高中数学选必一专项02 空间向量与立体几何大题

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02 空间向量与立体几何大题
一、巩固基础知识
1．如图所示，已知空间四边形的各边和对角线的长都等于，点、分别是、的中点。
(1)求证：，；
(2)求的长；
(3)求异面直线与夹角的余弦值。



【解析】(1)由题意可知三棱锥为正四面体，
过做底面的垂线，垂足为，连接，则在上，
过做直线，分别交、于、两点，
则、、相互垂足，以为原点，为轴，为轴，为轴，建系，
则，，，，，
，，
则，，，
，
，∴，；
(2)；
(3)，，

，
从而异面直线与夹角的余弦值为。
2．如图所示，在三棱锥中，和所在平面互相垂直，且，， ，，、分别为、的中点。
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的正弦值。








【解析】(1)证明：由，，，则：，
∴，则，，
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面，又平面，故平面平面；
(2)解：由，点为的中点，知，
∵知，则，∴，则，
如图所示以点为坐标原点，以平面内与垂直的直线为轴，
以为轴，以为轴建立空间直角坐标系，
则、、、、、，
∴，，平面一个法向量为，
设平面的法向量为，由得，
设，得一个法向量，
设二面角的平面角为，
则，
∴，则二面角的正弦值为。
3．如图所示，在三棱柱中，底面为正三角形，在底面上的射影是棱的中点，于点。
(1)证明平面；
(2)若，求与平面所成角的正弦值。






【解析】(1)证明：连接，∵为正三角形，为中点，∴，
∵，，∴平面，∴，
又，，∴，又，
∴平面；
(2)解：由(1)可知，，，，
故分别以、、为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则即，设，则、，则，
设与平面所成角为，
则，
∴与平面所成角的正弦值为。
4．直三棱柱，，，，，点在线段上。
(1)若平面，确定点的位置并证明；
(2)当时，求二面角的余弦值。





【解析】(1)当是中点时，平面，证明如下：
连接，交于，连接，
∵三棱柱是直三棱柱，∴侧面为矩形，为的中位线，
∴，∵平面，平面，∴平面；
(2)由，，，得，则，
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、，设(，)，
∵点在线段上，且，即，
∴，∴，，∴，，
∴平面的法向量为，
设平面的法向量为，
由得：，设，则，，，，
∴，
设二面角的大小为，经观察为锐角，
∴二面角的余弦值为。
二、扩展思维视野
5．如图，在四棱锥中，已知是平行四边形，，，，。
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值。







【解析】(1)证明：设，，连接，
则∵，且，∴四边形为菱形，
∴，且，，，
又∵，，∴是等腰，
∴，，，
在中，，，，有，
∴，即，又，∴平面；
(2)以为坐标原点，如图建系，则，，，，，
则，，，，
设平面的法向量为，
则，令，则、，则，
设平面的法向量为，
则，令，则、，则，
∴，
设二面角的平面角为，经观察为钝角，则。
6．如图所示，在四棱锥中，，，，为棱的中点，异面直线与所成的角为。
(1)在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由；
(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值。








【解析】(1)由题意可知，在梯形中，与不平行，
如图，延长、，相交于点(平面)，点即为所求的一个点，
理由如下：由已知，知，且，∴四边形是平行四边形，∴，
又平面，平面，∴平面；
(2)如图，由已知，，，，∴平面，于是，
是二面角的平面角，∴，又，∴平面，
设，则在中，，作平面，
以为原点，以，的方向分别为轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，∴，，，
设平面法向量为，由得，
设，得，
设直线与平面所成角为，
则，
∴直线与平面所成角的正弦值为。
三、提升综合素质
7．如图，已知矩形中，，为的中点，沿将折起，使。
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值。






【解析】(1)∵在矩形中，，为的中点，
∴、为等腰直角三角形，∴，即，
取中点，连接、，则，
在中，，在中，，
又，∴，∴，又，，
∴平面，而平面，∴平面平面；
(2)以为原点如图建系，则，，，，
∴，，，
设平面的法向量为，
由得，令，则、，
取，设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为。
8．如图1，点、分别是正的边、的中点，点是的中点，将沿折起，使得平面平面，得到四棱锥，如图2。
(1)试在四棱锥的棱上确定一点，使得平面；
(2)在(1)的条件下，求直线与平面所成角的正弦值。








【解析】(1)点在棱上，时，平面，
在棱上取一点，使，连接、，如图，
∵在中，、，∴，
由题意可知，，∴四边形为平行四边形，∴，
∵、，，，∴平面平面，
又平面，故平面；
(2)取棱的中点，连接、，则，，
∵平面平面，平面平面，
又∵平面，，∴平面，
以为坐标原点，、、为、、、轴如图建系，
设，则、、、，
∴，，
设平面的法向量为，
∴则，即，取，则、，∴，
设点，∵，，
∴，
∴，，
设直线与平面所成角的平面角为，
则，
∴直线与平面所成角的正弦值为。