2023年吉林省白城市大安市三校中考数学四模试卷(含解析 )

2023年吉林省白城市大安市三校中考数学四模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算：，其结果等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  党的十八大以来，以习近平同志为核心的党中央重视技能人才的培育与发展．据报道，截至年底，我国高技能人才超过人，请将数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  不等式的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体，它的主视图是(    )

 

A.  B.
C.  D.

5.  如图，四边形内接于，若，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D. 或 

6.  我国元朝朱世杰所著的算学启蒙一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走里，慢马每天走里，慢马先走天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马天可以追上慢马，则下列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

7.  计算： ______ ．

8.  分解因式：          ．

9.  计算：的结果是______ ．

10.  关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为          ．

11.  如图，在中，，分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点和点，作直线分别交、于点和点，连接若，则 ______ ．

12.  如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴和轴上，并且，若把矩形绕着点逆时针旋转，使点恰好落在边上的处，则点的坐标为______ ．

13.  如图，小明在打网球时，他的击球高度米，为使球恰好能过网网高米，且落在对方区域距网米的位置处，则他应站在离网______米处．

14.  如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则扇形的面积为______ ．

三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

16.  本小题分
某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型、泡沫型三种型号分别用，，依次表示这三种型号小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率．

17.  本小题分
如图，点，，，在一条直线上，，，求证：．

18.  本小题分
学校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶购买个大垃圾桶和个小垃圾桶共需元；购买个大垃圾桶和个小垃圾桶共需元求大、小两种垃圾桶的单价．

19.  本小题分
如图，是由边长为的小正方形构成的网格，各个小正方形的顶点称之为格点，线段的两个端点在格点上．
请在图中画一个等腰，点在格点上，且的面积为；
请在图中画一个四边形，使得四边形为平行四边形，点、在格点上，且四边形的面积是，连接，并直接写出线段的长．

20.  本小题分
国家规定：“中小学生每天在校体育锻炼时间不小于小时”某地区就“每天在校体育锻炼时间”的问题随机调查了若干名中学生，根据调查结果制作如图统计图不完整其中分组情况：组：时间小于小时；组：时间大于等于小时且小于小时；组：时间大于等于小时且小于小时；组：时间大于等于小时．请结合图中提供的信息，解答下列各题：

本次调查的学生人数是______人，直接写出的值，______，并补全条形统计图；
本次调查数据的中位数落在______组；
根据统计数据估计该地区名中学生中达到国家规定的每天在校体育锻炼时间的中学生有多少人？

21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，反比例函数的图象经过点和点，且点为的中点．
求的值和点的坐标；
求的周长．

22.  本小题分
数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高如图，在楼前平地处测得楼顶处的仰角为，沿方向前进到达处，测得楼顶处的仰角为，求此建筑物的高．结果保留整数．参考数据：，

23.  本小题分
甲、乙两车分别从，两地出发，沿同一公路相向匀速行驶，两车分别抵达，两地后即停止行驶．已知乙车比甲车提前出发，设甲、乙两车之间的路程为单位：，乙车行驶的时间为单位：，与的函数关系如图所示．
，两地之间的公路路程是______，乙车的速度是______，的值为______；
求线段的解析式．
直接写出甲车出发多长时间，两车相距．

24.  本小题分
【感知】如图，中，，，易知不需要证明．
【探究】如图，四边形是一张边长为的正方形纸片，、分别为、的中点，沿过点的折痕将纸片翻折，使点落在上的点处，折痕交于点，求的度数和的长．
【拓展】若矩形纸片按如图所示的方式折叠，、两点恰好重合于一点如图，若，直接写出的长．
______

 

25.  本小题分
如图，四边形为矩形，，，、均从点出发，点以个单位每秒的速度沿的方向运动，点以个单位每秒的速度沿运动，、两点同时出发，当点到达时，、两点同时停止运动，设运动时间为秒．
求的长；
若，求关于的解析式．

26.  本小题分
已知抛物线．
如图，若抛物线与轴交于点，与轴交点，连接．
Ⅰ求该抛物线所表示的二次函数表达式；
Ⅱ若点是抛物线上一动点与点不重合，过点作轴于点，与线段交于点，是否存在点使得点是线段的三等分点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，直线与轴交于点，同时与抛物线交于点，以线段为边作菱形，使点落在轴的正半轴上，若该抛物线与线段没有交点，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据有理数加法的运算方法，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了有理数的加法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得．
 

2.【答案】 

【解析】解：将数据用科学记数法表示为；
故选B．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：．
故选：．
按照解一元一次不等式的步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为即可得出答案．
本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：从正面看，“底座长方体”看到的图形是矩形，“上部圆锥体”看到的图形是等腰三角形，因此选项C的图形符合题意，
故选：．
根据简单几何体的主视图的画法，利用“长对正”，从正面看到的图形．
本题考查简单几何体的三视图的画法，画三视图时要注意“长对正、宽相等、高平齐”．
 

5.【答案】 

【解析】解：与都对，
，
四边形为圆的内角四边形，
，
，
故选：．
利用同弧所对的圆心角等于圆周角的倍，求出的度数，再利用圆内接四边形对角互补即可求出所求．
此题考查了圆内角四边形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：依题意得：．
故选：．
利用路程速度时间，结合天快马比慢马多走的路程为慢马天走的路程，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
利用负整数指数幂及零指数幂进行计算即可．
本题考查实数的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

8.【答案】 

【解析】解：，

．
先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意要分解彻底．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式


．
故答案为：．
先通分，再加减．
本题考查了分式的加减，掌握异分母分式的加减法法则，是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，即，
解得．
故答案为：．
根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意知垂直平分，
，
，
在中，
，
故答案为：．
由作图知垂直平分，据此得，，在中，根据可得答案．
本题主要考查作图基本作图，解题的关键是掌握中垂线的尺规作图和中垂线的性质．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于点，如图．

，，
，，
．
故点的对应点的坐标为．
故答案为：．
分析题意，首先过点作轴于点，根据旋转的性质与勾股定理，求得的长；接下来在中利用勾股定理，即可求得的大小，据此即可得到的坐标．
本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理等知识，掌握勾股定理是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设他应站在离网的米处，
根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
由于人和球网是平行的，可以构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答．
此题考查相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出球小明离网的距离．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
解直角三角形求出，推出，再利用扇形的面积公式求解．
本题考查扇形的面积，矩形的性质等知识，解题的关键是求出的度数．
 

15.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

16.【答案】解：列表如图：

根据表格可知，一共有种等可能的结果，两人选择同一种型号的免洗洗手液的情况有种结果，
两人选择同一种型号的免洗洗手液的概率为． 

【解析】先列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，最后根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

17.【答案】证明：，
，
即，
，
，
在与中，
，
≌，
． 

【解析】根据线段的和差得到，由平行线的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论．
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

18.【答案】解：设大垃圾桶的单价为元，小垃圾桶的单价为元，
依题意得：，
解得：．
答：大垃圾桶的单价为元，小垃圾桶的单价为元． 

【解析】设大垃圾桶的单价为元，小垃圾桶的单价为元，根据“购买个大垃圾桶和个小垃圾桶共需元；购买个大垃圾桶和个小垃圾桶共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图，即为所求；
如图，四边形即为所求．
 

【解析】根据等腰三角形的定义利用数形结合的思想画出图形即可；
根据平行四边形的判定，利用数形结合的思想画出图形即可．
本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
 

20.【答案】     

【解析】解：人，
“”所占的百分比为，即，
“”的频数为人，
故答案为：，，
补全统计图如下：

将这人的体育锻炼时间从小到大排列，处在中间位置的两个数都在组，因此中位数在组，
故答案为：；
人，
答：该地区名中学生中达到国家规定的每天在校体育锻炼时间的中学生有人．
从两个统计图可知，“组”的有人，占调查人数的，根据频率，即可求出调查人数．进而求出“”所占的百分比以及“”的频数即可；
根据中位数的定义进行判断即可；
求出达到国家体育锻炼要求的学生所占的百分比，即可求和相应的人数．
本题考查扇形统计图、条形统计图、中位数以及样本估计总体，理解两个统计图中数量之间的关系以及中位数的定义是正确解答的前提．
 

21.【答案】解：把点代入反比例函数得，
；
如图，过点、分别作轴的垂线，垂足为、，则，，
，，
，
又为的中点．
，，
把代入反比例函数得，
，
点，即，
，
，
即点，
答：，；
在中，
，
在中，
，
的周长为：． 

【解析】把点代入反比例函数的关系式可求出的值，利用相似三角形的性质可求出的坐标，进而得出点坐标；
利用勾股定理求出、的长即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质，掌握勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
 

22.【答案】解：在中，，
设为，
，
，
在中，，
，
解得．
答：此建筑物的高度约为． 

【解析】在中，，设为，则，，在中，，解方程即可．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义及特殊的锐角三角函数值是解答本题的关键．
 

23.【答案】     

【解析】解：由图象和题意可知、两地之间公路路程是；
乙车的速度为：，
甲车的速度是：，
，
故答案为：，，；
设的表达式为：，
将、代入表达式得，
，
解得：
，
两车相遇前：，
两车相遇后：，
故甲车出发或，两车相距．
根据题图，即可知，两地之间的公路路程，分别求出甲、乙的速度即可求；
设的表达式为：，将、代入表达式即可求解；
分相遇前和相遇后进行计算即可；
本题考查了一次函数的综合应用，正确解读题意，结合图象求出甲、乙的速度是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：【探究】、分别为、的中点，
垂直平分，
，
沿过点的折痕将纸片翻折，使点落在上的点处，
，，，
，
，
，
，
由勾股定理得，，
，
，
，
，
；
【拓展】、两点恰好重合于一点，
，，
，
，
设，则，
由勾股定理得，，
，
，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
故答案为：．
【探究】根据，，可知，从而得出的度数，再根据角所对的直角边是斜边的一半可得的长，从而得出答案；
【拓展】由折叠知，则，设，则，根据，求出和的长，再说明是等边三角形，求出的长即可解决问题．
本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，翻折的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握含角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．
 

25.【答案】解：四边形为矩形，
，
在中，由勾股定理得：
，
的长为；
当时，如图，

；
当时，如图，作于，

，
，
，
，
；
当时，如图，点与点重合，

．
综上所述：． 

【解析】根据勾股定理直接计算的长；
根据点、的运动位置进行分类，分别画图表示相应的的面积即可．
本题主要考查了矩形的性质、勾股定理，以及三角形面积的表示，根据动点的位置进行分类讨论是解决问题的关键．
 

26.【答案】解：Ⅰ由题意得，
，
，
；
Ⅱ存在点，使得点是线段的三等分点，理由如下：
，，
直线的解析式为：，
设点，，
，，
当时，
，
化简得，
，
，，
当时，，
，
当时，，
此时舍去，
当时，
，
化简得，
，
舍去，，
当时，，
，
综上所述：或；
如图，

抛物线过点，
，
，
，
把，代入得，
，
，
，
，，，
，
四边形是菱形，
，
，
当时，即时，
当时，，
，
该抛物线与线段没有交点，
，
，
当时，
当时，，
，
抛物线与没有交点，
，
，
综上所述：或． 

【解析】Ⅰ将，两点坐标代入抛物线的解析式求得，从而得出结果；
Ⅱ求出的解析式，设出点坐标，表示出点坐标，从而表示出和的长，分别列出和时的方程，从而求得的值，进而求得点坐标；
分为和两种情形．当时，抛物线对称轴在轴左侧，此时求得抛物线与轴交点，只需交点在点的上方，就满足抛物线与线段没有交点，进一步求得结果，当时，类似的方法求得这种情形的范围．
本题考查了求二次函数的解析式，一次函数解析式，菱形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键一是正确分类，二是数形结合．