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2023年吉林省白城市通榆县中考数学三模试卷（含解析）
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这是一份2023年吉林省白城市通榆县中考数学三模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年吉林省白城市通榆县中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −8的倒数是( )
A. −8 B. 8 C. −18 D. 18
2. 某物体如图所示，它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. “x与12的积加上2不小于5.”用不等式表示是( )
A. 12x+2>5 B. 12x+2<5 C. 12x+2≤5 D. 12x+2≥5
4. 同学们做广播操时，为了保证一队同学站成一条直线，先让两个同学站好不动，其他同学依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面同学的后后脑勺，这其中用到的数学原理是( )
A. 垂线段最短 B. 经过一点有无数条直线
C. 两点之间，线段最短 D. 经过两点，有且只有一条直线
5. 如图，将一张长方形纸条沿某条直线折叠，若∠1=116°，则∠2=( )
A. 58
B. 68
C. 64
D. 54
6. 如图，在⊙O中，∠AOB=120°，C是劣弧AB的中点，P是优弧APB任意一点，连接AP，BP，则∠APC的度数是( )
A. 30°或60°
B. 60°
C. 40°
D. 30°
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
7. 分解因式：a2+8a+16=______．
8. 每到春天，人们在欣赏柳绿桃红的同时，也被飞舞的柳絮所烦恼，据了解柳絮纤维的直径约为0.00105cm，把0.00105写成科学记数法的形式为______ ．
9. 计算： 20− 45=______．
10. 如果关于x的一元二次方程ax2+x−1=0有两个不相等的实数根，那么a的值可以是 .(写出一个a值即可)
11. 如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为______ 度.
12. 为了营造自觉爱绿、植绿、护绿的浓厚氛围，甲、乙两组学生踊跃参加植树造林活动.已知甲组每小时比乙组多植2棵树，甲组植70棵树用时与乙组植50棵树用时相同.设甲组每小时植x棵树，根据题意列出分式方程：______ ．
13. 如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了.在图②中，杠杆的D端被向上翘起的距离BD=9cm，动力臂OA与阻力臂OB满足OA=3OB(AB与CD相交于点O)，要把这块石头翘起，至少要将杠杆的C点向下压______ cm．
14. 如图，在⊙O中，AB为直径，点C是⊙O上的一点，连接AC、BC，以C为圆心，AC的长为半径作弧，恰好经过点B，若AB=4，则图中阴影部分的周长是______ (结果保留根号和π)．
三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题5.0分)
先化简，再求值：(1−a2−1a2−3a)÷3a−1a，其中a=5．
16. (本小题5.0分)
如图，在△ABC中，D为BC延长线上的一点，∠A=60°，∠ACD=120°.求证：△ABC是等边三角形．
17. (本小题5.0分)
周末同学们和部分家长代表共30人组团到动物园进行春游活动.已知动物园的门票销售标准是：家长成人票150元/张，学生门票是成人票价的五折.该团队购门票共花费2400元.问该团队家长代表和学生分别有多少人？
18. (本小题5.0分)
一个不透明的口袋中装有4个小球，这四个小球上分别标有数字−1、−2、3、4，这四个小球除了标的数字不同其余完全相同.若小刚一次摸出两个球，用画树状图或列表的方法求两个球上的数字之积为负数的概率．
19. (本小题7.0分)
图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点.用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
(1)在图①中，以线段AB为一边画一个菱形；
(2)在图②中，以点A为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．
20. (本小题7.0分)
某校科技小组在一次野外考察中遇到一片烂泥湿地.为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木板，构筑成一条临时近道.每块木板对地面的压强p(Pa)是木板面积S(m2)的反比例函数，其图象如图所示．
(1)请根据图象直接写出反比例函数的解析式；
(2)如果要求压强不超过8000Pa，求选用的木板的面积至少要多大？
21. (本小题7.0分)
如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD，BE和一段水平平台DE构成，AD=10米，DE=7米，BE=5米.求：天桥高度BC及引桥水平跨度AC．
(参考数据：取sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
22. (本小题7.0分)
某学校举办了以“生态文明与环境保护”为主题的相关知识测试，为了了解学生对“生态文明与环境保护”相关知识的掌握情况，随机抽取80名学生的测试成绩(百分制，成内绩x取整数)并进行整理，数据分成6组，分别为40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100.信息如下：
信息1：80名学生的测试成绩的频数分布直方图如图所示．
信息2：在70≤x<80这一组的成绩如下：(单位：分)70 72 73 73 74 74 75 76 76 76 77 77 78 78 78 78 78 79根据以上信息，解答下列问题．
(1)在这次测试中，成绩的中位数是______ 分，成绩低于70分的人数占测试人数要的百分比为______ ；
(2)这次测试成绩的平均数是74.3分，小颖的测试成绩是76分.小亮说：“小颖的成绩高于平均数，所以小颖的成绩高于一半学生的成绩.”你认为小亮的说法正确吗？请说明理由．
23. (本小题8.0分)
某车间甲、乙两台机器共生产9200个零件，两台机器同时加工一段时间后，甲机器出现故障，维修一段时间后仍按原来的效率加工，已知甲机器每天加工150个零件，如图是表示未生产零件的个数y(个)与乙机器工作时间x(天)之间的函数图象．
(1)乙机器每天加工______ 个零件，甲机器维修了______ 天；
(2)求未生产零件的个数y(个)与乙机器工作时间x(天)之间的函数关系式；
(3)当甲、乙两台机器共生产7600个零件时，乙机器加工了多少天？
24. (本小题8.0分)
【探究问题】阅读并补全解题过程
如图①，在四边形ABCD中，AD//BC，点E是边AB的中点，CE⊥DE，求证：DE平分∠ADC．
张某某同学受到老师说过的“有中点，延长加倍构造全等”的启发，延长DE交射线CB于点F，请你依据该同
学的做法补全证明过程．
证明：延长DE交射线CB于点F．
【应用】如图②，在长方形ABCD中，将△ABF沿直线AF折叠，若点B恰好落在边CD的中点E处，直接写出∠AFB的度数；
【拓展】如图③，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在正方形ABCD内部的点F处，延长BF交CD于点G，延长EF交CD于点H，若正方形ABCD的边长为4，直接写出FG的值．
25. (本小题10.0分)
如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4.动点P从点B出发，沿折线BC−CA以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，当点P不与点B和点A重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q.设点P的运动时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示线段PQ的长．
(2)当线段PQ将△ABC分成的两部分图形中存在轴对称图形时，求t的值．
(3)设线段PQ扫过图形的面积为S(S>0)，求S与t之间的函数关系式．
(4)如图②，以PQ为斜边向上作等腰直角三角形PQM.连结CM，当线段CM的垂直平分线平行于△ABC的一边时，直接写出t的值．
26. (本小题10.0分)
如图，抛物线y=−x2+bx+c经过点A(−1,0)，点B(3,0)，与y轴交于点C，点D在射线CO上运动，过点D作直线EF//x轴，交抛物线于点E，F(点E在点F的左侧)．
(1)求该抛物线的解析式和对称轴；
(2)若EF=2OC，求点E的坐标；
(3)若抛物线的顶点关于直线EF的对称点为点P，当点P到x轴的距离等于1时，求出所有符合条件的线段EF的长；
(4)以点D为旋转中心，将点B绕点D顺时针旋转90°得到点B′，直接写出点B′落在抛物线上时点D的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据倒数的定义得：−8×(−18)=1，
因此−8的倒数是−18．
故选：C．
根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1，−8×(−18)=1，即可解答．
此题主要考查倒数的概念及性质，属于基础题，注意掌握倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2.【答案】B
【解析】解：该物体如图所示，它的俯视图是：
故选：B．
根据俯视图的定义和画法进行判断即可．
本题考查简单组合体的主视图，俯视图就是从上面看物体所得到的图形．
3.【答案】D
【解析】解：由题意得，12x+2≥5．
故选：D．
“x与12的积加上2”即12x+2，不小于5即≥5，据此列不等式．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
4.【答案】D
【解析】解：同学们做广播操时，为了保证一队同学站成一条直线，先让两个同学站好不动，其他同学依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面同学的后脑句，这其中用到的数学原理是经过两点，有且只有一条直线，
故选：D．
根据直线的性质，即可解答．
本题考查了直线的性质，线段的性质，垂线段最短，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：如图，∵AB//CD，
∴∠1=∠BAC=116°，
由折叠可得，∠BAD=12∠BAC=58°，
∵AB//CD，
∴∠2=∠BAD=58°，
故选：A．
依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠2的度数．
本题考查翻折变换和平行线的性质知识，解题的关键是熟练掌握翻折前后图形全等解答．
6.【答案】D
【解析】解：在⊙O中，∠AOB=120°，
∴∠APB=12∠AOB=12×120°=60°，
∵C是劣弧AB的中点，
∴∠APC=12∠APB=12×60°=30°．
故选：D．
根据圆周角与圆心角的关系可得∠APB的度数，再根据圆心角、弧、弦的关系可得答案．
此题考查的是圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系，掌握其性质定理是解决此题的关键．
7.【答案】(a+4)2
【解析】解：a2+8a+16=(a+4)2．
故答案为：(a+4)2．
根据公式法因式分解即可．
本题考查了运用公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
8.【答案】1.05×10−3
【解析】解：0.00105=1.05×10−3．
故答案为：1.05×10−3．
绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
9.【答案】− 5
【解析】解： 20− 45
=2 5−3 5
=− 5．
故答案为：− 5．
先进行化简，再进行减法运算即可．
本题主要考查二次根式的减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
10.【答案】1(答案不唯一)
【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2+x−1=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=12−4a×(−1)>0，且a≠0，
∴a>−14且a≠0，
∴a的值可以是1．
故答案为：1．
根据一元二次方程其判别式Δ=b2−4ac>0时有两个不相等的实数根和一元二次方程的定义即可求出a的取值范围，进而即可任意写出a的值．
本题考查根据一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为Δ=b2−4ac，且当Δ>0时，该方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，该方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，该方程没有实数根是解题关键．
11.【答案】60
【解析】解：图形可看作由一个基本图形每次旋转60°，旋转6次所组成，故最小旋转角为60°．
故答案为：60．
观察图形可得，图形由六个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度．
本题考查旋转对称图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
12.【答案】70x=50x−2
【解析】解；设甲组每小时植树x棵，则根据题意列出方程：
70x=50x−2．
故答案为：70x=50x−2．
设甲组每小时植树x棵，则根据题意可得乙组每小时植树(x+2)棵，根据关键语句“甲组完成70棵的植树任务与乙组完成50棵的植树任务所用的时间相等”列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题列出分式方程，关键是正确理解题意，表示出甲乙两组每小时植树的棵数，再根据关键语句找出等量关系，列出方程．
13.【答案】27
【解析】解：由题意得，AC//BD，
∴△AOC∽△BOD，
∴ACBD=AOBO，
∵AO=3OB，
∴ACBD=AOBO=3，
∴AC=3BD=27cm，
∴至少要将杠杆的C点向下压27cm，
故答案为：27．
首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点C向下压的长度．
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确地构造相似三角形是解题的关键．
14.【答案】(2+ 2)π
【解析】解：∵AB为⊙O的直径，AB=4，
∴半圆AB的长为2π，∠ACB=90°，
由题意得：CA=CB，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴CA=CB= 22AB=2 2，
∴以C为圆心的AB的长为：90π×2 2180= 2π，
∴阴影部分的周长为：(2+ 2)π，
故答案为：(2+ 2)π．
根据圆的周长公式求出半圆AB的长，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等腰直角三角形的性质出去CA，根据弧长公式计算即可．
本题考查的是弧长的计算、圆周角定理、等腰直角三角形的性质，掌握弧长公式是解题的关键．
15.【答案】解：原式=(a2−3aa2−3a−a2−1a2−3a)⋅a3a−1
=1−3aa(a−3)⋅a3a−1
=13−a，
当a=5时，原式=13−5=−12．
【解析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把a的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
16.【答案】证明：∵∠ACD=120°，
∴∠ACB=180°−∠ACD=60°，
∵∠A=60°，
∴∠B=180°−∠A−∠ACB=60°，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形．
【解析】先利用平角定义求出∠ACB=60°，再利用三角形内角和定理求出∠B=60°，然后根据等边三角形的判定方法即可解答．
本题考查了等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定是解题的关键．
17.【答案】解：设该团队家长代表有x人，学生有y人，
根据题意得：x+y=30150x+150×0.5y=2400，
解得：x=2y=28．
答：该团队家长代表有2人，学生有28人．
【解析】设该团队家长代表有x人，学生有y人，利用总价=单价×数量，结合该团队共30人且购买门票共花费2400元，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18.【答案】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，两个球上的数字之积分别为：2，−3，−4，2，−6，−8，−3，−6，12，−4，−8，12，
其中两个球上的数字之积为负数的结果有：−3，−4，−6，−8，−3，−6，−4，−8，共8种，
∴两个球上的数字之积为负数的概率为812=23．
【解析】(1)直接利用概率公式计算即可．
(2)画树状图得出所有等可能的结果数和两个球上的数字之积为负数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)如图①，菱形ABEF即为所求．
(2)如图②，正方形AGHK即为所求．
【解析】(1)根据菱形的性质按要求作图即可．
(2)利用网格，结合勾股定理作边长为 10的正方形即可．
本题考查作图−应用与设计作图、平行四边形、菱形、正方形的判定与性质，熟练掌握平行四边形、菱形、正方形的判定与性质是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)由图象得：双曲线过点(2,500)，在第一象限，
∴k=2×500=1000，
∴反比例函数表达式为：p=1000S(S>0)；
(2)解：当P=8000Pa时：8000=1000S，即：S=0.125m2；
由图象可知，p随着S的增大而减小，
∴当p≤8000Pa时，S≥0.125m2，
∴选用的木板的面积至少要0.125m2．
【解析】(1)根据图象，双曲线过点(2,500)，待定系数法求出解析式，曲线在第一象限，即可得出自变量取值范围；
(2)根据压强不超过8000Pa，求出自变量的取值范围即可．
本题考查反比例函数的实际应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想求解，是解题的关键．
21.【答案】解：如图：
由题意得：DF⊥AC，DG⊥BC，DF=GC，DG=CF，∠BEG=37°，
在Rt△ADF中，∠DAF=37°，AD=10米，
∴DF=AD⋅sin37°≈10×0.6=6(米)，
AF=AD⋅cos37°≈10×0.8=8(米)，
∴DF=CG=6米，
在Rt△BEG中，BE=5米，
∴BG=BE⋅sin37°≈5×0.6=3(米)，
EG=BE⋅cos37°≈5×0.8=4(米)，
∴BC=BG+CG=3+6=9(米)，
∵DE=7米，
∴FC=DG=DE+EG=11(米)，
∴AC=AF+FC=8+11=19(米)，
∴天桥高度BC约为9米，引桥水平跨度AC约为19米．
【解析】根据题意得：DF⊥AC，DG⊥BC，DF=GC，DG=CF，∠BEG=37°，然后在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义求出DF，AF的长，再在Rt△BEG中，利用锐角三角函数的定义求出BG和EG的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用=坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
22.【答案】77.5 35%
【解析】解：(1)∵这组数据的总个数为80，
∴这组数据的中位数是第40、41个数据的平均数，而第40、41个数据分别为77、78，
∴这组数据的中位数是77+782=77.5，
成绩低于70分的人数占测试人数的百分比为5+9+1480×100%=35%，
故答案为：77.5，35%；
(2)小亮的说法不正确，理由：
因为小颖的测试成绩是76分，这组数据的中位数是77.5分，小颖成绩低于中位数，所以小颖的成绩低于一半学生的成绩．
(1)根据中位数的概念求解即可求出中位数，用成绩低于70分的人数除以总人数即可求出成绩低于70分的人数占测试人数要的百分比；
(2)根据中位数的意义求解即可．
本题考查频数分布直方图、中位数和利用统计图表获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
23.【答案】250 8
【解析】解：(1)设乙机器每天加工a个零件，
由题意得：10(150+a)=9200−5200，
解得：a=250，
即乙机器每天加工250个零件；
甲机器维修的天数为5200−3200250=8(天)．
故答案为：250，8；
(2)设未生产零件的个数y(个)与乙机器工作时间x(天)之间的函数关系式为y=kx+b．
①当0≤x≤10时，
把(0,9200)，(10,5200)代入，
得：b=920010k+b=5200，解得：k=−400b=9200，
∴y=−400x+9200(0≤x≤10)；
②当10
得：10k+b=520018k+b=3200，解得：k=−250b=7700，
∴y=−250x+7700(10
得：18k+b=320026k+b=0，解得：k=−400b=10400，
∴y=−400x+10400(18
当1600=−400x+10400时，x=22，
故当甲、乙两台机器共生产7600个零件时，乙机器加工了22天．
(1)设乙机器每天加工a个零件，根据甲、乙两台机器10天共生产(9200−5200)个零件列出方程，求出a得到乙机器每天加工250个零件；根据甲机器维修的时间即为乙机器单独工作的时间，结合图象根据工作时间=工作总量÷工作效率即可求出甲机器维修的天数；
(2)设未生产零件的个数y(个)与乙机器工作时间x(天)之间的函数关系式为y=kx+b.分三种情况：①当0≤x≤10时；②当10
24.【答案】【探究问题】证明：如图①，延长DE交射线CB于点F，
∵AD//BC，
∴∠ADF=∠F，∠A=∠ABF，
∵点E是边AB的中点，
∴AE=BE，
在△DAE和△FBE中，
∠ADE=∠BFE∠A=∠EBFAE=BE，
∴△DAE≌△FBE(AAS)，
∴DE=FE，
∵CE⊥DF，
∴CD=CF，
∴∠CDE=∠F，
∴∠ADE=∠CDE，
∴DE平分∠ADC；
【应用】解：在长方形ABCD中，AB=DC，∠D=∠B=90°，
∵点B恰好落在边CD的中点E处，
∴DE=CE，
设DE=CE=a，
由翻折可知：AB=AE=2a，
∴sin∠DAE=DEAE=12，
∴∠DAE=30°，
∴∠BAE=90°−30°=60°，
由翻折可知：∠BAF=∠EAF=30°，
∴∠AFB=90°−30°=60°，
∴∠AFB的度数为60°；
【拓展】解：如图③，连接BH，EG，
在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=∠D=90°，
∵E为边AD的中点，
∴AE=DE=2，
∵将△ABE沿直线BE折叠，点A落在正方形ABCD内部的点F处，
∵AB=BF=4，AE=EF=2，∠BFE=∠A=90°，
∴∠BFH=∠C=90°，DE=FE=2，BC=BF=4，
∴Rt△DEG≌Rt△FEG(HL)，Rt△BCH≌Rt△BFH(HL)，
∴DG=FG，CH=FH，
设FG=DG=x，FH=CH=a，
则EH=EF+FH=2+a，GH=CD−DG−CH=4−x−a，
∴DH=CD−CH=4−a，
在Rt△EDH中，根据勾股定理得：
ED2+DH2=EH2，
∴22+(4−a)2=(2+a)2，
∴a=43，
在Rt△FGH中，根据勾股定理得：
FG2+FH2=GH2，
∴x2+a2=(4−x−a)2，
∴x2+(43)2=(4−x−43)2，
∴x=1，
∴FG的值为1．
【解析】【探究问题】如图①，延长DE交射线CB于点F，证明△DAE≌△FBE(AAS)，可得DE=FE，然后利用等腰三角形的性质即可解决问题；
【应用】设DE=CE=a，由翻折可得AB=AE=2a，所以sin∠DAE=DEAE=12，得∠DAE=30°，根据直角三角形两个锐角互余可以解决问题；
【拓展】如图③，连接BH，EG，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt△DEG≌Rt△FEG(HL)，Rt△BCH≌Rt△BFH(HL)，可得DG=FG，CH=FH，设FG=DG=x，FH=CH=a，则EH=EF+FH=2+a，GH=CD−DG−CH=4−x−a，可得DH=CD−CH=4−a，然后利用勾股定理即可解决问题．
本题属于四边形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，翻折变换，锐角三角函数，勾股定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．
25.【答案】解：(1)如图1中，当0
在Rt△ABC中，AC= AB2−BC2= 52−42=3，
∵sinB=PQPB=ACAB，
∴PQ5t=35，
∴PQ=3t．
如图2中，当45
∵sinA=PQAP=BCAB，
∴PQ7−5t=45，
∴PQ=45(7−5t)=−4t+285，
综上所述，PQ=3t(0
(2)如图1中，当PC=PQ时，四边形AQPC是轴对称图形，
此时4−5t=3t，
解得t=12．
如图2中，当PQ=CP时，四边形BCPQ是轴对称图形，
此时，5t−4=−4t+285，
解得t=1615，
综上所述，当t的值为12或1615时，线段PQ将△ABC分成的两部分图形中存在轴对称图形；
(3)如图1中，当0
(4)如图3中，当CM的垂直平分线平行AB时，过点M作MO⊥PQ于点O，交CB于点N，此时MN⊥CM．
∵MQ=PM，MO⊥PQ，
∴OQ=OP=OM=32t，
∵ON//BQ，QO=OP，
∴BN=PN=52t，
∴ON=12BQ=2t，
∴MN=OM+OM=72t，
∵∠CNM=∠B，
∴cos∠CNM=cosB，
∴45=72t4−52t，
解得t=3255，
如图4中，当点M落在AC上时，也满足条件，过点Q作QJ⊥AC于点J．
∵∠QJM=∠C=∠QMP=90°，
∴∠QMJ+∠PMC=90°，∠PMC+∠MPC=90°，
∴∠QMJ=∠MPC，
∵MQ=MP，
∴△QJM≌△MCP(AAS)，
∴QJ=CM，PC=JM，
∵AQ=5−4t，QJ=CM=45(5−4t)，AJ=35(5−4t)，PC=JM=4−5t，
∵AC=3，
∴35(5−4t)+4−5t+45(5−4t)=3，
解得t=4053，
当点P在AC上时，不存在满足条件的t的值，
综上所述，满足条件的t的值为3255或4053．
【解析】(1)分两种情形：如图1中，当0
(3)分两种情形：如图1中，当0
本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
26.【答案】解：(1)将A(−1,0)，B(3,0)代入y=−x2+bx+c得：−1−b+c=0−9+3b+c=0，
解得：b=2c=3，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3．
∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1；
(2)当x=0时，y=−1×02+2×0+3=3，
∴点C的坐标为(0,3)，
∴OC=3．
设点E的坐标为(m,−m2+2m+3)，则点F的坐标为(m+6,−m2+2m+3)，
∴−(m+6)2+2(m+6)+3=−m2+2m+3，
解得：m=−2，
∴点E的坐标为(−2,−5)；
(3)由(1)可知：抛物线的顶点坐标为(1,4)．
设直线EF的解析式为y=n，则点P的坐标为(1,2n−4)，
根据题意得：|2n−4|=1，
解得：n=32或n=52．
当n=32时，−x2+2x+3=32，
解得：x1=2− 102，x2=2+ 102，
∴此时EF=x2−x1=2+ 102−2− 102= 10；
当n=52时，−x2+2x+3=52，
解得：x1=2− 62，x2=2+ 62，
∴此时EF=x2−x1=2+ 62−2− 62= 6．
∴线段EF的长为 10或 6；
(4)设点D的坐标为(0,a)，过点B′作B′M⊥y轴于点M，如图所示．
分两种情况考虑：
当点D在y轴正半轴时，∵∠BDO+∠B′DM=90°，∠BDO+∠DBO=90°，
∴∠B′DM=∠DBO．
在△B′DM和△DBO中，
∠B′MD=90°=∠DOB∠B′DM=∠DBOB′D=DB，
∴△B′DM≌△DBO(AAS)，
∴B′M=DO，DM=BO=3，
∴点B′的坐标为(−a,a−3)，
∴a−3=−(−a)2+2(−a)+3，
整理得：a2+3a−6=0，
解得：a1=−3− 332(不符合题意，舍去)，a2=−3+ 332，
∴点D的坐标为(0,−3+ 332)；
当点D在y轴负半轴时，同理可证出：△B′DM≌△DBO(AAS)，
∴B′M=DO，DM=BO=3，
∴点B′的坐标为(−a,a−3)，
∴a−3=−(−a)2+2(−a)+3，
整理得：a2+3a−6=0，
解得：a1=−3− 332，a2=−3+ 332(不符合题意，舍去)，
∴点D的坐标为(0,−3− 332).
综上所述，点D的坐标为(0,−3+ 332)或(0,−3− 332).
【解析】(1)由点A，B的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式，再将抛物线的解析式转化为顶点式，进而可得出抛物线的对称轴为直线x=1；
(2)代入x=0，求出y值，进而可得出点C的坐标及OC的长，结合EF=2OC，可设点E的坐标为(m,−m2+2m+3)，则点F的坐标为(m+6,−m2+2m+3)，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的方程，解之即可得出m的值，再将其代入点E的坐标中即可求出结论；
(3)由(1)可知：抛物线的顶点坐标为(1,4).设直线EF的解析式为y=n，则点P的坐标为(1,2n−4)，由点P到x轴的距离等于1，可得出关于n的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出n的值，将y=n代入抛物线解析式中可求出点E，F的横坐标，作差后即可得出EF的长；
(4)设点D的坐标为(0,a)，过点B′作B′M⊥y轴于点M，分点D在y轴正半轴及点D在y轴负半轴两种情况考虑，易证△B′DM≌△DBO(AAS)，利用全等三角形的性质可得出B′M=DO，DM=BO=3，进而可得出点B′的坐标为(−a,a−3)，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出a值，取其符合题意的值即可得出点D的坐标．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、解含绝对值符号的一元一次方程以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：(1)根据给定的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)根据EF=2OC，用点E的横坐标表示出点F的横坐标；(3)由点P到x轴的距离，找出关于n的含绝对值符号的一元一次方程；(4)构造全等三角形，利用二次函数图象上点的坐标特征，找出关于a的一元二次方程．
2023年吉林省白城市通榆县中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −8的倒数是( )
A. −8 B. 8 C. −18 D. 18
2. 某物体如图所示，它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. “x与12的积加上2不小于5.”用不等式表示是( )
A. 12x+2>5 B. 12x+2<5 C. 12x+2≤5 D. 12x+2≥5
4. 同学们做广播操时，为了保证一队同学站成一条直线，先让两个同学站好不动，其他同学依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面同学的后后脑勺，这其中用到的数学原理是( )
A. 垂线段最短 B. 经过一点有无数条直线
C. 两点之间，线段最短 D. 经过两点，有且只有一条直线
5. 如图，将一张长方形纸条沿某条直线折叠，若∠1=116°，则∠2=( )
A. 58
B. 68
C. 64
D. 54
6. 如图，在⊙O中，∠AOB=120°，C是劣弧AB的中点，P是优弧APB任意一点，连接AP，BP，则∠APC的度数是( )
A. 30°或60°
B. 60°
C. 40°
D. 30°
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
7. 分解因式：a2+8a+16=______．
8. 每到春天，人们在欣赏柳绿桃红的同时，也被飞舞的柳絮所烦恼，据了解柳絮纤维的直径约为0.00105cm，把0.00105写成科学记数法的形式为______ ．
9. 计算： 20− 45=______．
10. 如果关于x的一元二次方程ax2+x−1=0有两个不相等的实数根，那么a的值可以是 .(写出一个a值即可)
11. 如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为______ 度.
12. 为了营造自觉爱绿、植绿、护绿的浓厚氛围，甲、乙两组学生踊跃参加植树造林活动.已知甲组每小时比乙组多植2棵树，甲组植70棵树用时与乙组植50棵树用时相同.设甲组每小时植x棵树，根据题意列出分式方程：______ ．
13. 如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了.在图②中，杠杆的D端被向上翘起的距离BD=9cm，动力臂OA与阻力臂OB满足OA=3OB(AB与CD相交于点O)，要把这块石头翘起，至少要将杠杆的C点向下压______ cm．
14. 如图，在⊙O中，AB为直径，点C是⊙O上的一点，连接AC、BC，以C为圆心，AC的长为半径作弧，恰好经过点B，若AB=4，则图中阴影部分的周长是______ (结果保留根号和π)．
三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题5.0分)
先化简，再求值：(1−a2−1a2−3a)÷3a−1a，其中a=5．
16. (本小题5.0分)
如图，在△ABC中，D为BC延长线上的一点，∠A=60°，∠ACD=120°.求证：△ABC是等边三角形．
17. (本小题5.0分)
周末同学们和部分家长代表共30人组团到动物园进行春游活动.已知动物园的门票销售标准是：家长成人票150元/张，学生门票是成人票价的五折.该团队购门票共花费2400元.问该团队家长代表和学生分别有多少人？
18. (本小题5.0分)
一个不透明的口袋中装有4个小球，这四个小球上分别标有数字−1、−2、3、4，这四个小球除了标的数字不同其余完全相同.若小刚一次摸出两个球，用画树状图或列表的方法求两个球上的数字之积为负数的概率．
19. (本小题7.0分)
图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点.用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
(1)在图①中，以线段AB为一边画一个菱形；
(2)在图②中，以点A为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．
20. (本小题7.0分)
某校科技小组在一次野外考察中遇到一片烂泥湿地.为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木板，构筑成一条临时近道.每块木板对地面的压强p(Pa)是木板面积S(m2)的反比例函数，其图象如图所示．
(1)请根据图象直接写出反比例函数的解析式；
(2)如果要求压强不超过8000Pa，求选用的木板的面积至少要多大？
21. (本小题7.0分)
如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD，BE和一段水平平台DE构成，AD=10米，DE=7米，BE=5米.求：天桥高度BC及引桥水平跨度AC．
(参考数据：取sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
22. (本小题7.0分)
某学校举办了以“生态文明与环境保护”为主题的相关知识测试，为了了解学生对“生态文明与环境保护”相关知识的掌握情况，随机抽取80名学生的测试成绩(百分制，成内绩x取整数)并进行整理，数据分成6组，分别为40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100.信息如下：
信息1：80名学生的测试成绩的频数分布直方图如图所示．
信息2：在70≤x<80这一组的成绩如下：(单位：分)70 72 73 73 74 74 75 76 76 76 77 77 78 78 78 78 78 79根据以上信息，解答下列问题．
(1)在这次测试中，成绩的中位数是______ 分，成绩低于70分的人数占测试人数要的百分比为______ ；
(2)这次测试成绩的平均数是74.3分，小颖的测试成绩是76分.小亮说：“小颖的成绩高于平均数，所以小颖的成绩高于一半学生的成绩.”你认为小亮的说法正确吗？请说明理由．
23. (本小题8.0分)
某车间甲、乙两台机器共生产9200个零件，两台机器同时加工一段时间后，甲机器出现故障，维修一段时间后仍按原来的效率加工，已知甲机器每天加工150个零件，如图是表示未生产零件的个数y(个)与乙机器工作时间x(天)之间的函数图象．
(1)乙机器每天加工______ 个零件，甲机器维修了______ 天；
(2)求未生产零件的个数y(个)与乙机器工作时间x(天)之间的函数关系式；
(3)当甲、乙两台机器共生产7600个零件时，乙机器加工了多少天？
24. (本小题8.0分)
【探究问题】阅读并补全解题过程
如图①，在四边形ABCD中，AD//BC，点E是边AB的中点，CE⊥DE，求证：DE平分∠ADC．
张某某同学受到老师说过的“有中点，延长加倍构造全等”的启发，延长DE交射线CB于点F，请你依据该同
学的做法补全证明过程．
证明：延长DE交射线CB于点F．
【应用】如图②，在长方形ABCD中，将△ABF沿直线AF折叠，若点B恰好落在边CD的中点E处，直接写出∠AFB的度数；
【拓展】如图③，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在正方形ABCD内部的点F处，延长BF交CD于点G，延长EF交CD于点H，若正方形ABCD的边长为4，直接写出FG的值．
25. (本小题10.0分)
如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4.动点P从点B出发，沿折线BC−CA以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，当点P不与点B和点A重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q.设点P的运动时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示线段PQ的长．
(2)当线段PQ将△ABC分成的两部分图形中存在轴对称图形时，求t的值．
(3)设线段PQ扫过图形的面积为S(S>0)，求S与t之间的函数关系式．
(4)如图②，以PQ为斜边向上作等腰直角三角形PQM.连结CM，当线段CM的垂直平分线平行于△ABC的一边时，直接写出t的值．
26. (本小题10.0分)
如图，抛物线y=−x2+bx+c经过点A(−1,0)，点B(3,0)，与y轴交于点C，点D在射线CO上运动，过点D作直线EF//x轴，交抛物线于点E，F(点E在点F的左侧)．
(1)求该抛物线的解析式和对称轴；
(2)若EF=2OC，求点E的坐标；
(3)若抛物线的顶点关于直线EF的对称点为点P，当点P到x轴的距离等于1时，求出所有符合条件的线段EF的长；
(4)以点D为旋转中心，将点B绕点D顺时针旋转90°得到点B′，直接写出点B′落在抛物线上时点D的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据倒数的定义得：−8×(−18)=1，
因此−8的倒数是−18．
故选：C．
根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1，−8×(−18)=1，即可解答．
此题主要考查倒数的概念及性质，属于基础题，注意掌握倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2.【答案】B
【解析】解：该物体如图所示，它的俯视图是：
故选：B．
根据俯视图的定义和画法进行判断即可．
本题考查简单组合体的主视图，俯视图就是从上面看物体所得到的图形．
3.【答案】D
【解析】解：由题意得，12x+2≥5．
故选：D．
“x与12的积加上2”即12x+2，不小于5即≥5，据此列不等式．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
4.【答案】D
【解析】解：同学们做广播操时，为了保证一队同学站成一条直线，先让两个同学站好不动，其他同学依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面同学的后脑句，这其中用到的数学原理是经过两点，有且只有一条直线，
故选：D．
根据直线的性质，即可解答．
本题考查了直线的性质，线段的性质，垂线段最短，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：如图，∵AB//CD，
∴∠1=∠BAC=116°，
由折叠可得，∠BAD=12∠BAC=58°，
∵AB//CD，
∴∠2=∠BAD=58°，
故选：A．
依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠2的度数．
本题考查翻折变换和平行线的性质知识，解题的关键是熟练掌握翻折前后图形全等解答．
6.【答案】D
【解析】解：在⊙O中，∠AOB=120°，
∴∠APB=12∠AOB=12×120°=60°，
∵C是劣弧AB的中点，
∴∠APC=12∠APB=12×60°=30°．
故选：D．
根据圆周角与圆心角的关系可得∠APB的度数，再根据圆心角、弧、弦的关系可得答案．
此题考查的是圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系，掌握其性质定理是解决此题的关键．
7.【答案】(a+4)2
【解析】解：a2+8a+16=(a+4)2．
故答案为：(a+4)2．
根据公式法因式分解即可．
本题考查了运用公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
8.【答案】1.05×10−3
【解析】解：0.00105=1.05×10−3．
故答案为：1.05×10−3．
绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
9.【答案】− 5
【解析】解： 20− 45
=2 5−3 5
=− 5．
故答案为：− 5．
先进行化简，再进行减法运算即可．
本题主要考查二次根式的减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
10.【答案】1(答案不唯一)
【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2+x−1=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=12−4a×(−1)>0，且a≠0，
∴a>−14且a≠0，
∴a的值可以是1．
故答案为：1．
根据一元二次方程其判别式Δ=b2−4ac>0时有两个不相等的实数根和一元二次方程的定义即可求出a的取值范围，进而即可任意写出a的值．
本题考查根据一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为Δ=b2−4ac，且当Δ>0时，该方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，该方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，该方程没有实数根是解题关键．
11.【答案】60
【解析】解：图形可看作由一个基本图形每次旋转60°，旋转6次所组成，故最小旋转角为60°．
故答案为：60．
观察图形可得，图形由六个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度．
本题考查旋转对称图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
12.【答案】70x=50x−2
【解析】解；设甲组每小时植树x棵，则根据题意列出方程：
70x=50x−2．
故答案为：70x=50x−2．
设甲组每小时植树x棵，则根据题意可得乙组每小时植树(x+2)棵，根据关键语句“甲组完成70棵的植树任务与乙组完成50棵的植树任务所用的时间相等”列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题列出分式方程，关键是正确理解题意，表示出甲乙两组每小时植树的棵数，再根据关键语句找出等量关系，列出方程．
13.【答案】27
【解析】解：由题意得，AC//BD，
∴△AOC∽△BOD，
∴ACBD=AOBO，
∵AO=3OB，
∴ACBD=AOBO=3，
∴AC=3BD=27cm，
∴至少要将杠杆的C点向下压27cm，
故答案为：27．
首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点C向下压的长度．
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确地构造相似三角形是解题的关键．
14.【答案】(2+ 2)π
【解析】解：∵AB为⊙O的直径，AB=4，
∴半圆AB的长为2π，∠ACB=90°，
由题意得：CA=CB，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴CA=CB= 22AB=2 2，
∴以C为圆心的AB的长为：90π×2 2180= 2π，
∴阴影部分的周长为：(2+ 2)π，
故答案为：(2+ 2)π．
根据圆的周长公式求出半圆AB的长，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等腰直角三角形的性质出去CA，根据弧长公式计算即可．
本题考查的是弧长的计算、圆周角定理、等腰直角三角形的性质，掌握弧长公式是解题的关键．
15.【答案】解：原式=(a2−3aa2−3a−a2−1a2−3a)⋅a3a−1
=1−3aa(a−3)⋅a3a−1
=13−a，
当a=5时，原式=13−5=−12．
【解析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把a的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
16.【答案】证明：∵∠ACD=120°，
∴∠ACB=180°−∠ACD=60°，
∵∠A=60°，
∴∠B=180°−∠A−∠ACB=60°，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形．
【解析】先利用平角定义求出∠ACB=60°，再利用三角形内角和定理求出∠B=60°，然后根据等边三角形的判定方法即可解答．
本题考查了等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定是解题的关键．
17.【答案】解：设该团队家长代表有x人，学生有y人，
根据题意得：x+y=30150x+150×0.5y=2400，
解得：x=2y=28．
答：该团队家长代表有2人，学生有28人．
【解析】设该团队家长代表有x人，学生有y人，利用总价=单价×数量，结合该团队共30人且购买门票共花费2400元，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18.【答案】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，两个球上的数字之积分别为：2，−3，−4，2，−6，−8，−3，−6，12，−4，−8，12，
其中两个球上的数字之积为负数的结果有：−3，−4，−6，−8，−3，−6，−4，−8，共8种，
∴两个球上的数字之积为负数的概率为812=23．
【解析】(1)直接利用概率公式计算即可．
(2)画树状图得出所有等可能的结果数和两个球上的数字之积为负数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)如图①，菱形ABEF即为所求．
(2)如图②，正方形AGHK即为所求．
【解析】(1)根据菱形的性质按要求作图即可．
(2)利用网格，结合勾股定理作边长为 10的正方形即可．
本题考查作图−应用与设计作图、平行四边形、菱形、正方形的判定与性质，熟练掌握平行四边形、菱形、正方形的判定与性质是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)由图象得：双曲线过点(2,500)，在第一象限，
∴k=2×500=1000，
∴反比例函数表达式为：p=1000S(S>0)；
(2)解：当P=8000Pa时：8000=1000S，即：S=0.125m2；
由图象可知，p随着S的增大而减小，
∴当p≤8000Pa时，S≥0.125m2，
∴选用的木板的面积至少要0.125m2．
【解析】(1)根据图象，双曲线过点(2,500)，待定系数法求出解析式，曲线在第一象限，即可得出自变量取值范围；
(2)根据压强不超过8000Pa，求出自变量的取值范围即可．
本题考查反比例函数的实际应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想求解，是解题的关键．
21.【答案】解：如图：
由题意得：DF⊥AC，DG⊥BC，DF=GC，DG=CF，∠BEG=37°，
在Rt△ADF中，∠DAF=37°，AD=10米，
∴DF=AD⋅sin37°≈10×0.6=6(米)，
AF=AD⋅cos37°≈10×0.8=8(米)，
∴DF=CG=6米，
在Rt△BEG中，BE=5米，
∴BG=BE⋅sin37°≈5×0.6=3(米)，
EG=BE⋅cos37°≈5×0.8=4(米)，
∴BC=BG+CG=3+6=9(米)，
∵DE=7米，
∴FC=DG=DE+EG=11(米)，
∴AC=AF+FC=8+11=19(米)，
∴天桥高度BC约为9米，引桥水平跨度AC约为19米．
【解析】根据题意得：DF⊥AC，DG⊥BC，DF=GC，DG=CF，∠BEG=37°，然后在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义求出DF，AF的长，再在Rt△BEG中，利用锐角三角函数的定义求出BG和EG的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用=坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
22.【答案】77.5 35%
【解析】解：(1)∵这组数据的总个数为80，
∴这组数据的中位数是第40、41个数据的平均数，而第40、41个数据分别为77、78，
∴这组数据的中位数是77+782=77.5，
成绩低于70分的人数占测试人数的百分比为5+9+1480×100%=35%，
故答案为：77.5，35%；
(2)小亮的说法不正确，理由：
因为小颖的测试成绩是76分，这组数据的中位数是77.5分，小颖成绩低于中位数，所以小颖的成绩低于一半学生的成绩．
(1)根据中位数的概念求解即可求出中位数，用成绩低于70分的人数除以总人数即可求出成绩低于70分的人数占测试人数要的百分比；
(2)根据中位数的意义求解即可．
本题考查频数分布直方图、中位数和利用统计图表获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
23.【答案】250 8
【解析】解：(1)设乙机器每天加工a个零件，
由题意得：10(150+a)=9200−5200，
解得：a=250，
即乙机器每天加工250个零件；
甲机器维修的天数为5200−3200250=8(天)．
故答案为：250，8；
(2)设未生产零件的个数y(个)与乙机器工作时间x(天)之间的函数关系式为y=kx+b．
①当0≤x≤10时，
把(0,9200)，(10,5200)代入，
得：b=920010k+b=5200，解得：k=−400b=9200，
∴y=−400x+9200(0≤x≤10)；
②当10
得：10k+b=520018k+b=3200，解得：k=−250b=7700，
∴y=−250x+7700(10
得：18k+b=320026k+b=0，解得：k=−400b=10400，
∴y=−400x+10400(18
当1600=−400x+10400时，x=22，
故当甲、乙两台机器共生产7600个零件时，乙机器加工了22天．
(1)设乙机器每天加工a个零件，根据甲、乙两台机器10天共生产(9200−5200)个零件列出方程，求出a得到乙机器每天加工250个零件；根据甲机器维修的时间即为乙机器单独工作的时间，结合图象根据工作时间=工作总量÷工作效率即可求出甲机器维修的天数；
(2)设未生产零件的个数y(个)与乙机器工作时间x(天)之间的函数关系式为y=kx+b.分三种情况：①当0≤x≤10时；②当10
24.【答案】【探究问题】证明：如图①，延长DE交射线CB于点F，
∵AD//BC，
∴∠ADF=∠F，∠A=∠ABF，
∵点E是边AB的中点，
∴AE=BE，
在△DAE和△FBE中，
∠ADE=∠BFE∠A=∠EBFAE=BE，
∴△DAE≌△FBE(AAS)，
∴DE=FE，
∵CE⊥DF，
∴CD=CF，
∴∠CDE=∠F，
∴∠ADE=∠CDE，
∴DE平分∠ADC；
【应用】解：在长方形ABCD中，AB=DC，∠D=∠B=90°，
∵点B恰好落在边CD的中点E处，
∴DE=CE，
设DE=CE=a，
由翻折可知：AB=AE=2a，
∴sin∠DAE=DEAE=12，
∴∠DAE=30°，
∴∠BAE=90°−30°=60°，
由翻折可知：∠BAF=∠EAF=30°，
∴∠AFB=90°−30°=60°，
∴∠AFB的度数为60°；
【拓展】解：如图③，连接BH，EG，
在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=∠D=90°，
∵E为边AD的中点，
∴AE=DE=2，
∵将△ABE沿直线BE折叠，点A落在正方形ABCD内部的点F处，
∵AB=BF=4，AE=EF=2，∠BFE=∠A=90°，
∴∠BFH=∠C=90°，DE=FE=2，BC=BF=4，
∴Rt△DEG≌Rt△FEG(HL)，Rt△BCH≌Rt△BFH(HL)，
∴DG=FG，CH=FH，
设FG=DG=x，FH=CH=a，
则EH=EF+FH=2+a，GH=CD−DG−CH=4−x−a，
∴DH=CD−CH=4−a，
在Rt△EDH中，根据勾股定理得：
ED2+DH2=EH2，
∴22+(4−a)2=(2+a)2，
∴a=43，
在Rt△FGH中，根据勾股定理得：
FG2+FH2=GH2，
∴x2+a2=(4−x−a)2，
∴x2+(43)2=(4−x−43)2，
∴x=1，
∴FG的值为1．
【解析】【探究问题】如图①，延长DE交射线CB于点F，证明△DAE≌△FBE(AAS)，可得DE=FE，然后利用等腰三角形的性质即可解决问题；
【应用】设DE=CE=a，由翻折可得AB=AE=2a，所以sin∠DAE=DEAE=12，得∠DAE=30°，根据直角三角形两个锐角互余可以解决问题；
【拓展】如图③，连接BH，EG，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt△DEG≌Rt△FEG(HL)，Rt△BCH≌Rt△BFH(HL)，可得DG=FG，CH=FH，设FG=DG=x，FH=CH=a，则EH=EF+FH=2+a，GH=CD−DG−CH=4−x−a，可得DH=CD−CH=4−a，然后利用勾股定理即可解决问题．
本题属于四边形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，翻折变换，锐角三角函数，勾股定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．
25.【答案】解：(1)如图1中，当0
在Rt△ABC中，AC= AB2−BC2= 52−42=3，
∵sinB=PQPB=ACAB，
∴PQ5t=35，
∴PQ=3t．
如图2中，当45
∵sinA=PQAP=BCAB，
∴PQ7−5t=45，
∴PQ=45(7−5t)=−4t+285，
综上所述，PQ=3t(0
(2)如图1中，当PC=PQ时，四边形AQPC是轴对称图形，
此时4−5t=3t，
解得t=12．
如图2中，当PQ=CP时，四边形BCPQ是轴对称图形，
此时，5t−4=−4t+285，
解得t=1615，
综上所述，当t的值为12或1615时，线段PQ将△ABC分成的两部分图形中存在轴对称图形；
(3)如图1中，当0
(4)如图3中，当CM的垂直平分线平行AB时，过点M作MO⊥PQ于点O，交CB于点N，此时MN⊥CM．
∵MQ=PM，MO⊥PQ，
∴OQ=OP=OM=32t，
∵ON//BQ，QO=OP，
∴BN=PN=52t，
∴ON=12BQ=2t，
∴MN=OM+OM=72t，
∵∠CNM=∠B，
∴cos∠CNM=cosB，
∴45=72t4−52t，
解得t=3255，
如图4中，当点M落在AC上时，也满足条件，过点Q作QJ⊥AC于点J．
∵∠QJM=∠C=∠QMP=90°，
∴∠QMJ+∠PMC=90°，∠PMC+∠MPC=90°，
∴∠QMJ=∠MPC，
∵MQ=MP，
∴△QJM≌△MCP(AAS)，
∴QJ=CM，PC=JM，
∵AQ=5−4t，QJ=CM=45(5−4t)，AJ=35(5−4t)，PC=JM=4−5t，
∵AC=3，
∴35(5−4t)+4−5t+45(5−4t)=3，
解得t=4053，
当点P在AC上时，不存在满足条件的t的值，
综上所述，满足条件的t的值为3255或4053．
【解析】(1)分两种情形：如图1中，当0
(3)分两种情形：如图1中，当0
本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
26.【答案】解：(1)将A(−1,0)，B(3,0)代入y=−x2+bx+c得：−1−b+c=0−9+3b+c=0，
解得：b=2c=3，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3．
∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1；
(2)当x=0时，y=−1×02+2×0+3=3，
∴点C的坐标为(0,3)，
∴OC=3．
设点E的坐标为(m,−m2+2m+3)，则点F的坐标为(m+6,−m2+2m+3)，
∴−(m+6)2+2(m+6)+3=−m2+2m+3，
解得：m=−2，
∴点E的坐标为(−2,−5)；
(3)由(1)可知：抛物线的顶点坐标为(1,4)．
设直线EF的解析式为y=n，则点P的坐标为(1,2n−4)，
根据题意得：|2n−4|=1，
解得：n=32或n=52．
当n=32时，−x2+2x+3=32，
解得：x1=2− 102，x2=2+ 102，
∴此时EF=x2−x1=2+ 102−2− 102= 10；
当n=52时，−x2+2x+3=52，
解得：x1=2− 62，x2=2+ 62，
∴此时EF=x2−x1=2+ 62−2− 62= 6．
∴线段EF的长为 10或 6；
(4)设点D的坐标为(0,a)，过点B′作B′M⊥y轴于点M，如图所示．
分两种情况考虑：
当点D在y轴正半轴时，∵∠BDO+∠B′DM=90°，∠BDO+∠DBO=90°，
∴∠B′DM=∠DBO．
在△B′DM和△DBO中，
∠B′MD=90°=∠DOB∠B′DM=∠DBOB′D=DB，
∴△B′DM≌△DBO(AAS)，
∴B′M=DO，DM=BO=3，
∴点B′的坐标为(−a,a−3)，
∴a−3=−(−a)2+2(−a)+3，
整理得：a2+3a−6=0，
解得：a1=−3− 332(不符合题意，舍去)，a2=−3+ 332，
∴点D的坐标为(0,−3+ 332)；
当点D在y轴负半轴时，同理可证出：△B′DM≌△DBO(AAS)，
∴B′M=DO，DM=BO=3，
∴点B′的坐标为(−a,a−3)，
∴a−3=−(−a)2+2(−a)+3，
整理得：a2+3a−6=0，
解得：a1=−3− 332，a2=−3+ 332(不符合题意，舍去)，
∴点D的坐标为(0,−3− 332).
综上所述，点D的坐标为(0,−3+ 332)或(0,−3− 332).
【解析】(1)由点A，B的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式，再将抛物线的解析式转化为顶点式，进而可得出抛物线的对称轴为直线x=1；
(2)代入x=0，求出y值，进而可得出点C的坐标及OC的长，结合EF=2OC，可设点E的坐标为(m,−m2+2m+3)，则点F的坐标为(m+6,−m2+2m+3)，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的方程，解之即可得出m的值，再将其代入点E的坐标中即可求出结论；
(3)由(1)可知：抛物线的顶点坐标为(1,4).设直线EF的解析式为y=n，则点P的坐标为(1,2n−4)，由点P到x轴的距离等于1，可得出关于n的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出n的值，将y=n代入抛物线解析式中可求出点E，F的横坐标，作差后即可得出EF的长；
(4)设点D的坐标为(0,a)，过点B′作B′M⊥y轴于点M，分点D在y轴正半轴及点D在y轴负半轴两种情况考虑，易证△B′DM≌△DBO(AAS)，利用全等三角形的性质可得出B′M=DO，DM=BO=3，进而可得出点B′的坐标为(−a,a−3)，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出a值，取其符合题意的值即可得出点D的坐标．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、解含绝对值符号的一元一次方程以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：(1)根据给定的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)根据EF=2OC，用点E的横坐标表示出点F的横坐标；(3)由点P到x轴的距离，找出关于n的含绝对值符号的一元一次方程；(4)构造全等三角形，利用二次函数图象上点的坐标特征，找出关于a的一元二次方程．
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