数学人教A版 (2019)第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆第2课时综合训练题

第三章　3.1　3.1.2　第2课时

A组·素养自测

一、选择题

1．若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( B )

A．(－∞，0)∪(1，＋∞) 

B．(1,3)∪(3，＋∞)

C．(－∞，－3)∪(－3,0) 

D．(1,3)

[解析]　由

消去y，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.

若直线与椭圆有两个公共点，

则

解得

由＋＝1表示椭圆，知m>0且m≠3.

综上可知，m>1且m≠3，故选B.

2．我们把由半椭圆＋＝1(x≥0)与半椭圆＋＝1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，a>b>c>0)，如图所示，其中点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点．若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为( A )

A.，1  B．，1

C．5,3  D．5,4

[解析]　∵|OF2|＝＝，|OF0|＝c＝|OF2|＝，∴b＝1，

∴a2＝b2＋c2＝1＋＝，得a＝.故选A.

3．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为( B )

A.　　  B．　　

C．　　  D．

[解析]　易求得直线AB的方程为y＝(x＋)．

由消去y并整理，得7x2＋12x＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.

由弦长公式，得|AB|＝·|x1－x2|＝·＝.

4．(2023·福建泉州市普通高中质量检测)过点M(m,0)的直线交椭圆＋＝1于P，Q两点，且PQ的中点坐标为(2,1)，则m＝( C )

A．1  B．

C．3  D．4

[解析]　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)在椭圆上，PQ的中点H为(2,1)，所以x1＋x2＝4，

y1＋y2＝2，又因为，两式相减得＝－＝－1，

即kPQ＝－1，又因为kPQ＝kMH＝＝－1，故m＝3.

5．已知椭圆C：＋＝1内一点M(1,2)，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是( BCD )

A．椭圆的焦点坐标为(2,0)，(－2,0)

B．椭圆C的长轴长为4

C．直线l的方程为x＋y－3＝0

D．|AB|＝

[解析]　选项A：由椭圆方程知：其焦点坐标为(0，±2)，错误；选项B：a2＝8，即椭圆C的长轴长为2a＝4，正确；选项C：由题意，可设直线l为x＝k(y－2)＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4，联立椭圆方程并整理得：(2k2＋1)y2＋4k(1－2k)y＋8k2－8k－6＝0，M为椭圆内一点，则Δ>0，

所以y1＋y2＝＝4，可得k＝－1，即直线l为x＋y－3＝0，正确；

选项D：由C知：y1＋y2＝4，y1y2＝，则|AB|＝·＝，正确．

二、填空题

6．设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过焦点F1的直线交椭圆于M，N两点，若△MNF2的内切圆的面积为π，则△MNF2的面积为 4　.

[解析]　如图，已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，a＝2，过焦点F1的直线交椭圆于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，△MNF2的内切圆的面积为π，

所以△MNF2的内切圆半径r＝1.

所以△MNF2的面积S＝×1×(|MN|＋|MF2|＋|NF2|)＝2a＝4.

7．直线y＝kx＋1(k∈R)与椭圆＋＝1恒有公共点，则m的取值范围为_[1,5)∪(5，＋∞)__.

[解析]　将y＝kx＋1代入椭圆方程，消去y并整理，得(m＋5k2)x2＋10kx＋5－5m＝0.

由m>0,5k2≥0，知m＋5k2>0，故

Δ＝100k2－4(m＋5k2)(5－5m)≥0对k∈R恒成立．

即5k2≥1－m对k∈R恒成立，故

1－m≤0，∴m≥1.

又∵m≠5，∴m的取值范围是m≥1且m≠5.

8．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e＝，则椭圆方程为 ＋＝1　，若直线l交椭圆于M，N两点，且△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则直线l方程为 6x－5y－28＝0　.

[解析]　由题意得b＝4，又e2＝＝＝1－＝，解得a2＝20.

所以椭圆的方程为＋＝1.

所以椭圆右焦点F的坐标为(2,0)，设线段MN的中点为Q(x0，y0)，

由三角形重心的性质知＝2，从而

(2，－4)＝2(x0－2，y0)，解得x0＝3，y0＝－2，

所以点Q的坐标为(3，－2)．

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，且＋＝1，＋＝1，

以上两式相减得＋＝0，

所以kMN＝＝－·＝－×＝，

故直线l的方程为y＋2＝(x－3)，即6x－5y－28＝0.

三、解答题

9．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．

[解析]　(1)将点(0,4)代入椭圆C的方程，得＝1，

∴b＝4，

又e＝＝，则＝，∴1－＝，∴a＝5，

∴椭圆C的方程为＋＝1.

(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，

设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入椭圆方程得＋＝1，即x2－3x－8＝0，由韦达定理得x1＋x2＝3，所以线段AB中点的横坐标为＝，纵坐标为＝－，即所截线段的中点坐标为.

10．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，且△MF1F2为面积是1的等腰直角三角形．

(1)求椭圆E的方程；

(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆E交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴相切，求m的值．

[解析]　(1)由题意可得M(0，b)，F1(－c,0)，F2(c，0)，

由△MF1F2为面积是1的等腰直角三角形得a2＝1，b＝c，且a2－b2＝c2，解得b＝c＝1，a＝，则椭圆E的方程为＋y2＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立⇒3x2－4mx＋2m2－2＝0，

有Δ＝16m2－12(2m2－2)>0，

即－<m<，

x1＋x2＝，x1x2＝，可得AB中点横坐标为，

|AB|＝·

＝·＝，

以AB为直径的圆与y轴相切，

可得半径r＝|AB|＝，

即＝，解得m＝±∈(－，)，则m的值为±.

B组·素养提升

一、选择题

1．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( C )

A．(0,1)  B．

C.  D．

[解析]　依题意得，c<b，即c2<b2，

∴c2<a2－c2,2c2<a2，故离心率e＝<，

又0<e<1，∴0<e<，故选C.

2．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( C )

A．2  B．3

C．6  D．8

[解析]　由题意可知O(0,0)，F(－1,0)，设点P为(x，y)，则＝(x，y)，＝(x＋1，y)，

∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋y2

＝x2＋x＋3－x2

＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2.

∵x∈[－2,2]，∴当x＝2时，·取最大值．

(·)max＝(2＋2)2＋2＝6，故选C.

3．以F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( C )

A.＋＝1  B．＋＝1

C.＋＝1  D．＋＝1

[解析]　由题意设椭圆方程为＋＝1，

得(2b2＋1)x2＋6(b2＋1)x＋8b2＋9－b4＝0，

由Δ≥0得b2≥4，所以b2的最小值为4，

由e＝＝，

则b2＝4时，e取最大值，故选C.

4．(多选)设椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是( BD )

A．直线AB与OM垂直

B．若点M(1,1)，则直线方程为2x＋y－3＝0

C．若直线方程为y＝x＋1，则点M

D．若直线方程为y＝x＋2，则|AB|＝

[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(m，n)，由题意得＋＝1，＋＝1，

两式相减可得＋＝0，所以kAB＝.

因为m＝，n＝，kOM＝，所以kABkOM＝－2，故A错误．

对于B项，因为kABkOM＝－2，kOM＝1，所以kAB＝－2，则直线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，故B正确．

由可得3x2＋2x－3＝0，所以x1＋x2＝－，则中点M，故C错误．

由可得3x2＋4x＝0，解得或则|AB|＝×＝，故D正确．故选BD.

二、填空题

5.某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为8米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是_32__米．

[解析]　设椭圆方程为＋＝1，

当点(4，4.5)在椭圆上时，＋＝1，

解得a＝16，

∵车辆高度不超过4.5米，∴a≥16，d＝2a≥32，

故拱宽至少为32米．

6.如图所示，把椭圆＋＝1的长轴(线段AB)分成8等份，过每个分点作x轴的垂线，分别交椭圆于P1，P2，P3，…，P7七个点，F是椭圆的左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝_35__.

[解析]　由椭圆的对称性及定义，知|P1F|＋|P7F|＝2a，|P2F|＋|P6F|＝2a，

|P3F|＋|P5F|＝2a，|P4F|＝a，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝7a，因为a＝5，所以所求式子的值为35.

7．在直线l：x－y＋9＝0上取一点M，过M作以F1(－3，0)，F2(3,0)为焦点的椭圆，则当|MF1|＋|MF2|最小时，椭圆的标准方程为 ＋＝1　.

[解析]　设F1(－3,0)关于l：x－y＋9＝0的对称点为F(x，y)，

则⇒即F(－9,6)，

连接F2F交l于M，点M即为所求．

lF2Fy＝－(x－3)，即x＋2y－3＝0，

解方程组⇒

即M(－5,4)．

当点M′取异于M点时，|FM′|＋|M′F2|>|FF2|.

满足题意的椭圆的长轴长2a＝|FF2|＝＝6，

所以a＝3，b2＝a2－c2＝45－9＝36，

所以椭圆的方程为＋＝1.

三、解答题

8．(2023·北京市昌平区期末)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点A.

(1)求椭圆的方程；

(2)在椭圆C上找一点P，使它到直线l：x＋y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．

[解析]　(1)由题意可知2c＝2，∴c＝，a2＝b2＋c2＝b2＋2，将点A的坐标代入＋＝1，解得b2＝1，则a2＝3，故椭圆方程为＋y2＝1.

(2)设与直线l：x＋y＋4＝0平行的直线x＋y＋m＝0与椭圆相切，

联立直线与椭圆方程得消去y并整理，得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，

由其根的判别式Δ＝(6m)2－16(3m2－3)＝0，解得m＝±2.当m＝2时，直线l与直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝；当m＝－2时，直线l与直线x＋y－2＝0的距离d＝＝3.由<3可知，m＝2符合题意．

将m＝2代入4x2＋6mx＋3m2－3＝0可解得x＝－，将x＝－代入x＋y＋2＝0可得y＝－，则点P的坐标为.此时距离的最小值为.

9．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，下顶点为B，过A，O，B(O为坐标原点)三点的圆的圆心坐标为.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知点M在x轴正半轴上，过点B作BM的垂线与椭圆交于另一点N，若∠BMN＝60°，求点M的坐标．

[解析]　(1)依题意知A(a,0)，B(0，－b)，

因为△AOB为直角三角形，

所以过A，O，B三点的圆的圆心为斜边AB的中点，所以＝，－＝－，

即a＝，b＝1，

所以椭圆的方程为＋y2＝1.

(2)由(1)知B(0，－1)，依题意知直线BN的斜率存在且小于0，

设直线BN的方程为y＝kx－1(k＜0)，

则直线BM的方程为：y＝－x－1，

由

消去y得(1＋3k2)x2－6kx＝0，

解得：xN＝，yN＝kxN－1，

所以|BN|＝＝＝|xN|，

所以|BN|＝·，

在y＝－x－1中，令y＝0得x＝－k，

即M(－k,0)，所以|BM|＝，

在Rt△MBN中，因为∠BMN＝60°，

所以|BN|＝|BM|，

即·＝·，

整理得3k2－2|k|＋1＝0，解得|k|＝，

因为k＜0，所以k＝－，

所以点M的坐标为.