2024届高考数学一轮复习课时质量评价25含答案

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课时质量评价(二十五)
A组　全考点巩固练
1．A　解析：sin 20°sin 10°－cos 20°cos 10°＝－(cos 20°·cos 10°－sin 20°sin 10°)＝－cos (20°＋10°)＝－cos 30°＝－32.
2．C　解析：tan 67.5°－1tan67.5°＝sin67.5°cos67.5°-cos67.5°sin67.5°＝sin267.5°-cos267.5°sin67.5°cos67.5°=-cos135°12sin135°＝2.
3．AC　解析：因为sin α2＝33，α∈(0，π)，所以α2∈0，π2，cos α2＝1-sin2α2＝63.则cosα＝1－2sin2α2＝1－2×332＝13，故A正确；sinα＝2sin α2cos α2＝2×33×63＝223，故B错误；
sin α2+π4＝sin α2cos π4＋cos α2sin π4＝33×22+63×22＝6+236，故C正确；
sin α2-π4＝sin α2cos π4－cos α2sin π4＝33×22-63×22＝6-236，故D错误．
4．AD　解析：对于A，sin π12sin 5π12＝sin π12cos π12＝12sin π6＝14，故A正确；对于B，13-23cos215°＝－13(2cos215°－1)＝－13cos30°＝－36，故B错误；
对于C，原式＝cos50°+3sin50°sin50°cos50°＝232sin50°+12cos50°12sin100°＝2sin80°12sin100°＝2sin80°12sin80°＝4，故C错误；对于D，cos 36°·cos 72°＝2sin36°·cos36°·cos72°2sin36°＝2sin72°·cos72°4sin36°＝sin144°4sin36°＝14，故D正确．综上，选AD.
5．A　解析：由题意知：sin A＝－2cos B·cos C＝sin (B＋C)＝sin B·cos C＋cos B·sin C，在等式－2cos B·cos C＝sin B·cos C＋cos B·sin C两边同除以cos B·cos C得tan B＋tan C＝－2，又tan (B＋C)＝tanB+tanC1-tantanC＝－1＝－tan A，所以A＝π4.
6．A　解析：因为sin2α2+π6＝15，
所以1-cosα+π32＝15，
整理可得cos α+π3＝35.
因为α∈-π3，π6，可得α＋π3∈0，π2，
所以sin α+π3＝1-cos2α+π3＝45，
则sinα＝sin α+π3-π3＝sin α+π3cos π3－cos α+π3sin π3＝45×12-35×32＝4-3310.
7．1　－2　解析：因为函数f(x)＝A sin x－3cos x的一个零点为π3，所以32A－3×12＝0，所以A＝1，函数f(x)＝sin x－3cos x＝2sin x-π3，
所以fπ12＝2sin π12-π3＝2sin -π4＝－2sin π4＝－2.
8．53　2-156　解析：因为cos4α－sin4α＝23，所以cos2α－sin2α＝cos2α，且α∈0，π2，
则sin 2α＝1-cos22α＝53，
cos2α+π3＝cos 2αcos π3－sin 2αsin π3＝23×12-53×32＝2-156.
9．解：因为α∈0，π2，所以α－π4∈-π4，π4.
又sin α-π4＝35，所以cos α-π4＝1-sin2α-π4＝1-352＝45，
则sinα＝sin α-π4+π4＝sin α-π4cos π4＋cos α-π4sin π4＝35×22+45×22＝7210，
cos α＝cos α-π4+π4＝cos α-π4cos π4－sinα-π4sin π4＝45×22-35×22＝210，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×7210×210＝725.
B组　新高考培优练
10．AC　解析：f(x)＝2cos2x－cos2x+π2－1＝cos 2x＋sin 2x＝2sin 2x+π4，
由y＝2sin 2x的图象向左平移π8个单位得y＝2sin 2x+π4的图象，A正确．
由正弦函数的性质可知f(x)在0，π8上单调递增，在π8，π2上单调递减，B不符合题意．
令f(x)＝0得sin 2x+π4＝0，则x＝3π8，7π8，C符合题意．
f(x)在-π2，0上的最小值为－2，D不符合题意．
11．D　解析：由cos α-π6＝34，得sin 2α+π6＝sin 2α-π6+π2＝cos 2α-π6＝2cos2α-π6－1＝2×916－1＝18.
再由cosα-π6＝34，得2cos2α2-π12－1＝34，所以cos2α2-π12＝78，
所以sin2α+π6＋cos2α2-π12＝18+78＝1.
12．ACD　解析：设BC＝x，则AC＝x＋1，因为AB＝5，所以52＋x2＝(x＋1)2，所以x＝12，即水深为12尺，A正确；芦苇长为13尺，B错误；tan θ＝125，由tan θ＝2tanθ21-tan2θ2，解得tanθ2＝23(负值已舍去)，C正确；因为tan θ＝125，所以tan θ+π4＝1+tanθ1-tanθ＝－177，D正确.
13．A　解析：因为cos 36°sin 18°＝cos 36°cos 72°＝sin72°cos72°2sin36°＝sin144°4sin36°＝14，
所以cos 36°－sin 18°＝sin 54°－sin 18°＝sin (36°＋18°)－sin (36°－18°)＝2cos 36°sin 18°＝12，
令x＝cos 36°，可得sin 18°＝14x，
所以x－14x＝12，可得x＝5+14，可得cos 36°＝5+14，
sin242°cos212°3cos36°+1=sin42°cos12°23cos36°+1
＝14sin42°+12°+sin42°-12°23cos36°+1
＝14sin54°+sin30°23cos36°+1
＝14cos36°+1223cos36°+1＝145+14+1223×5+14+1
＝1327+35147+35＝18.
14．1　解析：f(x)＝sin2x＋3sinx cos x＝1-cos2x2=32sin 2x＝sin 2x-π6+12.
因为π4≤x≤π2，所以π3≤2x－π6≤5π6.
当2x－π6＝5π6时，x＝π2，
函数f(x)取到最小值f(x)min＝12+12＝1.
15．8　解析：因为1＝tan 45°＝tan (20°＋25°)＝tan20°+tan25°1-tan20°tan25°，
所以1－tan 20°tan 25°＝tan 20°＋tan 25°，
所以(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2，
同理(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2，
所以(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝8.
16．解：(1)因为θ∈0，π3且满足sin θ＋sinθ+π3＝435，
所以sin θ＋12sin θ＋32cos θ＝32sin θ＋32cos θ＝435，
所以3sin θ+π6＝435，
所以sin θ+π6＝45.
因为θ∈0，π3，所以θ＋π6∈π6，π2，
所以cos θ+π6＝35，
cos 2θ+π3＝1－2sin2θ+π6＝－725.
(2)f(x)＝sinx cos θ+π6＋cos x sin θ+π6＝35sin x＋45cos x＝sin (x＋φ)，tan φ＝43，
设t＝x＋φ，则t∈φ，φ+π2，要使得y＝sin t与y＝a有两个不同交点，则45≤a