高考数学一轮复习课时质量评价25三角恒等变换含答案

课时质量评价(二十五)

A组　全考点巩固练

1．sin 20°sin 10°－cos 20°cos 10°＝(　　)

A．－   B．－ 

C．   D．

A　解析：sin 20°sin 10°－cos 20°cos 10°＝－(cos 20°·cos 10°－sin 20°sin 10°)＝－cos(20°＋10°)＝－cos 30°＝－．

2．tan 67.5°－的值为(　　)

A．1   B．  C．2   D．4

C　解析：tan 67.5°－＝－＝＝＝2．

3．(2021·临汾模拟)已知sin＝，则cos的值为(　　)

A．   B． 

C．   D．

B　解析：因为sin＝，则cos＝cos＝1－2sin2＝1－2×＝．

4．若α∈，且cos2α＋cos＝，则tan 2α＝(　　)

A．3   B． 

C．2   D．－

D　解析：因为cos2α＋cos＝cos2α＋sin 2α＝＝＝，解得tan α＝3或tan α＝－(舍)，则tan 2α＝＝－．

5．在斜三角形ABC中，sin A＝－cos B·cos C，且tan B·tan C＝1－，则角A的值为(　　)

A．   B． 

C．   D．

A　解析：由题意知：sin A＝－cos B·cos C＝sin(B＋C)＝sin B·cos C＋cos B·sin C，在等式－cos B·cos C＝sin B·cos C＋cos B·sin C两边同除以cos B·cos C得tan B＋tan C＝－，又tan(B＋C)＝＝－1＝－tan A，所以A＝．

6．(2022·烟台质检)已知α∈，sin2＝，则sin α＝(　　)

A．   B．

C．   D．

A　解析：因为sin2＝，

所以＝，整理可得cos＝．

因为α∈，可得α＋∈，

所以sin＝＝，

则sin α＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝．

7．已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为________．

－　解析：因为sin α＝＋cos α，即sin α－cos α＝，

所以＝＝＝－．

8．已知cos4α－sin4α＝，且α∈，则sin 2α＝______，cos＝________．

　　解析：因为cos4α－sin4α＝，所以cos2α－sin2α＝cos 2α，且α∈，

则sin 2α＝＝，

cos＝cos 2αcos－sin 2αsin＝×－×＝．

9．已知α∈，若sin＝，求sin 2α，cos α．

解：因为α∈，所以α－∈．

又sin＝，所以cos＝＝＝，

则sin α＝sin＝sincos＋cossin＝×＋×＝，

cos α＝cos＝coscos－sinsin＝×－×＝，

所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝．

10．(2021·浙江)设函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)．

(1)求函数y＝的最小正周期；

(2)求函数y＝f(x)f 在上的最大值．

解：函数f(x)＝sin x＋cos x＝sin．

(1)函数y＝＝＝2cos2＝1＋cos＝1＋cos＝1－sin 2x，则最小正周期为T＝＝π．

(2)函数y＝f(x)·f ＝sin ·sin＝(sin x＋cos x)sin x＝sin2x＋sin xcos x＝＝sin＋．

因为x∈，所以2x－∈．

所以当2x－＝，即x＝时，f(x)max＝1＋．

B组　新高考培优练

11．(多选题)关于函数f(x)＝2cos2x－cos－1的描述正确的是(　　)

A．其图象可由y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到

B．f(x)在上单调递增

C．f(x)在[0，π]上有2个零点

D．f(x)在上的最小值为－1

AC　解析：f(x)＝2cos2x－cos－1＝cos 2x＋sin 2x＝sin，

由y＝sin 2x的图象向左平移个单位得y＝sin的图象，A正确．

由正弦函数的性质可知f(x)在上单调递增，在上单调递减，B不符合题意．

令f(x)＝0得sin＝0，则x＝，，C符合题意．

f(x)在上的最小值为－，D不符合题意．

12．已知cos＝，则sin＋cos2的值为(　　)

A．　 　 B．　 　 C．　 　 D．1

D　解析：由cos＝，得sin＝sin＝cos＝2cos2－1＝2×－1＝．

再由cos＝，得2cos2－1＝，所以cos2＝，

所以sin＋cos2＝＋＝1．

13．(2021·河南模拟)如图所示的直角坐标系中，角α，角β的终边分别交单位圆于A，B两点．若点B的纵坐标为－，且满足S△AOB＝，则sin·＋的值为(　　)

A．－   B．－ 

C．   D．

C　解析：由题意可得sin β＝－，－<β<0，所以cos β＝＝．又S△OAB＝，可得×1×1×sin∠AOB＝，可得sin∠AOB＝，

所以∠AOB＝，即α－β＝，则α＝β＋．

所以sin＋＝sin α－(1－cos α)＋＝sin α＋cos α＝sin＝sin＝cos β＝．

14．(2021·广西一模)＝(　　)

A．   B． 

C．   D．

A　解析：因为cos 36°sin 18°＝cos 36°cos 72°＝＝＝，

所以cos 36°－sin 18°＝sin 54°－sin 18°＝sin(36°＋18°)－sin(36°－18°)＝2cos 36°sin 18°＝，

令x＝cos 36°，可得sin 18°＝，

所以x－＝，可得x＝，可得cos 36°＝，

＝

＝

＝

＝＝

＝＝．

15．(2022·宝鸡模拟)函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x在区间上的最小值是________．

1　解析：f(x)＝sin2x＋sin xcos x＝＋sin 2x＝sin＋．

因为≤x≤，所以≤2x－≤．

当2x－＝时，x＝，

函数f(x)取到最小值f(x)min＝＋＝1．

16．(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝________．

8　解析：因为1＝tan 45°＝tan(20°＋25°)＝，

所以1－tan 20°tan 25°＝tan 20°＋tan 25°，

所以(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2，

同理(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2，

所以(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝8．

17．已知θ∈且满足sin θ＋sin＝．

(1)求cos的值；

(2)已知函数f(x)＝sin xcos＋cos x·sin，若方程f(x)＝a在区间内有两个不同的解，求实数a的取值范围．

解：(1)因为θ∈且满足sin θ＋sin＝，

所以sin θ＋sin θ＋cos θ＝sin θ＋cos θ＝，

所以sin＝，

所以sin＝．

因为θ∈，所以θ＋∈，

所以cos＝，

cos＝1－2sin2＝－．

(2)f(x)＝sin xcos＋cos xsin＝sin x＋cos x＝sin(x＋φ)，tan φ＝，

设t＝x＋φ，则t∈，要使得y＝sin t与y＝a有两个不同交点，则≤a<1．

故a的范围为．