人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆第1课时课时练习

第1课时　椭圆的简单几何性质

1．[2023·辽宁葫芦岛高二检测]椭圆x2＋2y2＝1的焦点坐标为(　　)

A．(，0)，(－，0)    B．(0，)，(0，－)

C．(，0)，(－，0)    D．(0，)，(0，－)

2．[2023·山西运城高二检测]已知椭圆C：9x2＋4y2＝1，则椭圆的长轴长为(　　)

A．1    B．

C．    D．

3．已知椭圆经过点(－，0)，且焦点分别为F1(0，－1)，F2(0，1)，则椭圆的离心率为(　　)

A．    B．

C．    D．

4．圆C：x2＋＝1的一个焦点是，则k的值是(　　)

A．B．2

C．3    D．4

5．[2023·山东济南三中高二检测]已知椭圆的焦点在y轴，焦距为2，且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为(　　)

A．＋y2＝1    B．＋x2＝1

C．x2＋＝1    D．x2＋＝1

6．[2023·湖南湘潭高二测试](多选)已知椭圆C1：5x2＋y2＝5，C2：＋＝1，则(　　)

A．C1，C2的焦点都在x轴上

B．C1，C2的焦距相等

C．C1，C2没有公共点

D．C2比C1更接近圆

7．若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，且离心率为e＝，则m＝________．

8．[2023·广东湛江高二测试]写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程：________．

①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；③离心率为.

1．[2023·北京昌平二中高二检测]已知P为椭圆C：＋＝1(a>b>0)上的点，点P到椭圆焦点的距离的最小值为2，最大值为18，则椭圆的离心率为(　　)

A．    B．

C．    D．

2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，|PF1|＋|PF2|＝10，且离心率为，则椭圆C的标准方程为(　　)

A．＋＝1    B．＋＝1

C．＋＝1    D．＋＝1

3．[2023·安徽芜湖高二检测]已知点A，B分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右、上顶点，过椭圆C上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为左焦点F1，且AB∥OP，则椭圆C的离心率为(　　)

A．B．

C．    D．

4．[2023·广东广州高二检测]若2<m<8，椭圆C：＋＝1与椭圆D：＋＝1的离心率分别为e1，e2，则(　　)

A．e1·e2的最小值为

B．e1·e2的最小值为

C．e1·e2的最大值为

D．e1·e2的最大值为

5．[2023·山东济南高二测试](多选)已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1(－9<t<0)，则下列说法错误的是(　　)

A．长轴长相等    B．短轴长相等

C．离心率相等    D．焦距相等

6．(多选)嫦娥五号探测器是我国第一个实施无人月面取样返回的月球探测器．如图所示，现假设该探测器沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用c1和c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦半距，用a1和a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长半轴长，则下列式子正确的是(　　)

A．a1＋c2＝a2＋c1B．a1c2＝a2c1

C．a－c＝a－c    D．>

7．若椭圆短轴的两个端点和一个焦点构成一个正三角形的三个顶点，则椭圆的焦距与长轴长之比为________．

8．[2023·山东青岛高二检测]设F1，F2是椭圆的两个焦点，A为椭圆上的点，且AF2·F1F2＝0，cos ∠AF1F2＝，则椭圆的离心率为________．

9．求满足下列条件的椭圆的标准方程．

(1)与椭圆＋＝1有相同的焦点，且经过点(－2，3)；

(2)点A(，2)，B(，－2)，C(－2，2)，D(3，0)中恰有三个点在椭圆上．

10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(1，)，且离心率e＝.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若P是椭圆C上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积S.

1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为坐标平面上一点，且满足PF1·PF2＝0的点P均在椭圆C的内部，则椭圆C的离心率的取值范围为(　　)

A．(0，)    B．(0，)

C．(，1)    D．(，1)

2．[2023·河北邢台高二检测]设P是椭圆＋＝1上的任一点，EF为圆C：(x－)2＋y2＝1的任一条直径，则·的最小值为________．

3．给定椭圆C：＋＝1(a>b>0)，称圆心在原点O、半径是 的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F(，0)，其短轴的一个端点到点F的距离为.

(1)求椭圆C和其“准圆”的方程；

(2)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求·的取值范围．

第1课时　椭圆的简单几何性质

必备知识基础练

1．答案：C

解析：由x2＋2y2＝1得x2＋＝1，

∴a2＝1，b2＝，∴c＝ ＝，

∴焦点坐标为(，0)，(－，0).故选C.

2．答案：A

解析：由椭圆C：9x2＋4y2＝1得＋＝1，所以a2＝，解得a＝，所以长轴长为2a＝1.故选A.

3．答案：D

解析：由于焦点为F1(0，－1)，所以焦点在y轴上，且c＝1，由于椭圆经过点(－，0)，所以b＝，所以a＝＝，所以椭圆的离心率为＝.故选D.

4．答案：B

解析：∵椭圆C：x2＋＝1的一个焦点是(0，1)，焦点在y轴上，

∴c＝1，a2＝k，b＝1，

∴k＝c2＋b2＝2.

故选B.

5．答案：D

解析：因为椭圆的焦点在y轴，所以设椭圆方程为＋＝1，

则c2＝a2－b2＝()2＝3，且a＝2b，

解得a2＝4，b2＝1，

所以椭圆的标准方程为x2＋＝1.故选D.

6．答案：BCD

解析：对于A，因为椭圆C1的标准方程为x2＋＝1，所以C1的焦点在y上，所以A不正确；

对于B，因为椭圆C1的焦距为2＝4，椭圆C2的焦距为2＝4，所以B正确；

对于C，作出椭圆C1，C2的图象，由图象可知，椭圆C1，C2没有公共点，所以C正确；

对于D，因为椭圆C1的离心率为e1＝，C2的离心率为e2＝＝，所以e1>e2，所以D正确．故选BCD.

7．答案：20

解析：由题意得a2＝36，b2＝m，则c2＝36－m，

故＝2＝，解得m＝20.

8．答案：＋＝1(答案不唯一)

解析：只要椭圆方程形如＋＝1(m>0)或＋＝1(m>0)即可．

关键能力综合练

1．答案：B

解析：因为点P到椭圆焦点的距离的最小值为2，最大值为18，

所以⇒，

所以椭圆的离心率为e＝＝.故选B.

2．答案：B

解析：根据椭圆定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，

所以a＝5，

由离心率e＝＝，所以c＝，

由b2＝a2－c2＝25－5＝20，

所以椭圆C的标准方程为＋＝1.故选B.

3．答案：C

解析：由已知得A(a，0)，B(0，b)，P(－c，)，

所以＝(－a，b)，＝(－c，)，

由AB∥OP得∥，

所以－a·＝－b·c，

所以b＝c.

由a2＝b2＋c2得a＝c，

所以e＝＝.故选C.

4．答案：D

解析：因为2<m<8，

所以e1＝ ，e2＝ ，

所以e1·e2＝

＝ ≤＝，

当且仅当m＝4时，等号成立，

故e1·e2的最大值为，e1·e2无最小值．故选D.

5．答案：ABC

解析：由已知条件得椭圆＋＝1中，a＝4，b＝3，c＝＝，

则该椭圆的长轴长为2a＝8，短轴长为2b＝6，离心率为e＝＝，焦距为2c＝2；

在椭圆＋＝1中，焦点在x轴上，a＝，b＝，c＝＝，故这两个椭圆只有焦距相等．故选ABC.

6．答案：AD

解析：∵a1－c1＝|PF|，a2－c2＝|PF|，∴a1－c1＝a2－c2，即a1＋c2＝a2＋c1，故A正确；

∵a1＋c2＝a2＋c1，∴(a1＋c2)2＝(a2＋c1)2，a－c＋2a1c2＝a－c＋2a2c1，

b＋2a1c2＝b＋2a2c1，∵b1>b2，∴a1c2<a2c1，故B错误；C错误；

由B可知，a1c2<a2c1，则>，故D正确．故选AD.

7．答案：∶2

解析：由椭圆短轴的两个端点和一个焦点构成一个正三角形，

则2b＝a，又∵b2＋c2＝a2(a>0，b>0，c>0)，

所以椭圆的焦距与长轴长之比为＝＝＝＝.

8．答案：

解析：因为AF2·F1F2＝0，

所以AF2⊥F1F2，即AF2⊥F1F2，

设椭圆的焦距为2c，长轴长为2a，

在Rt△AF2F1中，cos ∠AF1F2＝，|F1F2|＝2c，

所以|AF1|＝＝＝c，|AF2|＝c，又|AF1|＋|AF2|＝2a，

所以2c＝2a，

所以椭圆的离心率为e＝＝.

9．解析：(1)椭圆＋＝1的焦点坐标为(－2，0)，(2，0).

所以设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，

由题意得解得

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)根据椭圆的对称性，A(，2)，B(，－2)两点必在椭圆上，

因为点A和点C的纵坐标为2，A，C两点并不关于y轴对称，

故点C不在椭圆上．所以点A(，2)，B(，－2)，D(3，0)三点在椭圆上．

设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，代入A，D两点得

解得所以椭圆的标准方程为＋＝1.

10．解析：(1)由题意椭圆的离心率e＝＝，∴a＝2c，∴b2＝a2－c2＝3c2，

∴椭圆C的方程为＋＝1，

又点(1，)在椭圆上，∴＋＝1，解得c2＝1.

∴椭圆C的方程为＋＝1；

(2)由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝4，①

由余弦定理知|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，

即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝4⇒(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|＝4，　②

联立①②得|PF1|·|PF2|＝4，

∴S＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝.

核心素养升级练

1．答案：A

解析：∵PF1·PF2＝0，

∴∠F1PF2＝90°，

所以点P的轨迹为以F1F2为直径的圆，且该圆在椭圆C的内部，

所以c<b，所以c2<b2＝a2－c2，

所以2c2<a2，即e2<，

所以0<e<.故选A.

2．答案：

解析：由题设，C(，0)，且E，F关于C对称，

因P是椭圆＋＝1上的任一点，设P(m，n)，则满足＋＝1，即n2＝3－m2.

·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝||2－1，

||2＝(m－)2＋n2＝m2－m＋＋3－m2＝(m－)2＋，m∈[－2，2]，

∴当m＝时，||2取到最小值，此时·＝，

故·的最小值为.

3．解析：(1)由题意知c＝，且a＝＝，可得b＝＝1，

故椭圆C的方程为＋y2＝1，其“准圆”方程为x2＋y2＝4.

(2)由题意，可设B(m，n)，D(m，－n)(－<m<)，

则有＋n2＝1，又A点坐标为(2，0)，所以＝(m－2，n)，＝(m－2，－n)，

所以·＝(m－2)2－n2＝m2－4m＋4－(1－)

＝m2－4m＋3＝2，

又－<m<，所以(m－)2∈，

所以·的取值范围是[0，7＋4).