数学选择性必修 第一册3.1 椭圆第2课时精练

这是一份数学选择性必修 第一册3.1 椭圆第2课时精练，共5页。试卷主要包含了若直线mx+ny=4与圆O，椭圆C，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。

3.1 椭圆 3.1.2 椭圆的简单几何性质 第2课时 椭圆的几何性质及应用
A级　基础巩固
1.若直线y=kx+2与椭圆+=1相切,则斜率k的值是 (　　)
A.　　　　　　　　B.-
C.± D.±
解析:由得(3k2+2)x2+12kx+6=0.由题意,知Δ=144k2-24(3k2+2)=0,解得k=±.
答案:C
2.若直线mx+ny=4与圆O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数为 (　　)
A.0 B.1
C.2 D.0或1
解析:因为直线mx+ny=4与圆O:x2+y2=4没有交点,所以>2.所以0 答案:C
3.过椭圆x2+2y2=4的左焦点作倾斜角为的弦AB,则弦AB的长为 (　　)
A. B.
C. D.
解析:椭圆x2+2y2=4的左焦点为(-,0),所以直线的方程为y=(x+).由消去y,整理得7x2+12x+8=0,由弦长公式,得|AB|=×=.
答案:B
4.椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在椭圆C上,且直线PA2的斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1的斜率的取值范围是 (　　)
A.[,] B.[,]
C.[,1] D.[,1]
解析:由题意,知A1(-2,0),A2(2,0).
设点P的坐标为(x0,y0),则+=1,=,=,
于是·===-,故=-×.
因为∈[-2,-1],所以∈.
答案:B
5.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为6.
解析:由椭圆方程+=1可得F(-1,0).设P(x,y),-2≤x≤2,则=(x,y),=(x+1,y),所以·=x2+x+y2=x2+x+3=
x2+x+3=(x+2)2+2,当x=2时,·取得最大值6.
6.已知点P(x,y)是椭圆+=1上的任意一点,则点P到直线l:y=x+5的最大距离为.
解析:设直线y=x+m与椭圆相切,由得13x2+18mx+9m2-36=0.
因为Δ=(18m)2-4×13×(9m2-36)=0,
所以m=±,
所以切线方程为y=x+和y=x-,与l距离较远的是直线y=x-,所以所求最大距离为d==.
7.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为,直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当△AMN的面积为时,求k的值.
解:(1)由题意,得解得
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.
设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),x1+x2=,x1x2=,
所以|MN|=
=
=.
又因为点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离d=,
所以△AMN的面积为S=|MN|·d=,
由=,
化简,得7k4-2k2-5=0,解得k=±1.
B级　能力提升
8.若AB是过椭圆+=1中心O的弦,F1为椭圆的焦点,则△F1AB面积的最大值是 (　　)
A.6 B.12
C.24 D.48
解析:设A(xA,yA),B(xB,yB).因为△F1AB的面积可以看成△OF1A与△OF1B的面积之和,所以=c·|xA-xB|,故当直线AB垂直于y轴时,|xA-xB|max=2b=8,所以△F1AB面积的最大值为×3×8=12.
答案:B
9.已知椭圆+=1,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆交于A,B两点,若=3,则k= (　　)
A.1 B.
C. D.2
解析:由题意,得右焦点F(2,0),过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线为x=my+2,m=.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由方程组得(4+m2)y2+4my-4=0,则y1+y2=,y1y2=.
因为=3,所以(2-x1,-y1)=3(x2-2,y2),
所以解得m2=,
即k2=2.因为k>0,所以k=.
答案:B
10.已知椭圆C:+=1(a>b>0),A,B是椭圆C的长轴的两个端点,点M是椭圆C上的一点,且满足∠MAB=30°,∠MBA=45°,设椭圆C的离心率为e,则e2=1-.  
解析:设M(x0,y0),A(-a,0),B(a,0).因为∠MAB=30°,∠MBA=45°,所以kBM==-1,kAM==,两式联立解得
又因为M在椭圆C上,所以+=1,即+=1,所以=,所以e2=1-.
11.椭圆mx2+ny2=1与直线x+y=1相交于A,B两点,过AB的中点M与坐标原点的连线的斜率为,则=. 
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),O为坐标原点,由题意可得,kOM==,kAB==-1.由AB的中点为M,可得x1+x2=2x0,y1+y2=2y0.由A,B在椭圆上,可得两式相减,得m(x1-x2)·2x0+n(y1-y2)·2y0=0,整理,得=.
12.已知动点P与平面上两定点A(-,0),B(,0)连线的斜率的积为定值-.
(1)试求动点P的轨迹C的方程;
(2)设直线l:y=kx+1与曲线C交于M,N两点,当|MN|=时,求直线l的方程.
解:(1)设动点P的坐标是(x,y),
由题意,得kPA·kPB=-.
所以·=-,化简整理,得+y2=1.
故动点P的轨迹C的方程是+y2=1(x≠±).
(2)设直线l与曲线C的交点M(x1,y1),N(x2,y2),
由
得(1+2k2)x2+4kx=0(x≠±).
所以x1+x2=,x1·x2=0.
所以|MN|=·=,
整理,得k4+k2-2=0,解得k2=1或k2=-2(舍去).
所以k=±1,经检验符合题意.
所以直线l的方程是y=x+1或y=-x+1,
即x-y+1=0或x+y-1=0.
13.椭圆的两个焦点分别为F1(-,0)和F2(,0),且椭圆过点（1,-）.
(1)求椭圆方程;
(2)过点（-,0）作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M,N两点,A为椭圆的左顶点,试判断∠MAN的大小是否为定值,并说明理由.
解:(1)由题意可设椭圆方程为+=1(a>b>0),
由c=,a2=b2+c2,得+=1.
又因为椭圆过点,所以+=1,
解得b2=1或b2=-(舍去),所以a2=4.
所以椭圆的方程为+y2=1.
(2)是定值.理由:设直线l的方程为x=ky-,
联立直线l和椭圆的方程可得
消去x,得(k2+4)y2-ky-=0.
由题意,知A(-2,0).设M(x1,y1),N(x2,y2),
则y1y2=-,y1+y2=,
则·=(x1+2,y1)·(x2+2,y2)=(k2+1)·y1y2+k(y1+y2)+=0,
即可得∠MAN=(定值).
14.(2021全国卷Ⅱ)已知椭圆C的方程为+=1(a>b>0) ,右焦点为F(,0),且离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设M,N是椭圆C上的两点,直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切.证明:M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=.
(1)解:由题意可得,椭圆的离心率=,又c=,所以a=,则b2=a2-c2=1,故椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)证明:先证明必要性,若M, N, F三点共线时,设直线MN的方程为x=my+,则圆心O(0, 0)到直线MN的距离为d==1,解得m2=1,联立方程组可得(m2+3)y2+2my-1=0,即4y2+2my-1=0,所以|MN|=·=×=.所以必要性成立;
下面证明充分性,当|MN|=时,设直线MN的方程为x=ty+s,此时圆心O(0, 0)到直线MN的距离d==1,则s2-t2=1,联立方程组可得(t2+3)y2+2tsy+s2-3=0.则Δ=4t2s2-4(t2+3)·(s2-3)=12(t2-s2+3)=24,因为|MN|=·=,所以t2=1,s2=2,因为直线MN与曲线x2+y2=b2 (x>0)相切,所以s>0,则s=.则直线MN的方程为x=ty+恒过焦点F(,0),故M,N,F三点共线,所以充分性得证.综上所述,M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=.
C级　挑战创新
15.多选题已知直线y=3x+2被椭圆+=1(a>b>0)截得的弦长为8,则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的是 (　　)
A.y=3x-2 B.y=3x+1
C.y=-3x-2 D.y=-3x+2
解析:因为椭圆关于原点和坐标轴对称,所以与直线y=3x+2关于原点和坐标轴对称的直线被椭圆+=1(a>b>0)截得的弦长也为8.直线y=3x+2关于原点对称的直线为y=3x-2,关于x轴对称的直线为y=-3x-2,关于y轴对称的直线为y=-3x+2,故应选ACD.
答案:ACD
16.多选题如图,某月球探测卫星发射后,该卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长,则给出下列式子中,正确的是 (　　)

A.a1+c1=a2+c2 B.a1-c1=a2-c2
C.< D.c1a2>a1c2
解析:观察图形可知a1+c1>a2+c2,即A项不正确;a1-c1=a2-c2=|PF|,即B项正确;由a1-c1=a2-c2>0,c1>c2>0,知<,即<,从而c1a2>a1c2,>,即D项正确,C项不正确.
答案:BD