高一(上)期末数学试卷-(-含解析)

这是一份高一(上)期末数学试卷-(-含解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高一（上）期末数学试卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分
1．下列关系中正确的个数为（　　）
①0∈0；②∅⊈{0}； ③{0，1}⊆{0，1}；④{a，b}={b，a}．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．函数f（x）=ex+x﹣2的零点所在的一个区间是（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）
3．设lg2=a，lg3=b，则log512等于（　　）
A． B． C． D．
4．已知A（2，4）与B（3，3）关于直线l对称，则直线l的方程为（　　）
A．x+y=0 B．x﹣y=0 C．x+y﹣6=0 D．x﹣y+1=0
5．下列函数中，在区间（0，+∞）上是减函数的是（　　）
A．y=﹣x2+2x B．y=x3 C．y=2﹣x+1 D．y=log2x
6．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（　　）
A．32 B．16+16 C．48 D．16+32
(12题图）
7．若0＜a＜1，且函数f（x）=|logax|，则下列各式中成立的是（　　）
A．f（2）＞f（）＞f（） B．f（）＞f（2）＞f（） C．f（）＞f（2）＞f（） D．f（）＞f（）＞f（2）
8．已知函数f（x）=在（﹣∞，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（　）
A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，0） C．[﹣3，0） D．[﹣3，﹣2]
9．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
10．下列五个命题中，
①直线x+2y+3=0与直线2x+4y+1=0的距离是
②过点M（﹣3，5）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为x﹣y+8=0．
③在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小60°
④过点（﹣3，0）和点（﹣4，）的直线的倾斜角是120°
其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．函数f（x）=loga（ax﹣3）在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是（　　）
A．（1，+∞） B．（0，1） C．（0，） D．（3，+∞）
12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（　　）
A．AC⊥BE B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值 D．△AEF的面积与△BEF的面积相等　
二、填空题：（4小题，每小题5分，共20分）
13．正三角形ABC的边长为a，利用斜二测画法得到的平面直观图为△A′B′C′，那么△A′B′C′的面积为　 　．
14．若直线（a+1）x+y+2﹣a=0不经过第二象限，则a的取值范围是　 　．
15．无论a取何值时，方程（a﹣1）x﹣y+2a﹣1=0表示的直线所过的定点是　 　．
16．设f（x）为奇函数，且在（﹣∞，0）上递减，f（﹣2）=0，则xf（x）＜0的解集为　 　．　
三、解答题：（共6小题，70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（1）求斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程；
（2）直线l1：mx+y﹣（m+1）=0和直线l2：x+my﹣2m=0，已知l1∥l2，求平行直线l1，l2之间的距离．


18．已知y=f（x）的定义域为[1，4]，f（1）=2，f（2）=3，当x∈[1，2]时f（x）的图象为线段，当x∈[2，4]时f（x）的图象为二次函数图象的一部分，且顶点为（3，1）
（1）求f（x）的解析式；（2）画出f（x）的图象并求f（x）的值域．







19．已知△ABC的顶点坐标A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0，求顶点C的坐标，|AC|的值，及直线BC的方程．









20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．



21．如图，四棱锥C的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．
（1）求证：AF∥平面PEC
（2）求证：平面PCD⊥平面PEC；
（3）求三棱锥C﹣BEP的体积．








22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．
（1）求证：PO⊥平面ABCD；
（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
（3）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

　

参考答案与试题解析
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分
1．下列关系中正确的个数为（　　）
①0∈0；②∅⊈{0}； ③{0，1}⊆{0，1}；④{a，b}={b，a}．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：对于①，“∈”只适用于元素与集合间的关系，故错；
对于②，空集是任何非空集合的子集，应该是∅⊆{0}，故错；
对于③，任何一个集合都是它本身的子集，故对；
对于④，考虑到集合中元素的无序性，它们是同样的集合，故正确．
故选B．　
2．函数f（x）=ex+x﹣2的零点所在的一个区间是（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）
【解答】解：因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，
故选C．　
3．设lg2=a，lg3=b，则log512等于（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：log512===．
故选C．　
4．已知A（2，4）与B（3，3）关于直线l对称，则直线l的方程为（　　）
A．x+y=0 B．x﹣y=0 C．x+y﹣6=0 D．x﹣y+1=0
【解答】解：由题意得直线l是线段AB的中垂线． 线段AB的中点为D（，），线段AB的斜率为 k==﹣1，
故直线l的斜率等于1，则直线l的方程为 y﹣=1×（x﹣），即x﹣y+1=0，
故选 D．　
5．下列函数中，在区间（0，+∞）上是减函数的是（　　）
A．y=﹣x2+2x B．y=x3 C．y=2﹣x+1 D．y=log2x
【解答】解：A选项不正确，此二次函数在区间（0，+∞）上不是减函数；
B选项不正确，此三次函数在区间（0，+∞）上是增函数；
C选项正确，由于y=2﹣x+1=其底数是小于1的正数，故所给指数函数是一个减函数，在区间（0，+∞）上是减函数；
D选项不正确，由对数函数的底数大于1，故其在区间（0，+∞）上是增函数．
故选C　
6．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（　　）

A．32 B．16+16 C．48 D．16+32
【解答】解：由已知中的三视图，可得四棱锥的底面棱长为4，
故底面面积为：16，
棱锥的高为2，
故棱锥的侧高为： =2，
故棱锥的侧面积为：4××4×=16，
故棱锥的表面积为：16+16，
故选：B　
7．若0＜a＜1，且函数f（x）=|logax|，则下列各式中成立的是（　　）
A．f（2）＞f（）＞f（） B．f（）＞f（2）＞f（） C．f（）＞f（2）＞f（） D．f（）＞f（）＞f（2）
【解答】解：∵0＜a＜1
∴f（2）=|loga2|=|﹣loga||=loga
f（）=|loga|=loga
f（）=|loga|=loga，
∵0＜a＜1，
函数f（x）=logax，在（0，+∞）上是减函数，
∴f（）＞f（）＞f（2）
故选D　
8．已知函数f（x）=在（﹣∞，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，0） C．[﹣3，0） D．[﹣3，﹣2]
【解答】解：由题意：函数f（x）=在（﹣∞，+∞）上是增函数，
∴二次函数﹣x2﹣ax﹣5，开口向下，∴是增函函，故得对称轴x=﹣≥1，解得：a≤﹣2．
反比例函数在（1，+∞）必然是增函数，则：a＜0；
又∵函数f（x）是增函数，
则有：，解得：a≥﹣3．
所以：a的取值范围[﹣3，﹣2]．
故选D．　
9．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意作出图形：
设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，
延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．
∵CO1==，
∴OO1=，
∴高SD=2OO1=，
∵△ABC是边长为1的正三角形，
∴S△ABC=，
∴V=××=，
故选：A．
　
10．下列五个命题中，
①直线x+2y+3=0与直线2x+4y+1=0的距离是
②过点M（﹣3，5）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为x﹣y+8=0．
③在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小60°
④过点（﹣3，0）和点（﹣4，）的直线的倾斜角是120°
其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】对于①，直线x+2y+3=0与直线2x+4y+1=0的距离是，故正确．
对于②，过点M（﹣3，5）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为x﹣y+8=0或5x+3y=0．故错．
对于③，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，
则E（2，1，0），F（1，0，0），B1（2，2，2），C（0，2，0），
∴=（﹣1，﹣1，0），=（﹣2，0，﹣2），∴cos＜，＞=，∴异面直线B1C与EF所成的角的大小60°，正确．
对于④，过点（﹣3，0）和点（﹣4，）的直线的斜率为﹣，倾斜角是120°，正确；
故选：C
　
11．函数f（x）=loga（ax﹣3）在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是（　　）
A．（1，+∞） B．（0，1） C．（0，） D．（3，+∞）
【解答】解：∵函数f（x）=loga（ax﹣3）在[1，3]上单调递增，而函数t=ax﹣3在[1，3]上单调递增，
根据复合函数的单调性可得a＞1，且a﹣3＞0，求得a＞3，
故选：D．　
12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（　　）

A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值
D．△AEF的面积与△BEF的面积相等
【解答】解：对于A，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，故A正确；
对于B，由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，故B正确；
对于C，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B，故可得三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故C正确；
对于D，由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确，故D错误．
∴错误命题是D．
故选：D．
　
二、填空题：（4小题，每小题5分，共20分）
13．正三角形ABC的边长为a，利用斜二测画法得到的平面直观图为△A′B′C′，那么△A′B′C′的面积为　　．
【解答】解：∵正三角形ABC的边长为a，
∴=，
∴==．
故答案为：．　
14．若直线（a+1）x+y+2﹣a=0不经过第二象限，则a的取值范围是　a≤﹣1　．
【解答】解：直线l：（a+1）x+y+2﹣a=0化为y=﹣（a+1）x﹣2+a．
∵直线l：（a+1）x+y+2﹣a=0不经过第二象限，
∴﹣（a+1）≥0，且a﹣2≤0，
解得a≤﹣1．
∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．
故答案为：（﹣∞，﹣1]．　
15．无论a取何值时，方程（a﹣1）x﹣y+2a﹣1=0表示的直线所过的定点是　（﹣2，1）　．
【解答】解：方程（a﹣1）x﹣y+2a﹣1=0（a∈R）
即 a（x+2）+（﹣x﹣y﹣1）=0，
由，解得：定点坐标为（﹣2，1），
故答案为 （﹣2，1）．　
16．设f（x）为奇函数，且在（﹣∞，0）上递减，f（﹣2）=0，则xf（x）＜0的解集为　（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）　．
【解答】解：∵f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（﹣∞，0）上递减，
∴f（x）在（0，+∞）上递减，
由f（﹣2）=0，得f（﹣2）=﹣f（2）=0，
即f（2）=0，
由f（﹣0）=﹣f（0），得f（0）=0，
作出f（x）的草图，如图所示：
由图象，得xf（x）＜0⇔或，
解得x＜﹣2或x＞2，
∴xf（x）＜0的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
　
三、解答题：（共6小题，70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（1）求斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程；
（2）直线l1：mx+y﹣（m+1）=0和直线l2：x+my﹣2m=0，已知l1∥l2，求平行直线l1，l2之间的距离．
【解答】解：（1）设所求直线的方程为y=x+b，
令x=0，得y=b，
令y=0，得x=﹣b，
由已知，得|b•（﹣b）|=6，
即b2=6，解得b=±3．
故所求的直线方程是y=x±3，即3x﹣4y±12=0．
（2）解：当直线l1∥l2时， =≠
解之得m=﹣1（m=1时两直线重合，不合题意，舍去），
直线l1：x﹣y=0和直线l2：x﹣y+2=0，
两条平行线之间的距离为：d==．　
18．已知y=f（x）的定义域为[1，4]，f（1）=2，f（2）=3，当x∈[1，2]时f（x）的图象为线段，当x∈[2，4]时f（x）的图象为二次函数图象的一部分，且顶点为（3，1）
（1）求f（x）的解析式；
（2）画出f（x）的图象并求f（x）的值域．
【解答】解：（1）当x∈[1，2]时f（x）的图象为线段，
设f（x）=ax+b，又有f（1）=2，f（2）=3
∵a+b=2，2a+b=3，
解得a=1，b=1，f（x）=x+1，
当x∈[2，4]时，f（x）的图象为二次函数的一部分，
且顶点为（3，1），
设f（x）=a（x﹣3）2+1，又f（2）=3，
所以代入得a+1=3，a=2，f（x）=2（x﹣3）2+1．
（2）由（1），f（x）的图象如图所示：

当x∈[1，2]，2≤f（x）≤3，
当x∈[2，4]，1≤f（x）≤3，
所以1≤f（x）≤3．
故f（x）的值域为[1，3]．　
19．已知△ABC的顶点坐标A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0，求顶点C的坐标，|AC|的值，及直线BC的方程．
【解答】解：①令直线AC边所在的直线斜率为k，
∵AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0，
∴k=﹣1，解得k=﹣2，
∴直线AC的方程为：y﹣1=﹣2（x﹣5），即，2x+y﹣11=0．
∵AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，
解方程组，得x=4，y=3，
∴顶点C的坐标为（4，3）．
②|AC|==
③设点B的坐标为（x0，y0），且点B与点A关于直线2x﹣y﹣5=0对称，
∴，
又点B在直线BH上，
∴x0﹣2y0﹣5=0，
∴x0=﹣1，y0=﹣3，
所以，由两点式，得直线BC的方程为：，
整理，得6x﹣5y﹣9=0．　
20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．

【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，
∴平面AEC⊥平面PDB．
（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∴O，E分别为DB、PB的中点，
∴OE∥PD，，
又∵PD⊥底面ABCD，
∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，
在Rt△AOE中，，
∴∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．
　
21．如图，四棱锥C的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．
（1）求证：AF∥平面PEC
（2）求证：平面PCD⊥平面PEC；
（3）求三棱锥C﹣BEP的体积．

【解答】（1）证明：取PC的中点G，连结FG、EG，
∴FG为△CDP的中位线，则FG∥CD，FG=．
∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，
∴AE∥CD，AE=，
∴FG∥AE，且FG=AE，
∴四边形AEGF是平行四边形，
∴AF∥EG．
又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，
∴AF∥平面PCE；
（2）∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AD，PA⊥CD，
又AD⊥CD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面ADP，
又AF⊂平面ADP，∴CD⊥AF．
在直角三角形PAD中，∠PDA=45°，
∴△PAD为等腰直角三角形，
∴PA=AD=2．
∵F是PD的中点，
∴AF⊥PD，又CD∩PD=D．
∴AF⊥平面PCD．
∵AF∥EG，∴EG⊥平面PCD，
又EG⊂平面PCE，
∴平面PCE⊥平面PCD；
（3）∵PA⊥底面ABCD，即PA是三棱锥P﹣BCE的高，
在Rt△BCE中，BE=1，BC=2，
∴三棱锥C﹣BEP的体积VC﹣BEP=VP﹣BCE=S△BCE•PA=••BE•BC•PA=••1•2•2=．
　
22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．
（1）求证：PO⊥平面ABCD；
（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
（3）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【解答】（1）证明：在△PAD卡中PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD．
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD．
（2）解：连接BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD=2AB=2BC，
有OD∥BC且OD=BC，所以四边形OBCD是平行四边形，
所以OB∥DC．
由（1）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，
所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角．
因为AD=2AB=2BC=2，在Rt△AOB中，AB=1，AO=1，所以OB=，
在Rt△POA中，因为AP=，AO=1，所以OP=1，
在Rt△PBO中，PB=，所以cos∠PBO=，
所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为．
（3）解：假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为．
设QD=x，则S△DQC=x，由（2）得CD=OB=，
在Rt△POC中，PC=，
所以PC=CD=DP，S△PCD==，
由Vp﹣DQC=VQ﹣PCD，得x=，所以存在点Q满足题意，此时=．