时，③当时，进行讨论即可．
解：二次函数与一次函数交于、两点，
则：，整理得：，
即：，
∴，，
的对称轴为直线，
当时，要使得至少存在一个x使得成立，只需当时，即可，
①当时，即：，则当时，随增大而减小，
∴当时，取最大值，，
可得：，即，
②当时，即：，则当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，
∴当时，取最大值，，
可得：，即，
③当时，即：，与矛盾，
综上所述：．
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数与一次函数交点问题，二次函数的性质，确定最大值应大于等于，再进行分类讨论是解决问题的关键．
8．A
【分析】根据函数图像的开口大小与轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可．
解：设，，
由图像知，，，，，，，，
∴，
∵函数的图像开口大于函数的图像开口，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴函数的图像是抛物线，开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上，
A．图像开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上，故此选项符合题意；
B．图像开口向上，故此选项不符合题意；
C．图像对称轴在轴的左侧，故此选项不符合题意；
D．图像开口向上，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点拨】本题考查二次函数的图像与性质，不等式的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．注意：二次函数的越大，图像开口越小．
9．C
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与轴轴的交点，综合判断即可．
解：抛物线开口向上，则，对称轴，则，，，
所以①正确；
抛物线对称轴为，与轴的一个交点为，则另一个交点为，于是有，联立，解得，
，
所以②正确；
抛物线的解析式为，
，是抛物线上两点，
，
，即，
所以③错误；
若关于x的一元二次方程没有实数根，
，
，
，
，
，
所以④正确；
抛物线与轴有两个不同交点，因此关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以④正确；
对于任意实数m，总有
故⑤正确．
综上所述，正确的结论有：①②④⑤．
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象与系数之间的关系是正确判断的前提．
10．B
【分析】先分别求出抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线，然后把抛物线解析式设为交点式从而求出点P的坐标为（m+1，-a），点Q的坐标为（，），求出直线AQ的解析式为，再由P在直线AQ上，得到，由此即可得到答案．
解：∵抛物线过A点、B点，，，
∴抛物线的对称轴为直线，
同理可得抛物线的对称轴为直线，
设抛物线的解析式为，抛物线的解析式为，
∴当时，，
∴点P的坐标为（m+1，-a），
同理可求出点Q的坐标为（，），
设直线AQ的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AQ的解析式为，
∵P在直线AQ上，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【点拨】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，正确求出P、Q的坐标是解题的关键．
11．或﹣3
【分析】结合二次函数图形以及利用顶点横坐标在范围t≤x≤t+3右侧时以及顶点横坐标在范围t≤x≤t+3内时和顶点横坐标在范围t≤x≤t+3左侧时，分别结合二次函数增减性求出最值即可．
解：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，分类讨论：
（1）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+3右侧时，有t+3＜1，即t＜﹣2，此时y随x的增大而减小，
∴当x＝t+3时，函数取得最小值，y最小值＝t＝（t+3）2﹣2（t+3）﹣3，
∴t＝﹣3.
（2）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+3内时，即有t≤1≤t+3，
解这个不等式，即﹣2≤t≤1.此时当x＝1时，函数取得最小值，y最小值＝﹣4，
∴t＝﹣4，
不合题意.
（3）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+3左侧时，即t＞1时，y随x的增大而增大，
∵当x＝t时，函数取得最小值，y最小值＝t2﹣2t﹣3＝t，解得t＝ 或t＝（舍弃），
∴t＝．
故答案为：或﹣3．
【点拨】本题主要考查了二次函数的综合应用以及二次函数的增减性等知识，利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．
12．
【分析】根据B、D的纵坐标可知两个抛物线的对称轴一样是，由对角线互相垂直平分可知四边形是菱形，把整个菱形和函数平移，使菱形的对角线交点也就是的中点在原点，然后求出A、B坐标求出菱形的边长，进而求出周长即可．
解：由题意可知，，则，对称轴都是，
∵两个抛物线的a值是相反的，
∴四边形是菱形，
抛物线的a值确定，抛物线的形状固定，的长度固定，则菱形的形状固定，
直接算菱形的边长比较麻烦，可以将整个菱形和函数平移，使菱形的对角线交点也就是的中点在原点，
此时对称轴为y轴，，
∴，则，，
将代入可得：，解得，则，
∴，则四边形的周长为．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系、菱形的判定、勾股定理等知识点，灵活应用相关知识点是解答本题的关键．
13．2≤a≤4．
【分析】先求得抛物线的解析式，根据二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征即可得到a的取值范围．
解：∵二次函数y=-x2+mx+3过点（4，3），
∴3=-16+4m+3，
∴m=4，
∴y=-x2+4x+3，
∵y=-x2+4x+3=-（x-2）2+7，
∴抛物线开口向下，对称轴是x=2，顶点为（2，7），函数有最大值7，
把y=3代入y=-x2+4x+3得3=-x2+4x+3，解得x=0或x=4，
∵当0≤x≤a时，y有最大值7，最小值3，
∴2≤a≤4．
故答案为：2≤a≤4．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
14．
【分析】求出二次函数最大值，再把对应的另一个函数值代入求出自变量值即可．
解：函数y＝﹣x2+2x+5化成顶点式为函数y＝﹣（x-1）2+6，
所以，当x=1时，函数的最大值为6，
把y=5代入函数解析式，5＝﹣x2+2x+5，
解得，，；
根据题意，顶点一定在0≤x＜m范围内，而且此范围内的最小值为5，
故m的取值范围是．

【点拨】本题考查了二次函数的性质，解题关键是树立数形结合思想，求出分界值．
15． （1，-2）
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解；
（2）抛物线的对称轴为直线x=1，得到当点M，N关于抛物线的对称轴对称时，x1+x2=2，
结合x2-x1=2，可得x1=0，x2 =2，得到当2＜x2≤3时，y1＜y2，再将x=2、x=3代入函数关系式进行求解即可 ．
解：（1）∵，
∴抛物线顶点坐标为（1，-2），
故答案为 （1，-2）．
（2）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当点M，N关于抛物线的对称轴对称时，x1+x2=2，
结合x2-x1=2，可得x1=0，x2 =2，
∴当2＜x2≤3时，y1＜y2，
对于y=m（x-1）2-2，当x =2时，y=m-2；当x=3时，y=4m-2，
∴．
【点拨】本题考查二次函数图象上的点的特征，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
16．2
【分析】先根据抛物线解析式求出点坐标和其对称轴，再根据对称性求出点坐标，利用点为线段中点，得出点坐标；用含的式子表示出点坐标，写出直线的解析式，再将点坐标代入即可求解出的值．
解：∵抛物线与轴交于点，
∴，抛物线的对称轴为
∴顶点坐标为，点坐标为
∵点为线段的中点，
∴点坐标为
设直线解析式为（为常数，且）
将点代入得
∴
将点代入得
解得
故答案为2
【点拨】考核知识点:抛物线与坐标轴交点问题.数形结合分析问题是关键.
17．或/或
【分析】利用排除法，先求得直线与该图象有两个或三个交点时的取值，则可求得结论．
解：由题意，直线与函数的图象恒相交，
当时，直线与直线恒相交，与抛物线至少有一个交点时，即方程有两个实数根，
，
，
解得：；
当时，直线与函数的图象有两个或三个交点，
当时，直线与函数的图象只有一个交点；
当时，由图象可知，直线与函数的图象只有一个交点，
综上，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为或．
故答案为：或．
【点拨】本题主要考查了一次函数的图象的性质，二次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象上点的坐标的特征，图象的交点与一元二次方程根的判别式的关系，利用数形结合法解答是解题的关键．
18．①③④
解：（1）∵抛物线开口向下，
∴，
又∵对称轴在轴的右侧，
∴ ，
∵抛物线与轴交于正半轴，
∴ ，
∴，即①正确；
（2）∵抛物线与轴有两个交点，
∴，
又∵，
∴，即②错误；
（3）∵点C的坐标为，且OA=OC，
∴点A的坐标为，
把点A的坐标代入解析式得：，
∵，
∴，即③正确；
（4）设点A、B的坐标分别为，则OA=，OB=，
∵抛物线与轴交于A、B两点，
∴是方程的两根，
∴，
∴OA·OB=.即④正确；
综上所述，正确的结论是：①③④.
19．（1）；（2）
【分析】（1）先把抛物线化成顶点式求出P的坐标，然后根据BP=BA，得到B的纵坐标为2，代入抛物线解析式求解即可得到答案；
（2）由点关于的对称点恰好落在轴上，则点的横坐标是点的横坐标的倍．设点的坐标为（，则点的坐标为，然后根据BP=BA，得到B的纵坐标为P的纵坐标的一半，则，解方程即可．
解：（1）点是抛物线的顶点
．
，
点的纵坐标为．
点是第一象限内抛物线上的点，
令，
解得
点在的右侧，
，
．
（2）点关于的对称点恰好落在轴上，
点的横坐标是点的横坐标的倍．
设点的坐标为（，
则点的坐标为．
，
点的纵坐标是点的纵坐标的倍，
，
解得，（不合题意，舍去），
的长是．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，二次函数的顶点坐标，轴对称的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
20．（1）m=0；（2）C点坐标为（0，16）；（3）或
【分析】（1）把（0，0）代入抛物线y=x2+2mx+4m2（m为常数）中可得m的值；
（2）根据A和B是对称点可得抛物线的对称轴，根据对称轴方程列式可得m的值，从而得点C的坐标；
（3）分三种情况：①当2m＞-m时，即m＞0，②当2m＜-m＜2m+3时，即-1＜m＜0，③当2m+3＜-m时，即m＜-1，根据增减性列方程可得m的值，从而得结论．
（1）解：当抛物线经过点（0，0）时，有，
解之得m=0；
（2）解：和点在抛物线上，
∴对称轴为，∴即，，
，∴C点坐标为（0，16）；
（3）解： 抛物线的开口向上，对称轴为x=-m的抛物线，
①若，即m>0时，在自变量x的值满足的情况下，
与其对应的函数值y随x增大而增大，
∴当x=2m时，为最小值，
，
或（舍）
二次函数的解析式为．
②若即，
当时，代入，得y最小值为，

（舍）或（舍）
③若，即，在自变量x的值满足的情况下，
与其对应的函数值y随x增大而减小，
∴当时，代入二次函数的解析式为中，
得y最小值为，
，
（舍）或，
∴二次函数的解析式为．
综上所述，二次函数的解析式为或．
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．
21．（1）函数y1的顶点坐标为（1，-1）；（2）或．
【分析】（1）利用配方法即可得出顶点坐标；
（2）由题意可知当﹣1≤x≤2时，函数y1＝x²﹣2x的取值范围在函数y2＝ax﹣1的取值范围内，由此结合图形即可得解．
解：（1）∵，
∴函数y1的顶点坐标为（1，-1）；
（2）由（1）可知函数y1＝x²﹣2x的对称轴为，开口向上，
∴当﹣1≤m≤2，h在时取得最大值3，在时取得最小值-1，
即，
∵函数y2＝ax﹣1经过（0，-1），当x＝n时，y2＝k，且总存在实数n，其中﹣1≤n≤2，使得h＝k，
∴如图所示，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上所述，或．

【点拨】本题考查求二次函数顶点式，二次函数与一次函数综合．能理清题意，结合图形分析是解题关键．
22．（1）对称轴；点的横坐标是-3；（2）；
【分析】（1）根据对称轴公式直接求抛物线P1的对称轴，以及A，E关于对称轴x=-1对称和点E的横坐标直接求出点A的横坐标；
（2）求出P2的对称轴，再求出点B的坐标，从而求得AB的长，把分别代入两个函数表达式，求得，从而求得CD的长．
解：（1）抛物线的对称轴
∵点与点关于直线对称，且点的横坐标是1
∴点的横坐标是
（2）抛物线的对称轴
∵点与点关于直线对称，且点的横坐标是1
∴点的横坐标是4
∴
把分别代入两个函数表达式，
得
即
由题意，当时，，．
∴
【点拨】本题考查二次函数的性质，关键是判断点A与点E关于对称轴x=-1对称，点B与点E关于对称轴对称．
23．（1）（1，0）；（2）0＜b＜1；（3）a=2或a= -2；（4）或或
【分析】（1）用配方法计算即可．
（2）用配方法计算出顶点坐标，纵坐标小于零即可．
（3）用配方法计算出顶点坐标，交点法确定B的坐标，结合题意确定C的坐标，用面积建立等式即可．
（4）分当a＞1且a＞b时，当0＜a＜1且a＜b时，a＜0三种情形求解．
解：（1）∵，，，
∴，
故点A的坐标为（1，0） ．
（2）∵，，
∴，
故点A的坐标为（1，b-1） ，
∵A在x轴的下方，
∴b-1＜0，
故0＜b＜1．
（3）∵，
∴点A的坐标为（a，b-a） ，
另x=0，得y=b，
∴点B的坐标为（0，b） ，
∵点B、C关于抛物线的对称轴对称，
∴点C的坐标为（2a，b） ，
∴
解得a=2或a= -2．
（4）当a＞1且a＞b时，过点A作AN⊥BC于点N，交x轴于点M，
∵点B、C关于抛物线的对称轴对称，点D关于抛物线对称轴的对称点是E，
∴BC∥x轴，点E的坐标为（2a-1，0），
∴△AME∽△ANF，
∵点A的坐标为（a，b-a） ，点B的坐标为（0，b） ，点C的坐标为（2a，b） ，
∴BC=2a，BN=CN=a，AN=b-（b-a）=a，AM=a-b，
∵直线AE将△ABC的面积分成1：3的两部分，
∴BF=，NF=BF=BN=，ME=2a-1-a=a-1，
由△AME∽△ANF，
∴，
∴，
解得b=2-a；
∵△BEF的面积为，
∴，
∴3a（2-a）=1，
解得或（舍去）；

如图，当0＜a＜1且a＜b时，
同理可得，（舍去）或；

如图，当a＜0时，
∴NF，ME=1-a，AN=-a，AM=b-a，
由△AME∽△ANF，
∴，
∴，
解得b=2-a；
∵△BEF的面积为，
∴，
∴-3a（2-a）=1，
解得或（舍去）；

故a的值为或或．
【点拨】本题考查了待定系数法，配方法求顶点，抛物线的对称性，抛物线与三角形面积综合，熟练掌握抛物线的性质，合理分类是解题的关键．
24．（1）证明见分析；（2）①（-6,5）；②（0，0）
【分析】（1）把A（ - 4，0）和点B（5，）代入函数解析式计算即可；
（2）先求出抛物线和直线AB的解析式，求出直线AB关于x轴的对称直线AE，则∠BAE= 2∠BAC，再过B作AE的平行线与抛物线的交点即为D点；
（3）根据四边形对角线互相平分结合中点公式计算即可．
解：（1）把A（ - 4，0）和点B（5，）代入函数解析式得：

两个方程相减得：，
即a + b =
（2）∵抛物线经过点C（4，0）
∴
解得：
∴抛物线解析式为

①∵A（ - 4，0）和点B（5，）
∴直线AB的解析式为
∴直线AB与y轴的交点F坐标为（0,1）
∴点F关于x轴的对称点E坐标为（0，-1）
∴∠EAC= ∠BAC，直线AE的解析式为
∴∠BAE = 2∠BAC
B作AE的平行线与抛物线的交点为D点
∴∠ABD = ∠BAE = 2∠BAC
∵直线AE的解析式为
∴设BD解析式为
代入B（5，）得BD解析式为
联立BD与抛物线解析式得：
，解得或
∴D点坐标为（-6,5）
②∵M、N、P三个点在抛物线上，点Q在y轴上
∴设，
∴MN中点坐标为
PQ中点坐标为
∵直线y = kx - 2（k≠0）与抛物线交于设M，N两点
∴，整理得
∴
∴
∴MN中点坐标为
∵四边形MPNQ是平行四边形
∴MN和PQ互相平分，即MN、PQ的中点是同一个点
∴
整理得，解得
∴Q点坐标为（0，0）．
【点拨】本题考查二次函数与几何的综合题，涉及到直线的对称与平行、平行四边形的性质等知识点，与到两倍角问题通过对称构造倍角是解题的关键．