高一(上)期末数学试卷-(含解析)

这是一份高一(上)期末数学试卷-(含解析)，共17页。试卷主要包含了若=，函数f，函数的图象的一条对称轴方程是，若|+|=2，⊥，则|﹣|=，若，，则在方向上的投影是，若函数f等内容，欢迎下载使用。
高一（上）期末数学试卷
一、 选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.
1．若=（x，1），，，则实数x=（　　）
A．0 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2
2．下列图形中可以是某个函数的图象的是（　　）
A． B． C． D．
3．函数f（x）=loga（x+2）+1（a＞0且a≠1）的图象经过的定点是（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，0） D．（1，2）
4．函数的图象的一条对称轴方程是（　　）
A．x=0 B． C． D．
5．若a＞1，则一定存在一个实数x0，使得当x＞x0时，都有（　　）
A． B．
C．ax＜ax3+a＜logax D．ax3+a＜ax＜logax
6．若|+|=2，⊥，则|﹣|=（　　）
A．1 B． C．2 D．4
7．若集合A={x|log2x＜3}，集合，则A∩B=（　　）
A．{x|2＜x＜8} B．{x|0＜x＜2} C．{x|﹣2＜x＜8} D．{x|x＜8}
8．若，，则在方向上的投影是（　　）
A． B． C． D．
9．若一扇形的周长为4，面积为1，则该扇形的圆心角的弧度数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．若函数f（x）=ax+loga（x2+1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为a2+a+2，则实数a的值是（　　）
A． B．10 C． D．2
11． =（　　）
A． B． C．1 D．3
12．已知向量与的夹角为，，，若与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．　
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．，，，则与的夹角是　 　．
14．若函数f（x）=2sin（πx+φ）+1（0＜φ＜π）是偶函数，则φ=　 　．
15．若，则=　 　．
16．若定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），f（x+1）是奇函数，现给出下列4个论断：
①f（x）是周期为4的周期函数；
②f（x）的图象关于点（1，0）对称；
③f（x）是偶函数；
④f（x）的图象经过点（﹣2，0）
其中正确论断的序号是　 　（请填上所有正确论断的序号）．　
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域与零点；
（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性．



18．已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）的图象的对称中心的坐标．


19．已知某海滨浴场的海浪高度（单位：米）是时间（单位：小时，0≤t≤24）的函数，记作y=f（t），如表是某日各时的浪高数据：

t（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（米）
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
（Ⅰ）在如图的网格中描出所给的点；
（Ⅱ）观察图，从y=at+b，y=at2+bt+c，y=Acos（ωx+p）中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；
（Ⅲ）依据规定，当海浪高度高于1.25米时蔡对冲浪爱好者开放，请依据（Ⅱ）的结论判断一天内的8：00到20：00之间有多长时间可供冲浪爱好者进行活动．






20．已知x=cos81°cos39°﹣sin219°cos171°，，，求x+y+z的值．







21．已知，，，．
（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求β的值．











22．已知函数的值域为D，函数，x∈[4，+∞）的值域为T．
（Ⅰ）求集合D和集合T；
（Ⅱ）若对任意的实数x1∈[4，+∞），都存在x2∈R，使得g（x1）f（x2）=1，求实数a的取值范围．
　








参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若=（x，1），，，则实数x=（　　）
A．0 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2
【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示公式可得x2﹣4=0，解可得x的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意， =（x，1），，
若，则有x2﹣4=0，
解可得：x=±2；
故选：D．
　
2．下列图形中可以是某个函数的图象的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】31：函数的概念及其构成要素．
【分析】由函数的概念，A、B、C中有的x，存在两个y与x对应，不符合函数的定义．
【解答】解：由函数的概念，A、B、C中有的x，存在两个y与x对应，
不符合函数的定义，
而D符合．
故选：D．　
3．函数f（x）=loga（x+2）+1（a＞0且a≠1）的图象经过的定点是（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，0） D．（1，2）
【考点】4N：对数函数的图象与性质．
【分析】根据对数函数的性质，令真数等于1，可得x的值，带入计算即可得y的值，从而得到定点的坐标．
【解答】解：函数f（x）=loga（x+2）+1，
令x+2=1，可得：x=﹣1，
那么y=1，
∴函数f（x）=loga（x+2）+1（a＞0且a≠1）的图象经过的定点是（﹣1，1）．
故选：B．
　
4．函数的图象的一条对称轴方程是（　　）
A．x=0 B． C． D．
【考点】H2：正弦函数的图象．
【分析】根据三角函数的对称轴方程公式，求出该题的对称轴方程，判断各选项即可．
【解答】解：函数，
其对称轴方程为：，k∈Z．
可得：x=．
当k=1时，可得一条对称轴方程是x=．
故选：D．
　
5．若a＞1，则一定存在一个实数x0，使得当x＞x0时，都有（　　）
A． B．
C．ax＜ax3+a＜logax D．ax3+a＜ax＜logax
【考点】2I：特称命题．
【分析】a＞1时，函数y=logax，y=ax3+a，y=ax都为单调递增函数，但是增长速度不一样．进而得出答案．
【解答】解：a＞1时，函数y=logax，y=ax3+a，y=ax都为单调递增函数，但是增长速度不一样．
根据它们增长快慢的速度，可得：一定存在一个实数x0，使得当x＞x0时，都有logax＜ax3+a＜ax．
故选：A．
　
6．若|+|=2，⊥，则|﹣|=（　　）
A．1 B． C．2 D．4
【考点】93：向量的模．
【分析】由⊥，得，利用向量的数量积的性质计算得答案．
【解答】解：由⊥，
得．
∵|+|2=，即，
∴|﹣|2==4．
∴|﹣|=2．
故选：C．
　
7．若集合A={x|log2x＜3}，集合，则A∩B=（　　）
A．{x|2＜x＜8} B．{x|0＜x＜2} C．{x|﹣2＜x＜8} D．{x|x＜8}
【考点】1E：交集及其运算．
【分析】先化简集合A，B，再根据交集的定义即可求出．
【解答】解：∵log2x＜3=log28，
∴0＜x＜8，
∴A={x|0＜x＜8}，
∵＜，
∴x＞2，
∴B={x|x＞2}，
∴A∩B={x|2＜x＜8}，
故选：A
　
8．若，，则在方向上的投影是（　　）
A． B． C． D．
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】由已知向量的坐标直接代入向量在向量方向上投影公式求解．
【解答】解：∵，，
∴在方向上的投影为．
故选：C．
　
9．若一扇形的周长为4，面积为1，则该扇形的圆心角的弧度数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】G8：扇形面积公式．
【分析】根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根据公式α=求出扇形圆心角的弧度数．
【解答】解：设扇形的弧长为l，半径为r，扇形的圆心角的弧度数是α，则2r+l=4，…①
∵S扇形=lr=1，…②
解①②得：r=1，l=2，
∴扇形的圆心角的弧度数α==2．
故选：B．
　
10．若函数f（x）=ax+loga（x2+1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为a2+a+2，则实数a的值是（　　）
A． B．10 C． D．2
【考点】3H：函数的最值及其几何意义．
【分析】依题意函数在[1，2]上单调，故f（1）+f（2）=a+loga2+a2+loga5=a2+a+2，即可得出结论．
【解答】解：依题意函数在[1，2]上单调，
故f（1）+f（2）=a+loga2+a2+loga5=a2+a+2，解得a=．
故选A．
　
11． =（　　）
A． B． C．1 D．3
【考点】GR：两角和与差的正切函数．
【分析】观察发现：12°+18°=30°，故利用两角和的正切函数公式表示出tan（12°+18°），利用特殊角的三角函数值化简，变形后即可得到所求式子的值．
【解答】解：由tan30°=tan（12°+18°）==，
得到tan12°+tan18°=1﹣tan12°•tan18°
则=tan12°+tan18°+tan12°•tan18°=1．
故选：C．
　
12．已知向量与的夹角为，，，若与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】根据与的夹角为锐角，则（）（）＞0，且排除同向的情况
【解答】解：∵与的夹角为锐角，
∴（）（）＞0，
即3λ+λ+（3+λ2）•＞0，
∵向量与的夹角为，，，
∴3λ+2λ+（3+λ2）＞0，
即λ2+5λ+3＞0，
解得λ＞或λ＜
当与的同向时，即λ2=3，即λ=时，不符合题意，
综上所述实数λ的取值范围是（﹣∞，）∪（，）∪（，+∞），
故选：D．
　
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．，，，则与的夹角是　　．
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量的夹角公式计算即可．
【解答】解：∵，
∴||==2，
∵，，
设与的夹角为θ，
∴cosθ===，
∵0≤θ≤π，
∴θ=，
故答案为：．
　
14．若函数f（x）=2sin（πx+φ）+1（0＜φ＜π）是偶函数，则φ=　　．
【考点】H3：正弦函数的奇偶性．
【分析】由于函数为偶函数，故需要符合诱导公式中的奇变偶不变，故φ=+kπ，即可得出结论．
【解答】解：由于函数为偶函数，故需要符合诱导公式中的奇变偶不变，故φ=+kπ，
由于0＜φ＜π，所以φ=．
故答案为．
　
15．若，则=　　．
【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．
【分析】由题意利用两角和的正切公式，求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．
【解答】解：若=，∴tanα=，则====，
故答案为：．
　
16．若定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），f（x+1）是奇函数，现给出下列4个论断：
①f（x）是周期为4的周期函数；
②f（x）的图象关于点（1，0）对称；
③f（x）是偶函数；
④f（x）的图象经过点（﹣2，0）
其中正确论断的序号是　①②③　（请填上所有正确论断的序号）．
【考点】3Q：函数的周期性．
【分析】求出函数f（x）的周期，判断出函数的奇偶性，从而求出答案即可．
【解答】解：由f（x+2）=﹣f（x）可知函数周期为4，
由f（x+1）是奇函数关于原点对称，
可知f（x）关于（1，0）对称，即f（1+x）=﹣f（1﹣x），
f（﹣x）=﹣f（﹣x+2）=﹣f（1+1﹣x）=f（1﹣（1﹣x））=f（x），
所以函数为偶函数，f（﹣2）=﹣f（﹣2+2）=﹣f（0），无法判断其值．
综上，正确的序号是：①②③．
故答案为：①②③．
　
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域与零点；
（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性．
【考点】4N：对数函数的图象与性质．
【分析】（1）由真数大于零得到关于实数x的不等式组，求解不等式组即可确定函数的定义域，解方程f（x）=0即可确定函数的零点．
（2）结合（1）的结论和函数解析式的特点即可确定函数的奇偶性．
【解答】解：（Ⅰ）∵∴﹣1＜x＜1，
∴f（x）的定义域为（﹣1，1）．
由f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）=0，得ln（1+x）=ln（1﹣x），
∴1+x=1﹣x＞0，解得x=0，∴f（x）的零点为x=0．
（Ⅱ）结合（I）的结论可得函数的定义域关于坐标原点对称，
且对任意的实数x∈（﹣1，1），
都有f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），
∴f（x）是奇函数．
　
18．已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）的图象的对称中心的坐标．
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．
【分析】（Ⅰ）利用二倍角和福之家公式化简，即可函数f（x）的最小正周期和递增区间；
（Ⅱ）根据三角函数的性质，即可求函数f（x）的图象的对称中心的坐标．
【解答】解：函数=．
（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期．
由，k∈Z，
得，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递增区间是，k∈Z．
（Ⅱ）由，k∈Z，得，k∈Z，
∴函数f（x）的图象的对称中心的坐标是，k∈Z．
　
19．已知某海滨浴场的海浪高度（单位：米）是时间（单位：小时，0≤t≤24）的函数，记作y=f（t），如表是某日各时的浪高数据：

t（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（米）
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
（Ⅰ）在如图的网格中描出所给的点；
（Ⅱ）观察图，从y=at+b，y=at2+bt+c，y=Acos（ωx+p）中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；
（Ⅲ）依据规定，当海浪高度高于1.25米时蔡对冲浪爱好者开放，请依据（Ⅱ）的结论判断一天内的8：00到20：00之间有多长时间可供冲浪爱好者进行活动．
【考点】5D：函数模型的选择与应用．
【分析】（Ⅰ）直接根据表中数据描点；
（Ⅱ）由图象，可知应选择的函数模型为：y=Acos（ωt+φ）+b，利用求得A，b的值，
再利用周期求得ω，最后代入图象上一个最高点或一个最低点的坐标求得φ值，则函数解析式可求；
（Ⅲ）由（Ⅱ），得0.5cos+1＞1.25，解三角不等式得答案．
【解答】解：（Ⅰ）由表中数据描点如图：
；
（Ⅱ）由图可知，应选择的函数模型为：y=Acos（ωt+φ）+b．
不妨设A＞0，ω＞0，
则A=，b=，，ω=．
∴y=0.5cos（φ）+1，
又当x=0时，y=1.5，
∴0.5cosφ+1=1.5，得cosφ=1，则φ=2kπ，k∈Z．
∴y=0.5cos（2kπ）+1=0.5cos+1，（0≤t≤24）；
（Ⅲ）由0.5cos+1＞1.25，得cos，
∴，即12k﹣2＜t＜12k+2，k∈Z．
又8≤t≤20，∴10＜t＜14．
故一天内的8：00到20：00之间有4个小时可供冲浪爱好者进行活动．
　
20．已知x=cos81°cos39°﹣sin219°cos171°，，，求x+y+z的值．
【考点】4H：对数的运算性质；GI：三角函数的化简求值．
【分析】利用和差公式、对数运算性质即可得出．
【解答】解：∵x=cos81°cos39°﹣sincos（90°+81°）
=cos81°cos39°﹣（﹣sin39°）（﹣sin81°）
=cos81°cos39°﹣sin81°sin39°=．
y=（lg2+lg5）（lg2﹣lg5）+1=lg2﹣lg5+1．
===2+2lg5=2+2lg5．
∴．
　
21．已知，，，．
（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求β的值．
【考点】GI：三角函数的化简求值．
【分析】（Ⅰ）根据向量的模长，求出的值，根据二倍角公式可得答案；
（Ⅱ）利用构造的思想，求出sin（α﹣β）的值，构造tan（α﹣β），利用和与差公式即可计算．
【解答】解：（Ⅰ）∵，，
∴，即．
∵，∴，
∴，∴，
∴．
（Ⅱ）∵，
∴﹣π＜α﹣β＜0，
又∵，
∴，∴tan（α﹣β）=﹣7，
．
又，
∴．
　
22．已知函数的值域为D，函数，x∈[4，+∞）的值域为T．
（Ⅰ）求集合D和集合T；
（Ⅱ）若对任意的实数x1∈[4，+∞），都存在x2∈R，使得g（x1）f（x2）=1，求实数a的取值范围．
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．
【分析】（Ⅰ）将f（x）化简，利用三角函数的有界限，可得值域D，对函数g（x）化简，转化为二次函数问题，x∈[4，+∞）对a进行讨论，可得值域T；
（Ⅱ）对任意的实数x1∈[4，+∞），都存在x2∈R，使得g（x1）f（x2）=1，求出的值域S，根据子集关系求解实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）函数
化简可得： ==．
∴．
∵．
（1）若a=0，则g（x）=﹣3，T={﹣3}；
（2）若a≠0，则．
∵x∈[4，+∞），∴log2x∈[2，+∞），
当log2x=2时，g（x）=2a2+4a﹣3，
①若a＞0，则，∴T=[2a2+4a﹣3，+∞）；
②若a＜0，则，
（i）若，即﹣4≤a＜0，则T=（﹣∞，2a2+4a﹣3]；
（ii）若，即a＜﹣4，则．
综上，若a＞0，则T=[2a2+4a﹣3，+∞）；
若a=0，则T={﹣3}；
若﹣4≤a＜0，则T=（﹣∞，2a2+4a﹣3]；
若a＜﹣4，则．
（Ⅱ）∵，∴f（x）的值域为，
∴的值域S=（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．
∴对任意的实数x1∈[4，+∞），都存在x2∈R，使得g（x1）f（x2）=1，即，⇔T⊆S或a=0或或或a=0或或⇔a≥1或a=0或﹣2≤a＜0或a∈∅⇔﹣2≤a≤0或a≥1．
∴所求a的取值范围为[﹣2，0]∪[1，+∞]．