2023年吉林省白城市通榆县九年级三模数学试题（含解析）

这是一份2023年吉林省白城市通榆县九年级三模数学试题（含解析），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年吉林省白城市通榆县九年级三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的倒数是（　　）
A． B． C． D．
2．某物体如图所示，它的俯视图是（    ）

A． B． C． D．
3．“x与的积加上2不小于5．”用不等式表示是（    ）
A．x+2＞5 B．x+2＜5 C．x+2≤5 D．x+2≥5
4．同学们做广播操时，为了保证一队同学站成一条直线，先让两个同学站好不动，其他同学依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面同学的后脑勺，这其中用到的数学原理是（　　）
A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线
C．两点之间，线段最短 D．经过两点，有且只有一条直线
5．如图，将一张长方形纸条沿某条直线折叠，若，则＝（　　）

A． B． C． D．
6．如图，在中，，是劣弧的中点，是优弧任意一点，连接，，则的度数是（   ）

A．或 B． C． D．

二、填空题
7．分解因式： ．
8．每到春天，人们在欣赏柳绿桃红的同时，也被飞舞的柳絮所烦恼，据了解柳絮纤维的直径约为0.00105cm，数据0.00105用科学记数法表示为 ．
9．计算： ．
10．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的值可以是 ．（写出一个值即可）
11．如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 度．

12．为了营造自觉爱绿、植绿、护绿的浓厚氛围，甲、乙两组学生踊跃参加植树造林活动．已知甲组每小时比乙组多植2棵树，甲组植70棵树用时与乙组植50棵树用时相同．设甲组每小时植棵树，根据题意列出分式方程： ．
13．如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图②中，杠杆的端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点），要把这块石头翘起，至少要将杠杆的点向下压 ．
  
14．如图，在中，为直径，点C是上的一点，连接，以C为圆心，的长为半径作弧，恰好经过点B，若，则图中阴影部分的周长是 （结果保留根号和）．
  

三、解答题
15．先化简，再求值：，其中．
16．如图，在中，为边延长线上的一点，已知，．求证：是等边三角形．

17．周末同学们和部分家长代表共人组团到动物园进行春游活动．已知动物的门票销售标准是：家长成人票元/张，学生门票是成人票价的五折，该团队购门票共花费元，问该团队家长代表和学生分别有多少人？
18．一个不透明的口袋中装有4个小球，这四个小球上分别标有数字、、3、4，这四个小球除了标的数字不同其余完全相同．若小刚一次摸出两个球，用画树状图或列表的方法求两个球上的数字之积为负数的概率．
19．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．

(1)在图①中，以线段为一边画一个菱形；
(2)在图②中，以点A为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．
20．某校科技小组在一次野外考察中遇到一片烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木板，构筑成一条临时近道．每块木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，其图象如图所示．

(1)请根据图象直接写出这反比例函数表达式和自变量取值范围；
(2)如果要求压强不超过，选用的木板的面积至少要多大？
21．如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成角的楼梯，和一段水平平台构成，米，米，米．求：天桥高度及引桥水平跨度．（参考数据：取，，）

22．某学校举办了以“生态文明与环境保护”为主题的相关知识测试，为了了解学生对“生态文明与环境保护”相关知识的掌握情况，随机抽取名学生的测试成绩（百分制，成绩x取整数）并进行整理，数据分成6组，分别为，，，，，．信息如下：
信息1：名学生的测试成绩的频数分布直方图如图所示．

信息2：在这一组的成绩如下：（单位：分）
                                                                    
根据以上信息，解答下列问题．
(1)在这次测试中，成绩的中位数是______分，成绩低于分的人数占测试人数的百分比为______；
(2)这次测试成绩的平均数是分，小颖的测试成绩是分．小亮说：“小颖的成绩高于平均数，所以小颖的成绩高于一半学生的成绩．”你认为小亮的说法正确吗？请说明理由．
23．某车间甲、乙两台机器共生产个零件，两台机器同时加工一段时间后，甲机器出现故障，维修一段时间后仍按原来的效率加工，已知甲机器每天加工个零件，如图是表示未生产零件的个数（个）与乙机器工作时间（天）之间的函数图像．

(1)乙机器每天加工______个零件，甲机器维修了______天；
(2)求未生产零件的个数（个）与乙机器工作时间（天）之间的函数关系式；
(3)当甲、乙两台机器共生产个零件时，乙机器加工了多少天？
24．【探究问题】（1）阅读并补全解题过程
如图①，在四边形中，，点E是边的中点，．
求证：平分．
张某某同学受到老师说过的“有中点，延长加倍构造全等”的启发，延长交射线于点F，请你依据该同学的做法补全证明过程．
证明：延长交射线于点F．

【应用】（2）如图②在长方形中，将沿直线折叠，若点B恰好落在边的中点E处，直接写出的度数．
【拓展】（3）如图③在正方形中，E为边的中点，将沿直线折叠，点A落在正方形内部的点F处，延长交于点G，延长交于点H，若正方形的边长为4，直接写出的值．
25．如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．动点P从点B出发，沿折线BC﹣CA以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，当点P不与点B和点A重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q．设点P的运动时间为t秒．

（1）用含t的代数式表示线段PQ的长．
（2）当线段PQ将△ABC分成的两部分图形中存在轴对称图形时，求t的值．
（3）设线段PQ扫过图形的面积为S（S＞0），求S与t之间的函数关系式．
（4）如图②，以PQ为斜边向上作等腰直角三角形PQM．连结CM，当线段CM的垂直平分线平行于△ABC的一边时，直接写出t的值．
26．如图，抛物线经过点，点，与轴交于点，点在射线上运动，过点作直线轴，交抛物线于点，（点在点的左侧）．

(1)求该抛物线的解析式和对称轴；
(2)若，求点E的坐标；
(3)若抛物线的顶点关于直线的对称点为点P，当点P到x轴的距离等于1时，求出所有符合条件的线段的长；
(4)以点D为旋转中心，将点B绕点D顺时针旋转得到点，直接写出点落在抛物线上时点D的坐标．

参考答案：
1．C
【分析】乘积是的两数互为倒数，由此即可得到答案．
【详解】解：的倒数是．
故选：C．
【点睛】本题考查倒数，掌握倒数的定义是解题的关键．
2．B
【分析】根据俯视图是从上面看得到平面图形，进行判断即可．
【详解】解：俯视图为：

故选B．
【点睛】本题考查三视图．熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．
3．D
【分析】“x与的积加上2”即x+2．“不小于5”即≥5，据此列不等式．
【详解】解：由题意得，x+2≥5．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系是解题关键．
4．D
【分析】根据两点确定一条直线即可求解．
【详解】解：依题意，要求目视前方只能看到各自前面同学的后脑勺，这其中用到的数学原理是：经过两点，有且只有一条直线
故选：D．
【点睛】本题考查了两点确定一条直线，掌握两点确定一条直线是解题的关键．
5．A
【分析】先标注图形，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据折叠的性质得，最后根据“两直线平行，内错角相等”得出答案.
【详解】解：如图，∵，
∴.
由折叠可得，.
∵，
∴.
故选：A．

【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质等，灵活选择平行线的性质定理是解题的关键．
6．D
【分析】根据圆周角定理可得，再由弧、弦、圆心角的关系可得答案．
【详解】解：在中，，
，
是劣弧的中点，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握知识点是解题的关键．
7．
【分析】根据完全平方公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用公式法分解因式，熟练掌握和运用因式分解的方法是解决本题的关键．
8．
【分析】按照科学记数法的表示形式表示即可．
【详解】解：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了把绝对值小于1的数用科学记数法表示，关键是确定 n与a的值，，的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数．
9．
【分析】先分别化成最简二次根式，然后根据二次根式的减法计算即可得到答案．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的减法，熟记二次根式的减法法则是解题的关键．
10．1（答案不唯一）
【分析】根据一元二次方程其判别式时有两个不相等的实数根和一元二次方程的定义即可求出a的取值范围，进而即可任意写出的值．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
∴且，
∴的值可以是1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程的定义．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．
11．60
【分析】该图形被平分成6部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转的整数倍，就可以与自身重合，据此即可得到答案．
【详解】解：∵该图形被平分成6部分，
∴旋转的整数倍即可与自身重合，
∴该图形围绕其中心旋转能与自身重合，则旋转角最小为，
故答案为：60．
【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
12．
【分析】设甲组每小时植树x棵，则根据题意可得乙组每小时植树（x+2）棵，根据关键语句“甲组完成70棵的植树任务与乙组完成50棵的植树任务所用的时间相等”列出方程即可．
【详解】解；设甲组每小时植树x棵，
则根据题意得：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了由实际问题列出分式方程，关键是正确理解题意，表示出甲乙两组每小时植树的棵数，再根据关键语句找出等量关系，列出方程．
13．
【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点向下压的长度．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴至少要将杠杆的点向下压，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确地构造相似三角形是解题的关键．
14．/
【分析】由题意知，扇形中的长为周长的一半，即，由直径所对的圆周角为直角可得，由，可得，则，扇形中的长为，根据阴影部分的周长为两个弧长的和，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，扇形中的长为周长的一半，即，
∵为直径，点C是上的一点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴扇形中的长为，
∴阴影部分的周长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，余弦，弧长，等边对等角．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
15．，
【分析】先计算括号内的分式的减法，再把除法化为乘法运算，得到化简的结果，再把代入化简后的代数式进行计算即可．
【详解】解：原式


当时，原式．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟记分式的混合运算的运算顺序是解本题的关键．
16．见解析
【分析】证明即可得到结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等边三角形的判定，熟记等边三角形的判定方法是解本题的关键．
17．该团队家长有2人，学生有28人
【分析】设该团队家长有人，根据题意可列出方程，即可求解得出答案．
【详解】解：设该团队家长有人，则学生有人，
根据题意得：
解得

该团队家长有2人，学生有28人．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是读懂题意，列出方程．
18．
【分析】根据题意画树状图，然后求概率即可．
【详解】解：画树状图如下：
  
共有12种可能的结果，两个球上的数字之积为负数的结果有8种，
∴两个球上的数字之积为负数的概率为．
【点睛】本题考查了列举法求概率．解题的关键在于正确的画树状图．
19．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）由勾股定理可得，再画菱形即可；
（2）利用网格特点画边长为的正方形即可．
【详解】（1）解：如图①所示．菱形即为所求，
（2）如图②所示．正方形即为所求；

【点睛】本题考查的是菱形的判定，正方形的判定，画菱形与正方形，熟练的利用菱形与正方形的判定进行画图是解本题的关键．
20．(1)
(2)选用的木板的面积至少要

【分析】（1）根据图象，双曲线过点，待定系数法求出解析式，曲线在第一象限，即可得出自变量取值范围；
（2）根据压强不超过，求出自变量的取值范围即可．
【详解】（1）解：由图象得：双曲线过点，在第一象限，
∴，
∴反比例函数表达式为：；
（2）解：当时：，即：；
由图象可知，随着的增大而减小，
∴当时，，
∴选用的木板的面积至少要．
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想求解，是解题的关键．
21．天桥高度约为9米，引桥水平跨度约为19米
【分析】延长交于F，则四边形为平行四边形，得到，
进而，在中，通过解直角三角形可得到，的长，进而可求的长．
【详解】
解：延长交于F，
   ，
∴四边形为平行四边形，
，
（米），
在中，，
，
，（米），
（米），
答：天桥高度约为9米，引桥水平跨度约为19米．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22．(1)；
(2)不正确，理由见解析

【分析】（1）根据中位数的定义结合统计图，求得中位数，进而用成绩低于分的人数除以总人数即可求解．
（2）根据中位数的意义可得小颖的成绩低于中位数，即可求解．
【详解】（1）解：根据统计图可得有人，有人，则中位数落在，
中位数为第和个数据的平均数，即，
成绩低于分的人数占测试人数的百分比为
故答案为： 77.5；35%．
（2）小亮的说法不正确，因为小颖的测试成绩是分，这组数据的中位数是分，小颖的成绩低于中位数，所以小颖的成绩低于一半学生的成绩．
【点睛】本题考查了条形统计图，中位数的求法及其意义，熟练掌握中位数的定义是解题的关键．
23．(1)；
(2)
(3)天

【分析】（1）设乙机器每天加工个零件，甲机器每天加工个零件，根据数量关系列方程求解即可；
（2）根据函数图像函数关系式为，可知当时，图像过点，；当时，图像过点，；当时，图像过点，，运用待定系数法即可求解；
（3）根据题意可知当加工个零件时，，函数关系式为，由此即可求解．
【详解】（1）解：设乙机器每天加工个零件，甲机器每天加工个零件，
∴，解得，，
根据题意，从点到点是乙单独完成的量，
∴（个），
∴（天），
故答案为：；．
（2）解：设未生产零件的个数（个）与乙机器工作时间（天）之间的函数关系式为，
①当时，图像过点，，
∴，解得，，
∴；
②由（1）可知，甲维修了天，则乙加工了天，即点的坐标为，
∴当时，图像过点，，
∴，解得，，
∴；
③当时，图像过点，，
∴，解得，，
∴；
综上所述，未生产零件的个数（个）与乙机器工作时间（天）之间的函数关系式为．
（3）解：根据题意可知，乙机器一直处于工作状态，当时，甲、乙共加工（个），当时，乙共加工了天，乙加工了，合计（个），
∴当加工个零件时，，即函数关系式为，
∴，
∴，解得，，
∴当甲、乙丙台机器共生产个零件时，乙机器加工了天．
【点睛】本题主要考查函数图像与实际问题的综合，理解函数图像中横轴、纵轴表示的意义，掌握工程问题中工作效率与工作时间的数量关系是解题的关键．
24．（1）见解析（2）（3）
【分析】（1）证明，得到，进而推出，得到，从而得到，即可得证；
（2）延长至点，使，连接，证明为等边三角形，进而得到，根据翻折的性质，推出，进而求出的度数；
（3）连接，证明，，分别在和中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：如图①，延长交射线于点，
∵，
∴，，
∵点是边的中点，
∴，
在和中，
；
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（2）∵在四边形是矩形，
∴，，
∵点恰好落在边的中点处，
∴，
设，
由翻折可知：，，
延长至点，使，连接，
则：，

∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）连接，

在正方形中，，，
∵为边的中点，
∴，
∵将沿直线折叠，点落在正方形内部的点处，
∴，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，，
则，，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：
∴，
∴，
∴的值为1．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质，折叠的性质和勾股定理．本题的综合性强，熟练掌握相关知识点，通过添加辅助线，证明三角形全等，是解题的关键．
25．（1）（）或（）；（2）当线段PQ将△ABC分成的两部分图形中存在轴对称图形时， t的值为或；（3）S△BQP=（），S=（）；（4）当线段CM的垂直平分线平行于△ABC的一边时， t的值为或．
【分析】（1）先根据勾股定理求AC=3，分类考虑，当点P在BC上，利用证△BPQ∽△BAC，得出，当点P在AC上，证△APQ∽△ABC，得出， 求出（）或（）；
（2）当点P在BC上，根据四边形AQPC是轴对称图形，得出PQ=PC，列方程，当点P在AC上，根据四边形BQPC是轴对称图形，得出PQ=PC，列方程，解方程即可；
（3）当点P在BC上，根据QP=3t，BP=5t，PQ⊥AB，利用勾股定理BQ=，根据面积公式求出S△BQP=，当点P在AC上，扫过面积大三角形面积-小三角形面积S=；
（4）当CM∥PQ时，CM的垂直平分线与BA平行，延长CM交AB于G，过M作MN⊥PQ于N，根据△PQM为等腰直角三角形，QN=PN=MN=,再证四边形QNMG为正方形，可求QG=MN=，利用锐角三角函数求出BG=BCcosB=4×=，根据BG=BQ+QG列方程；当MC 与AC重合时，CM的中垂线与BC平行，过M作MH⊥AB于H，可证四边形QNMH为正方形，求出AH=，根据AB=AH+QH+BQ列方程，点P不与点B重合，点M不与点B重合，MC的中垂线不与AC平行，当点P在AC上时，点P不与点A重合，点M不在AC上，此时CM的中垂线不与BC平行．
【详解】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．
∴AC=，
当点P在BC上，
∵PQ⊥AB，
∴∠BQP=∠C=90°，
∵∠QBP=∠CBA，
∴△BPQ∽△BAC，
∴，即（），

当点P在AC上，
∵PQ⊥AB，
∴∠AQP=∠C=90°，
∵∠QAP=∠CAB，
∴△APQ∽△ABC，
∴，即（），
∴（）或（）；

（2）当点P在BC上，
∵△BQP不是轴对称图形，
∴四边形AQPC是轴对称图形，
∴PQ=PC，
∴，
解得，
当点P在AC上，
∵△AQP不是轴对称图形，
∴四边形BQPC是轴对称图形，
∴PQ=PC，
∴，
，
综合当线段PQ将△ABC分成的两部分图形中存在轴对称图形时， t的值为或；
（3）当点P在BC上，
∵QP=3t，BP=5t，PQ⊥AB，
∴BQ=，
∴S△BQP=（），
当点P在AC上，PQ⊥AB，AP=8-5t，
∵△APQ∽△ABC，
∴，
∴，
S=（）；
（4）当CM∥PQ时，CM的垂直平分线与BA平行，延长CM交AB于G，过M作MN⊥PQ于N，
∵△PQM为等腰直角三角形，
∴QN=PN=MN=，
∵CG⊥AB，
∴∠GQN=∠QGM=∠QNM=90°，
∴四边形QNMG为矩形，
∵QN=MN，
∴四边形QNMG为正方形，
∴QG=MN=，
∵BG=BCcosB=4×=，
∵BQ=4t，QG=，
∴，
∴解得，

当MC 与AC重合时，CM的中垂线与BC平行，过M作MH⊥AB于H，
∴∠HQN=∠QHM=∠QNM=90°，
∴四边形QNMH为矩形，
∵QN=MN，
∴四边形QNMH为正方形，
∵BQ=4t，MH=QH=, AH=，
∴，
解得，

点P不与点B重合，点M不与点B重合，
∴MC的中垂线不与AC平行，
当点P在AC上时，点P不与点A重合，点M不在AC上，此时CM的中垂线不与BC平行，
综合当线段CM的垂直平分线平行于△ABC的一边时， t的值为或．
【点睛】本题考查直角三角形中动点问题，勾股定理，锐角三角函数，三角形相似判定与性质，三角形面积函数，正方形判定与性质，线段垂直平分线，等腰直角三角形性质，列解一元一次方程，本题综合性强，难度大，应用知识多，利用辅助线画长准确图形，分类思想，数形结合思想的应用是解题关键．
26．(1)，对称轴为：直线
(2)
(3)或
(4)或

【分析】（1）将和的坐标代入到解析式求解出解析式，再将其转化为顶点式；
（2）令，可得，则，进而可得，最后根据二次函数的对称性求解即可；
（3）根据二次函数的顶点式可得其顶点坐标，再根据题意分两种情况讨论即可；
（4）设，根据旋转的性质得出，代入二次函数解析式，即可求解．
【详解】（1）将点，点代入到解析式得，
解得，
∴


，
∴其对称轴为：直线；
（2）令得，，
∴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，代入得，
∴；

（3）∵，
∴其顶点坐标为
①当时，，
即，
解得，，
，

②当时，，
即，
解得，，
，
综上所述，或．
（4）解：如图所示，当在轴正半轴时，过点作轴于点，设，，

依题意，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当在轴的负半轴时，设，，

同理可得，，
∵在抛物线上，
∴，
解得：或，
∴或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质和一元二次方程的应用，旋转的性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．