高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆习题，共5页。试卷主要包含了设F1，F2是椭圆E，已知椭圆C，画法几何创始人蒙日发现等内容，欢迎下载使用。

1．椭圆4x2＋49y2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．7，2， eq \f(3\r(5),7)B．14，4， eq \f(3\r(5),7)
C．7，2， eq \f(\r(5),7)D．14，4，－ eq \f(\r(5),7)
【答案】B 【解析】将椭圆方程化为标准形式为 eq \f(x2,49)＋ eq \f(y2,4)＝1，可知b＝2，a＝7，c＝3 eq \r(5)，则可得长轴长2a＝14，短轴长2b＝4，离心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(3\r(5),7).
2．若焦点在x轴上的椭圆 eq \f(x2,2)＋ eq \f(y2,m)＝1的离心率为 eq \f(1,2)，则m等于( )
A． eq \r(3)B． eq \f(3,2)
C． eq \f(8,3)D． eq \f(2,3)
【答案】B 【解析】因为a2＝2，b2＝m，e＝ eq \f(c,a)＝ eq \r(1－\f(b2,a2))＝ eq \r(1－\f(m,2))＝ eq \f(1,2)，所以m＝ eq \f(3,2).
3．已知椭圆 eq \f(x2,5)＋ eq \f(y2,m)＝1的离心率e＝ eq \f(\r(10),5)，则m的值为( )
A．3或25 B． eq \f(25,3)或4
C．4或3 D．3或 eq \f(25,3)
【答案】D 【解析】当焦点在x轴上时，a2＝5，b2＝m，所以c2＝a2－b2＝5－m.又因为e＝ eq \f(\r(10),5)，所以 eq \f(5－m,5)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(10),5))) eq \s\up12(2)，解得m＝3.当焦点在y轴上时，a2＝m，b2＝5，所以c2＝a2－b2＝m－5.又因为e＝ eq \f(\r(10),5)，所以 eq \f(m－5,m)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(10),5))) eq \s\up12(2)，解得m＝ eq \f(25,3).故m＝3或m＝ eq \f(25,3).
4．设F1，F2是椭圆E： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝ eq \f(3a,2)上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
A． eq \f(1,2)B． eq \f(2,3)C． eq \f(3,4)D． eq \f(4,5)
【答案】C 【解析】如图，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，所以|PF2|＝|F2F1|，即2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)a－c))＝2c，所以e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(3,4).
5．已知椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作长轴的垂线与椭圆的一个交点为P，若tan ∠PF2F1＝ eq \f(3,4)，则椭圆的离心率为( )
A． eq \f(1,2)B． eq \f(1,3)
C． eq \f(1,4)D． eq \f(1,5)
【答案】A 【解析】如图，把x＝－c代入 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1，可得y＝± eq \f(b2,a)，不妨取P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，\f(b2,a)))，则|PF1|＝ eq \f(b2,a)，而|F1F2|＝2c，所以tan ∠PF2F1＝ eq \f(\f(b2,a),2c)＝ eq \f(b2,2ac)＝ eq \f(a2－c2,2ac)＝ eq \f(3,4)，则2c2＋3ac－2a2＝0，即2e2＋3e－2＝0，解得e＝－2(舍去)或e＝ eq \f(1,2).
6．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e满足0A．(1，2) B．(2，3]
C．(2，4] D．(3，4]
【答案】C 【解析】因为b＝1，所以c2＝a2－1.又因为 eq \f(c2,a2)＝ eq \f(a2－1,a2)＝1－ eq \f(1,a2)≤ eq \f(3,4)，所以 eq \f(1,a2)≥ eq \f(1,4)，所以a2≤4.又因为a2－1>0，所以a2>1，所以17．(多选)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论不正确的是( )
A．长轴长为 eq \f(1,2)B．焦距为 eq \f(\r(3),4)
C．短轴长为 eq \f(1,4)D．离心率为 eq \f(\r(3),2)
【答案】ABC 【解析】椭圆C：16x2＋4y2＝1，化为标准形式 eq \f(x2,\f(1,16))＋ eq \f(y2,\f(1,4))＝1，可得a＝ eq \f(1,2)，b＝ eq \f(1,4)，则长轴长为2a＝1，短轴长为2b＝ eq \f(1,2)，c＝ eq \r(\f(1,4)－\f(1,16))＝ eq \f(\r(3),4)，焦距2c＝ eq \f(\r(3),2)，可得离心率为e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(\f(\r(3),4),\f(1,2))＝ eq \f(\r(3),2).
8．(2023年滨海期中)画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆．若椭圆 eq \f(x2,6)＋ eq \f(y2,b2)＝1的蒙日圆为x2＋y2＝10，则该椭圆的离心率为__________．
【答案】 eq \f(\r(3),3) 【解析】因为蒙日圆半径的平方等于椭圆的长半轴、短半轴的平方和，而 eq \f(x2,6)＋ eq \f(y2,b2)＝1的蒙日圆为x2＋y2＝10，其半径的平方为10，故有6＋b2＝10，故b2＝4⇒c＝ eq \r(2)，则e＝ eq \f(\r(2),\r(6))＝ eq \f(\r(3),3).
9．与椭圆 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,9)＝1有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为__________．
【答案】x2＋ eq \f(y2,6)＝1 【解析】由椭圆 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,9)＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，± eq \r(5))，故可设所求椭圆方程为 eq \f(y2,a2)＋ eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，则c＝ eq \r(5).又因为2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6.故所求椭圆的标准方程为x2＋ eq \f(y2,6)＝1.
10．分别求符合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)离心率是 eq \f(2,3)，长轴长是6；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
解：(1)由已知得2a＝6，e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(2,3)，
∴a＝3，c＝2.
∴b2＝a2－c2＝9－4＝5.
∴椭圆的标准方程为 eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,5)＝1或 eq \f(x2,5)＋ eq \f(y2,9)＝1.
(2)设椭圆的标准方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0).
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2上的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18.
故所求椭圆的标准方程为 eq \f(x2,18)＋ eq \f(y2,9)＝1.
B级——能力提升练
11．某月球探测器的运行轨道是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，其近月点与月球表面距离为100 km，远月点与月球表面距离为400 km.已知月球的直径约为3 476 km，则该椭圆形轨道的离心率约为( )
A． eq \f(1,25)B． eq \f(3,40)C． eq \f(1,8)D． eq \f(3,5)
【答案】B 【解析】如图，F为月球的球心，月球半径约为 eq \f(1,2)×3 476＝1 738(km)，依题意得|AF|＝100＋1 738＝1 838，|BF|＝400＋1 738＝2 138.所以2a＝1 838＋2 138＝3 976，解得a＝1 988.由a＋c＝2 138得c＝2 138－1 988＝150，所以椭圆的离心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(150,1 988)≈ eq \f(3,40).故选B.
12．(多选)在平面直角坐标系Oxy中，椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上存在点P，使得PF1＝3PF2，其中F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为( )
A． eq \f(1,4)B． eq \f(1,2)C．3 eq \r(5)－6 D． eq \f(3,4)
【答案】BD 【解析】设椭圆的焦距为2c(c>0)，由椭圆的定义可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(PF1＝3PF2，,PF1＋PF2＝2a，))解得PF1＝ eq \f(3a,2)，PF2＝ eq \f(a,2)，由题意可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,2)≥a－c，,\f(3a,2)≤a＋c，))解得 eq \f(c,a)≥ eq \f(1,2)，又因为0< eq \f(c,a)<1，所以 eq \f(1,2)≤ eq \f(c,a)<1，所以该椭圆离心率的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).故选BD.
13．若点O和点F分别为椭圆 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则 eq \(OP,\s\up6(→))· eq \(FP,\s\up6(→))的最大值为________．
【答案】6 【解析】由椭圆 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1可得F(－1，0)，O(0，0).设P(x，y)，－2≤x≤2，则 eq \(OP,\s\up6(→))· eq \(FP,\s\up6(→))＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)x2))＝ eq \f(1,4)x2＋x＋3＝ eq \f(1,4)(x＋2)2＋2，当且仅当x＝2时， eq \(OP,\s\up6(→))· eq \(FP,\s\up6(→))取得最大值6.
14．二十大报告中提到：“基础研究和原始创新不断加强，一些关键核心技术实现突破，战略性新兴产业发展壮大，我国载人航天取得重大成果，进入创新型国家行列．”“神舟”十五号飞行任务是中国载人航天工程2022年的第六次飞行任务，也是中国空间站建造阶段最后一次飞行任务．某校航天社团利用计算机模拟探测器某段飞行轨迹，如图，探测器在环月椭圆轨道上运动，月球的球心为椭圆的一个焦点，探测器在近月点“制动”后，进入距离月球表面n千米的环月圆形轨道．已知两轨道相切于近月点，远月点到月球表面的最近距离为m千米，月球半径为r千米，则椭圆轨道的长轴长为________；离心率为________．
【答案】m＋n＋2r eq \f(m－n,m＋n＋2r) 【解析】由题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋c＝m＋r，,a－c＝r＋n，))∴2a＝m＋n＋2r，2c＝m－n.∴e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(m－n,m＋n＋2r).
15．已知F1，F2是椭圆的左、右两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的取值范围；
(2)求证：△PF1F2的面积只与椭圆的短轴长有关．
(1)解：设椭圆方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.
在△PF1F2中，由余弦定理可知
4c2＝m2＋n2－2mn cs 60°
＝(m＋n)2－3mn
＝4a2－3mn≥4a2－3· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2))) eq \s\up12(2)
＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号).
所以 eq \f(c2,a2)≥ eq \f(1,4)，即e≥ eq \f(1,2).
又因为0(2)证明：由(1)知mn＝ eq \f(4,3)b2，
所以S△PF1F2＝ eq \f(1,2)mn sin 60°＝ eq \f(\r(3),3)b2.
故△PF1F2的面积只与短轴长有关．