初中数学1.3 证明优秀同步训练题

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浙教版数学 八上 第一章 1.3证明测试卷B卷
一． 选择题（共30分）
1.有四位同学一起研究一道数学题．如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB．则下列说法正确的是（　　）
甲说：“如果还知道∠CDG＝∠BFE，则能得到∠AGD＝∠ACB．”
乙说：“把甲的已知和结论倒过来，即由∠AGD＝∠ACB，可得到∠CDG＝∠BFE．”
丙说：“∠AGD一定大于∠BFE．” 丁说：“如果连接GF，则GF一定平行于AB．”

A．甲对乙错 B．乙错丁对 C．甲、乙对 D．乙、丙对
【思路点拨】根据平行线的判定得出CD∥EF，根据平行线的性质得出∠BFE＝∠BCD，求出∠CDG＝∠BCD，根据平行线的判定得出DG∥BC，即可判断甲；根据∠AGD＝∠ACB推出DG∥BC，根据平行线的性质得出∠CDG＝∠BCD，即可判断乙，根据已知条件判断丙和丁即可．
【答案】解：∵CD⊥AB，FE⊥AB，∴CD∥EF，∴∠BFE＝∠BCD，
∵∠CDG＝∠BFE，∴∠CDG＝∠BCD，∴DG∥BC，∴∠AGD＝∠ACB，∴甲正确；
∵CD⊥AB，FE⊥AB，∴CD∥EF，∴∠BFE＝∠BCD，
∵∠AGD＝∠ACB，∴DG∥BC，∴∠CDG＝∠BCD，∴∠CDG＝∠BFE，∴乙正确；
丙和丁的说法根据已知不能推出，∴丙错误，丁错误；故选：C．
2.最近网上一个烧脑问题的关注度很高（如图所示），通过仔细观察、分析图形，你认为打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水（　　）

A．3号杯子 B．5号杯子 C．6号杯子 D．7号杯子
解：∵1号杯左侧出口比右侧低，
∴水先从左边流出，进入3号杯，
∵3号杯左侧封闭，只有右侧流出，而右侧流入5号杯的出口端封闭，
∴水最终会先灌满3号杯，
故选：A．
3.小英、小亮、小明和小华四名同学参加了“学用杯”竞赛选拔赛，小亮和小华两个同学的得分和等于小明和小英的得分和；小英与小亮的得分和大于小明和小华的得分和，小华的得分超过小明与小亮的得分和．则这四位同学的得分由大到小的顺序是（　　）
A．小明，小亮，小华，小英 B．小华，小明，小亮，小英
C．小英，小华，小亮，小明 D．小亮，小英，小华，小明
解：由题干中小亮和小华两个同学的得分和等于小明和小英的得分和；
小英与小亮的得分和大于小明和小华的得分和，
可得小英的得分大于小华的，小亮的大于小明的；
又有小华的得分超过小明与小亮的得分和，
所以可得四位同学的得分由大到小的顺序是小英、小华、小亮、小明．
故选：C．

4.如图，在△ABC中，CD是角平分线，∠A＝30°，∠CDB＝65°，则∠B的度数为（　　）

A．65° B．70° C．80° D．85°
【思路点拨】已知∠A，欲求∠B，需求∠ACB．由CD平分∠ACB，得∠ACB＝2∠ACD．由∠CDB＝∠A+∠ACD，得∠ACD＝∠CDB﹣∠A＝35°，故∠ACB＝2∠ACD＝70°，进而求得∠B＝180°﹣（∠A+∠ACB）＝80°．
【答案】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACD．
∵∠CDB＝∠A+∠ACD，∴∠ACD＝∠CDB﹣∠A＝65°﹣30°＝35°．
∴∠ACB＝2∠ACD＝70°．∴∠B＝180°﹣（∠A+∠ACB）＝80°．故选：C．

5.一个三角形其中一个外角的补角等于与它不相邻的两个内角的差，则这个三角形一定是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【思路点拨】由题意得这个三角形的一个内角等于与它不相邻的两个内角的差，设这个内角为∠1，另外两个内角为∠2、∠3且∠1＝∠2﹣∠3．由180°﹣∠1＝∠2+∠3，得∠2＝90°．
【答案】解：由题意得：这个三角形的一个内角等于与它不相邻的两个内角的差．
设这个内角为∠1，另外两个内角为∠2、∠3且∠1＝∠2﹣∠3．
∵180°﹣∠1＝∠2+∠3，∴2∠2＝180°．∴∠2＝90°．
∴这个三角形的是直角三角形．故选：B．

6.一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中．若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n的最小值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
解：如图所示：设①的周长为：4x，③的周长为2y，④的周长为2b，即可得出①的边长以及③和④的邻边和，
设②的周长为：4a，则②的边长为a，可得③和④中都有一条边为a，
则③和④的另一条边长分别为：y﹣a，b﹣a，
故大矩形的边长分别为：b﹣a+x+a＝b+x，y﹣a+x+a＝y+x，
故大矩形的面积为：（b+x）（y+x），其中b，x，y都为已知数，
故n的最小值是3．
故选：A．


7.一周7天可以制作出每年的“星期几密码”．现已知2035年的“星期几密码”是“033614625035”，这组密码中从左到右的12个数字依次与2035年的1到12月对应，我们可以用这组密码算出2035年某天是星期几．如2035年2月8日，其中2月对应密码中的第二个数字“3”，将数字3加上日期8，其和为11，再把11除以7，得余数4，则该天为星期四（余数几则对应星期几，特别地，余数0则对应星期天）．
利用此密码算出2035年的世界环境日月5日）是　　
A．星期一 B．星期二 C．星期四 D．星期六
解：依题意得：6月5日对应第六个数字4，
将数字4加上日期5，和为9，
，
故2035年的世界环境日月5日）是星期二．
故选：．

8.如果将一副三角板按如图的方式叠放，则∠1的度数为（　　）

A．105° B．120° C．75° D．45°
【答案】A
【解析】如图，

∵∠ABD=90°，∠ABC=45°，∠D=60°，
∴∠CDB=∠ABD-∠ABC=90°-45°=45°，
∵∠1=∠D+∠CBD，
∴∠1=60°+45°=105°.
故答案为：A
9.如图，∠BCD是△ABC的一个外角，E是边AB上一点，下列结论错误的是（　　）

A．∠BCD>∠A B．∠BCD>∠1
C．∠2>∠3 D．∠BCD=∠A+∠B
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：A、∠BCD是△ABC的一个外角，则∠BCD＞∠A，不符合题意．
B、∠BCD是△ABC的一个外角，则∠1是△BEC的一个外角，∠BCD与∠1无法比较大小，符合题意．
C、∠2是△AEC的一个外角，则∠2＞∠3，不符合题意．
D、∠BCD是△ABC的一个外角，则∠BCD＝∠A＋∠B，不符合题意．
故答案为：B．
10.当三角形中一个内角β是另外一个内角α的时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为54°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为（　　）
A．108°或27° B．108°或54° C．27°或54°或108° D．54°或84°或108°
【思路点拨】分54°角是α、β和既不是α也不是β三种情况，根据友好三角形的定义以及三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【答案】解：①54°角是α，则友好角度数为54°；
②54°角是β，则 α＝β＝54°，所以，友好角α＝108°；
③54°角既不是α也不是β，则α+β+54°＝180°，
所以，α+α+54°＝180°，解得α＝84°，
综上所述，“友好角α”的度数为54°或84°或108°．故选：D．
二． 填空题（共24分）
11.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC．CD是△ABC外角的角平分线，若∠A＝50°，则∠D＝　 　．

【思路点拨】根据三角形的外角性质得到∠A＝∠ACE﹣∠ABC，∠D＝∠DCE﹣∠DBC，根据角平分线的定义计算即可．
【答案】解：∵∠ACE是△ABC的一个外角，∴∠A＝∠ACE﹣∠ABC，同理：∠D＝∠DCE﹣∠DBC，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，∴∠DBE＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，
∴∠D＝（∠ACE﹣∠ABC）＝∠A＝×50°＝25°，故答案为：25°．


12.“体育节”中，初一年级四个班进行了足球单循环比赛，每两班赛一场，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．比赛结束后，一班、二班、三班、四班分别获得第一、二、三、四名，各班的总得分恰好是四个连续奇数，那么与二班踢平的班是 　 　．
解：∵一班、二班、三班、四班四个班分别获得第一、二、三、四名，各班的总得分恰好是四个连续奇数，
∴一班得分为7分，2胜1平，二班得分5分，1胜2平，三班得分3分，1胜0平，四班得分1分，0胜1平，
∵一班、二班都没有输球，
∴一班一定与二班平，
∵三班得分3分，1胜0平，二班得分5分，1胜2平，
∴与二班踢平的班是一班与四班．
故答案为：一班与四班．
13.如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝∠ADB；③∠ADC+∠ABD＝90°；④∠ADB＝45°﹣∠CDB，其中正确的结论有　 　．

【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠EAC＝∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【解析】①∵AD平分∠EAC，∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠ABC＝∠ACB，∴∠EAD＝∠ABC，∴AD∥BC，故①正确；
②∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，∴∠ACB＝2∠ADB，故②错误；
③在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，∴∠ACD＝∠DCF，
∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB
∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，
∴∠ADC+∠ABD＝90°，故③正确；
④∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，
∵AD∥BC，∴∠DCF＝∠ADC，∵∠ADC+∠ABD＝90°，
∵∠DCF＝90°∠ABC＝∠DBC+∠BDC，
∴∠BDC＝90°﹣2∠DBC，∴∠DBC＝45°﹣∠BDC，故④正确；故答案是：①③④．

14.如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形“．若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝20°，则∠B＝　　．
【分析】根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题．
【解析】∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝20°，
∴2∠B+∠A＝90°或2∠A+∠B＝90°，
解得，∠B＝35°或50，故答案为：35°或50°．
15.如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B＝40°，∠DAE＝55°，则∠ACB的度数是 　 　．

【思路点拨】由角平分线的定义可求解∠EAC，利用三角形外角的性质可求解∠ACB．
【答案】解：∵AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠DAE＝55°，∴∠EAC＝2∠DAE＝110°，
∵∠EAC＝∠B+∠ACB，∠B＝40°，∴∠ACB＝110°﹣40°＝70°，故答案为70°．
16.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在射线BC上，EF⊥AD于F，∠B=40°，∠ACE=72°，则∠E的度数为　 　.

【答案】34°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠B=40°，∠ACE=72°，
∴∠BAC=∠ACE−∠B=32°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC=16°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=40°+16°=56°，
在Rt△DFE中，∠E=90°−∠ADC=34°，
故答案为：34°.

三，解答题（共66分）
17.（8分）．有红、黄、蓝三个箱子，一个苹果放入其中某个箱子内，并且（1）红箱子盖上写着：“苹果在这个箱子里”（2）黄箱子盖上写着：“苹果不在这个箱子里”（3）蓝箱子盖上写着：“苹果不在红箱子里”已知（1）、（2）、（3）中只有一句是真的，问苹果在哪个箱子里？
解：若苹果在红箱子里⇒（1）（2）正确（3）错误
若苹果在黄箱子里⇒（1）（2）错误（3）正确
若苹果在蓝箱子里⇒（1）错（2）（3）正确
故苹果在黄箱子里．

18.（8分）桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转张为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“”、“ ”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从变化为．
（1）当时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或，则最少　7　次操作后所有纸牌全部正面向上；
（2）当时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是　　，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由；
（3）若要使多次操作后所有纸牌全部正面向上，写出的所有可能的值．
解：（1）总变化量：，
次数（至少），
故答案为：7；
（2）①两张由反到正，变化：，
②两张由正到反，变化：，
③一正一反变一反一正，变化，
不能全正，
总变化量仍为14，无法由4，，0组成，
故不能所有纸牌全正；
故答案为：14；
（3）由题可知：．
①当时，由（1）可知能够做到，
②当时，由（2）可知无法做到，
③当时，总和变化量为6，，2，，
，
故可以，
④当时，总和变化量为8，，4，，0，
14无法由8，，4，，0组成，
故不可以，
⑤当时，总和变化量为10，，6，，2，，
，
故可以，
⑥当时，总和变化量为12，，8，，4，，0，
无法组合，
故不可以，
⑦当时，一次全翻完，可以，
故，3，5，7时，可以．

19.(10分 )已知：如图，直线BD分别交射线AE、CF于点B、D，连接A、D和B、C，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，AD平分∠BDF，求证：

（1）AD∥BC；
（2）BC平分∠DBE．
【答案】（1）证明：∵∠2+∠BDC＝180°，∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝∠BDC，
∴AB∥CF，
∴∠C＝∠EBC，
∵∠A＝∠C，
∴∠A＝∠EBC，
∴AD∥BC；
（2）证明：∵AD平分∠BDF，
∴∠FDA＝∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠FDA＝∠C，∠ADB＝∠DBC，
∵∠C＝∠EBC，
∴∠EBC＝∠DBC，
∴BC平分∠DBE．

20.（10分）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝40°，求∠E的度数；（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．

【分析】（1）根据三角形外角性质求出∠ACD，即可求出∠ACE，求出∠CAE，根据三角形内角和求出∠E即可；（2）利用三角形的外角的性质即可解决问题．
【解析】（1）∵∠ACB＝40°，∴∠ACD＝180°﹣40＝140°，
∵∠B＝30°，∴∠EAC＝∠B+∠ACB＝70°，
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACE＝70°，∴∠E＝180°﹣70°﹣70°＝40°；
（2）∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE，
∵∠DCE＝∠B+∠E，∴∠ACE＝∠B+∠E，
∵∠BAC＝∠ACE+∠E，∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E．




21.（10分）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°）；
（1）①若∠DCE＝42°，求∠ACB的度数；②若∠ACB＝150°，求∠DCE的度数；
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
（3）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）①先根据直角三角板的性质求出∠ACE及∠DCB的度数，进而可得出∠ACB的度数；
②由∠ACB＝150°，∠ACD＝90°，可得出∠DCB的度数，进而得出∠DCE的度数；
（2）根据①中的结论可提出猜想，再由∠ACB＝∠ACD+∠DCB，∠ACB+∠DCE＝90°+∠DCB+∠DCE可得出结论；（3）分∠ACE＝30°，45°，120°，135°及165°进行解答．
【解析】（1）①∵∠ECB＝90°，∠DCE＝42°，
∴∠DCB＝90°﹣42°＝48°，∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+48°＝138°；
②∵∠ACB＝150°，∠ACD＝90°，
∴∠DCB＝150°﹣90°＝60°，∴∠DCE＝90°﹣60°＝30°；
（2）∠ACB+∠DCE＝180°；理由如下：
∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+∠DCB，
∴∠ACB+∠DCE＝90°+∠DCB+∠DCE＝90°+90°＝180°；
（3）存在，当∠ACE＝30°时，AD∥BC，理由如下，如图1所示：

∵∠ACE＝∠DCB＝30°，∠D＝30°，∴∠DCB＝∠D，∴AD∥BC；
当∠ACE＝∠E＝45°时，AC∥BE，理由如下，如图2所示：
∵∠ACE＝∠DCB＝45°，∠B＝45°，∴BE⊥CD，又∵AC⊥CD，∴AC∥BE；
当∠ACE＝120°时，AD∥CE，理由如下，如图3所示：
∵∠ACE＝120°，∴∠DCE＝120°﹣90°＝30°，
又∵∠D＝30°，∴∠DCE＝∠D，∴AD∥CE；
当∠ACE＝135°时，BE∥CD，理由如下，如图4所示：

∵∠ACE＝135°，∴∠DCE＝135°﹣90°＝45°，
∵∠E＝45°，∴∠DCE＝∠E，∴BE∥CD；
当∠ACE＝165°时，BE∥AD．理由如下：
延长AC交BE于F，如图5所示：
∵∠ACE＝165°，∴∠ECF＝15°，
∵∠E＝45°，∴∠CFB＝∠ECF+∠E＝60°，
∵∠A＝60°，∴∠A＝∠CFB，∴BE∥AD