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    高中数学选必一专项04 椭圆小题 练习

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    这是一份高中数学选必一专项04 椭圆小题 练习,共7页。

    04 椭圆小题
    一、巩固基础知识
    1.若方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围是( )。
    A、
    B、
    C、
    D、
    【答案】A
    【解析】化为方程,焦点在轴上则,解得,故选A。
    2.已知是椭圆上一定点,、是椭圆的两个焦点,若,,则椭圆的离心率为( )。
    A、
    B、
    C、
    D、
    【答案】D
    【解析】由题意得为,令,则,,,
    则,,故选D。
    3.已知椭圆:()的右焦点为,过点的直线交于、两点,若的中点坐标为,则的方程为( )。
    A、
    B、
    C、
    D、
    【答案】A
    【解析】,又,则,解得,,故选A。
    4.焦点在轴上的椭圆的方程为(),则它的离心率的取值范围为( )。
    A、
    B、
    C、
    D、
    【答案】C
    【解析】,解得,
    ,则,故选C。
    5.已知、是椭圆上的两个焦点,是椭圆上一点,且,则的面积为 。
    【答案】
    【解析】。
    6.已知椭圆:()的左右焦点分别、,焦距为,若直线与椭圆的一个交点满足,则该椭圆的离心率为 。
    【答案】
    【解析】直线过点,且,∴,
    ∴,∴,∴,
    在中,,,
    ∴该椭圆的离心率。
    7.设是椭圆的长轴,点在椭圆上,且,若,,则椭圆的两个焦点之间的距离为 。
    【答案】
    【解析】设坐标原点,椭圆的方程为,作,
    则,,,,则坐标,
    则,,,,两个焦点之间的距离为。
    二、扩展思维视野
    8.已知椭圆的离心率,则实数的取值范围是( )。
    A、
    B、
    C、
    D、
    【答案】B
    【解析】原式变为,当时,解得,
    当时,解得,故选B。
    9.已知动点在椭圆:上,是椭圆的右焦点,若点满足且,则的最小值为( )。
    A、
    B、
    C、
    D、
    【答案】B
    【解析】由题意知点在以为圆心,为半径的圆上,为圆的切线,
    ∴当最小时切线长最小,
    由图知,当点为右顶点时最小,
    最小值为,此时,故选B。
    10.已知椭圆:(),为椭圆上一动点,为椭圆的左焦点,则线段的中点的轨迹是( )。
    A、圆
    B、椭圆
    C、双曲线
    D、抛物线
    【答案】B
    【解析】设椭圆的右焦点是,坐标原点为,由椭圆定义得,
    则,则点的轨迹是以、为焦点的椭圆,故选B。
    11.已知椭圆:的左、右焦点分别为、,点在该椭圆上,且,则点到轴的距离为( )。
    A、
    B、
    C、
    D、
    【答案】D
    【解析】得、,设,则,
    整理得,代入得,解得,
    故点到轴的距离为,故选D。
    12.若、为椭圆:()长轴的两个端点,垂直于轴的直线与椭圆交于点、,且,则椭圆的离心率为 。
    【答案】
    【解析】设、,,则,。
    13.椭圆:()的离心率为,若直线与椭圆的一个交点的横坐标为,则 。
    【答案】
    【解析】,将代入椭圆方程得,
    则,即点在直线上,∴。
    14.已知椭圆:()的离心率为,若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切,则椭圆的标准方程为 。
    【答案】
    【解析】圆方程为,与直线相切,则,又,则,
    故椭圆方程为。
    三、提升综合素质
    15.若、分别是椭圆的左、右焦点,是椭圆上的任意一点,且的内切圆的周长为,则满足条件的点的个数为( )。
    A、
    B、
    C、
    D、不确定
    【答案】A
    【解析】内切圆的半径,则,
    即,得,∴满足条件是短轴的个端点,故选A。
    16.已知、是椭圆:()长轴的两个端点,、是椭圆上关于轴对称的两点,直线、的斜率分别为、,若的最小值为,则椭圆的离心率为( )。
    A、
    B、
    C、
    D、
    【答案】D
    【解析】连接,则的斜率为,
    又由中点弦的推论公式可得,
    则,即,又,
    ∴则,设,则,∴,∴,故选D。
    17.如图所示,椭圆:()的左右焦点分别为、,上顶点为,离心率为,点为第一象限内椭圆上的一点,若,则直线的斜率为 。
    【答案】
    【解析】,即,设,则,
    设直线的斜率为(),则直线的方程为,即,
    又,则,
    即,则,
    解得(舍去)或(可取),
    又,则,解得,则。
    18.已知椭圆:(),点、分别是椭圆的左顶点和左焦点,点是⊙:上的动点,若是常数,则椭圆的离心率为 。
    【答案】
    【解析】设,,,,使得是常数,设,
    则有,即,
    比较两边,,故,
    即,即,
    ∴,解得或,又,则。

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