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    数学九年级上册22.2二次函数与一元二次方程教学演示课件ppt

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    这是一份数学九年级上册22.2二次函数与一元二次方程教学演示课件ppt,共29页。PPT课件主要包含了教学目标,回顾旧知,情境导入,合作探究,h20t−5t2,x2−x+10无解,Δ=0,Δ<0,x1x2,没有实数根等内容,欢迎下载使用。

    1.通过探索,理解二次函数与一元二次方程之间的联系.(难点)2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.(重点)3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
    我们已经知道,一元二次方程根的情况与“△=b2-4ac”有关:
    1.当△>0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等实数根,
    2.当△=0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根,
    3.当△<0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.
    x1=x2=- .
    本节课我们将从二次函数的角度看一元二次方程,认识二次函数与一元二次方程的联系,一起开启知识的旅程吧!
    问题 如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线将是一条抛物线,如果不考虑空气的阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系:h=20t-5t2,考虑以下问题:
    (1)球的飞行高度能否达到15m?如果能,需要多少飞行时间?
    ∴当球飞行1s或3s时,它的高度为15m.
    解:解方程 15=20t−5t2, t2−4t+3=0, t1=1,t2=3.
    你能结合上图,指出为什么在两个时间小球的高度为15m吗?
    (2)球的飞行高度能否达到20m?如果能,需要多少飞行时间?
    你能结合图形指出为什么只在一个时间小球的高度为20m吗?
    解方程:20=20t−5t2,t2−4t+4=0,t1=t2=2.
    ∴当球飞行2s时,它的高度为20m.
    (3)球的飞行高度能否达到20.5m?为什么?
    你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度吗?
    解方程:20.5=20t−5t2,t2−4t+4.1=0,因为(−4)2−4 ×4.1<0,所以方程无解.即球的飞行高度达不到20.5m.
    从上面发现,二次函数与一元二次方程密切相关。求二次函数h=20t−5t2的函数值分别为15、20、20.5时所对应的自变量的值就相当于求一元二次方程20t−5t2=15、 20t−5t2 =20、 20t−5t2 =20.5的根; 反过来,求一元二次方程20t−5t2=15、 20t−5t2 =20、 20t−5t2 =20.5的根就相当于求二次函数h=20t−5t2的函数值分别为15、20、20.5时所对应的自变量的值。
    下面,我们利用二次函数y=ax2+bx+c深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0
    思考:如图是二次函数(1)y=x2+x-2;(2)y=x2-6x+9;(3)y=x2-x+1.的图象如图所示。观察并回答:
    (1)以上二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?(2)当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少?由此,你能得出相应的一元二次方程的根吗?
    探究一:二次函数与一元二次方程之间的关系
    (1)y=x2+x-2 抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点,它们的横坐标是-2,1。当x取公共点的横坐标时,函数的值是0。由此得出方程x2+x-2=0的根是-2,1.
    (2)y=x2-6x+9 抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点,这点的横坐标是3.当x=3时,函数的值是0.由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根3.
    (3)y=x2-x+1. 抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点.即函数值不可能等于0. 由此得出方程x2-x+1=0没有实数根.
    x2−6x+9=0,x1=x2=3
    x2+x−2=0,x1=−2,x2=1
    x1 =x2=-b/2a
    1.若一元二次方程y=x2-2x+5无实根,则抛物线y=x2-2x+5 图象位于( )A.X轴下方 B.第一、二、三象限C.x轴上方 D.第二、三、四象限
    2.二次函数y=ax2-4x+1的图象与x轴有交点,则a的取值范围是(  )A.a<4 B.a<4且a≠0C.a≤4 D.a≤4且a≠0
    3.若二次函数y=−x2+2x+c的部分图象如图所示,且关于x的一元二次方程−x2+2x+c=0的一个解x1=3,则另一个解x2= .
    4.一元二次方程 3x2+bx−8=0的两个根是x1=−2 ,x2= ,那么二次函数 y= 3x2+bx−8与x轴的交点坐标是 .
    探究二:利用二次函数求一元二次方程的近似解
    分析:一元二次方程 x²−2x−2=0 的根就是抛物线 y=x²−2x−2 与x轴的交点的横坐标,因此我们可以先画出这条抛物线,然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标,这种解一元二次方程的方法叫做图象法.
    例 利用函数图象求方程x2−2x−2=0的实数根(结果保留小数点后一位).
    解:作y=x2-2x-2的图象(如右图所示)它与x轴的公共点的横坐标大约是- 0.7,2.7.所以方程x2-2x-2=0的实数根 为 x1≈-0.7,x2≈2.7.
    先求位于−1到0之间的根,由图象可估计这个根是−0.8或−0.7,利用计算器进行探索,见下表:
    观察上表可以发现,当x分别取−0.8和−0.7时,对应的y由负变正,可见在−0.8与−0.7之间肯定有一个x使y=0,即有y=x2−2x−2的一个根,题目只要求精确到0.1,这时取x=−0.8或x=−0.7都符合要求.但当x=−0.7时更为接近0.故x1≈−0.7.同理可得另一近似值为x2≈2.7.
    归纳总结:一元二次方程的图象解法
    利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.
    (1)用描点法作二次函数的图象;
    (2)观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标;
    由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标的取值范围,通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围 ;
    由此可知,使二次函数的函数值更接近0的数,即为方程的近似解.
    判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是( ) A. 2< x < 2.33 B. 2.33 < x < 2.34 C. 2.34 1.根据下列表格的对应值:
    1.抛物线y=-3x2-x+4与x轴的交点个数是(  )A.3 B.2 C.1 D.0
    2.抛物线y=x2-5x+4与x轴的两个交点的坐标是(  )A.(1,0),(4,0) B.(-1,0),(-4,0) C.(-1, ) D.(4, )
    3.函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,那么关于x一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是(  )A.有两个不相等的实数根 B.有两个同号的实数根 C.有两个相等的实数根 D.没有实数根
    4.二次函数y=-x2+4x+m的部分图象如图所示,则关于x 的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为 。
    x1 =3,x2 =-1
    5.如图,二次函数y=-x2+2x+k(k < 0)与x轴相较于A( x1,0),B( x2,0 ),点A在点B的左侧,当x= x2 -2时,y 0(填“>”“=”或“<”)
    6、已知关于x的二次函数y=mx2-(m+2)x+2(m≠0).(1)求证:此抛物线与x轴总有交点;(2)若此抛物线与x轴总有两个交点,且它们的横坐标都是整数,求正整数m的值.
    (1)证明:∵m≠0,∴Δ=(m+2)2-4m×2=m2+4m+4-8m=(m-2)2.∵(m-2)2≥0,∴Δ≥0.∴此抛物线与x轴总有交点.
    (2)解:令y=0,则(x-1)(mx-2)=0,
    (2)若此抛物线与x轴总有两个交点,且它们的横坐标都是整数,求正整数m的值.
    所以正整数m的值为1或2.
    所以 x-1=0或mx-2=0,
    当m为正整数1或2时,x2为整数,即抛物线与x轴总 有两个交点,且它们的横坐标都是整数.
    7.已知函数y=(k−3)x2+2x+1的图象与x轴有交点,求k的取值范围.
    解:当k=3时,函数y=2x+1是一次函数.∵一次函数y=2x+1与x轴有一个交点,∴k=3;当k≠3时,y=(k−3)x2+2x+1是二次函数.∵二次函数y=(k−3)x2+2x+1的图象与x轴有交点,∴Δ=b2−4ac≥0.∵b2−4ac=22−4(k−3)=−4k+16,∴−4k+16≥0.∴k≤4且k≠3.综上所述,k的取值范围是k≤4.
    1.已知抛物线y=x2-4x+3 (1)求该抛物线与x轴的交点坐标;(2)当x取何值时,y>0?
    解:(1)∵y=x²-4x+3=(x-1)(x-3) ∴该抛物线与x轴的交点坐标是(1,0)和(3,0);
    (2)由(1)知,该抛物线与x轴的交点坐标是(1,0)和(3,0) ∵y=x2-4x+3=(x-2)²-1, ∴该抛物线的顶点坐标是(2,-1),且抛物 线的开口方向向上,大致图象如图所示:
    ∴当x<1或x>3时,y>0.
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