第1章 有理数的相关概念 知识点精讲精练 人教版七年级数学上册课件

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第一章有理数的相关概念正数、负数与“0”及用正负数表示具有相反意义的量.知识点一1. 定义负数：在正数前加上符号“－”（负）的数叫做负数.正数：大于 0 的数叫做正数.0 既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界点.0 既表示没有，也表示有，它常用来表示某些量的基准数.2. 对“ 0 ”的认识 0 不是最小的数，它小于任何正数，大于所有负数.3. 用正负数表示具有相反意义的量 在生活中存在各种各样的量，其中有一种量，它们的属性相同（即同类量），但表示的意义却相反，如收入50元与支出30元、前进10米与后退20米等，我们把这样的量叫做具有相反意义的量. 一般来说，我们可以用正负数表示一对具有相反意义的量. 3. 用正负数表示具有相反意义的量（2）具有相反意义的量必须是 同类量 .相反意义的量的“两要素”：（1）具有相反意义的量是 成对出现 的.注：相反意义的量只要求意义相反，不要求数量相等，所以与一个量具有相反意义的量不止一个. 如：上升20米与下降20米是具有相反意义的量，而上升20米与下降50米也是具有相反意义的量. 为了区别具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，那么与之具有相反意义的量用负数表示.如：零上5℃规定为 + 5℃，那么零下 5℃就记作 - 5℃；前进20米 规定为 + 20米，那么后退20米记作 - 20米.【例1】选择题：（1）下列说法正确的个数是（ ） ①加正号的数是正数，加负号的数是负数； ②任意一个正数，前面加上“－”号，就是一个负数；③0是最小的正数；④大于零的数是正数；⑤字母a既是正数，又是负数. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3如 ＋（- 5）是负数0既不是正数，也不是负数字母a可以表示正数，也可以表示负数，但不能既是正数又是负数√√C×××【例1】选择题：（2）有四包真空包装的火腿肠，每包以标准质量450 g为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数. 下面的数据是记录结果，其中与标准质量最接近的是（ ）A. ＋2 B. －3 C. ＋4 D. －1－1与标准质量相差1g，最接近标准质量D【巩固】1. 判断下列说法的对错： （1）非负数是指正数. （ ）（2）负数是非正数. （ ）（3）带正号的数是正数，带负号的数是负数. （ ）××√【巩固】2. 下列关于“0”的说法中，正确的有（ ）①0是正数与负数的分界；②0℃是一个确定的温度；③0为正数；④0是自然数；⑤0既不是正数也不是负数；⑥某地海拔为0 m表示没有海拔. A.3个 B. 4个 C. 5个 D. 2个B【巩固】3. 长江某水文站的警戒水位为12 m，如果超过警戒水位1 m，记作＋1 m，那么低于警戒水位0.60 m，记作 m. 观察某年8月1日至8月5日该水文站的水位记录表并回答问题.（1）哪一天的水位最高？最高水位是多少？3. 长江某水文站的警戒水位为12 m，如果超过警戒水位1 m，记作＋1 m，那么低于警戒水位0.60 m，记作 m. 观察某年8月1日至8月5日该水文站的水位记录表并回答问题.【巩固】（2）哪一天的水位最低？最低水位是多少？解：－0.60 ∵ 8月1日的水位为12－0.80＝11.20（m）， 8月2日的水位为12＋0＝12（m）， 8月3日的水位为12＋0.38＝12.38（m）， 8月4日的水位为12＋0.50＝12.50（m）， 8月5日的水位为12＋0.96＝12.96（m）. ∴（1）8月5日的水位最高，为12.96 m； （2）8月1日的水位最高，为11.20 m；（3）在这五天中，有三天的水位超过警戒水位. 【巩固】3. 长江某水文站的警戒水位为12 m，如果超过警戒水位1 m，记作＋1 m，那么低于警戒水位0.60 m，记作 m. 观察某年8月1日至8月5日该水文站的水位记录表并回答问题.（3）在这五天中，有多少天的水位超过警戒水位？1. 定义整数和分数统称为有理数. 注：分数包含所有能化成分数的数，如：百分数、小数、无限循环小数. 而无限不循环小数不能化成分数，所以不是有理数，如 π.知识点二: 有理数概念、分类2. 分类 按定义分类 按符号分类 【例2】已知下列各数：7，－9.25， ，－301， ， ，0，π， ，＋6，320%，－200%，－5， . 把它们填入相应的横线上：整 数：；负分数：；；自然数：3.2－2整数包括正整数、负整数、07，－301,0，＋6，－200%，－5负分数和负小数正整数和07，0，＋6注：解决此类问题时要对各数逐一判断，做到不重、不漏、标准统一；且填写时要写题干中的原数. 【例2】已知下列各数：7，－9.25， ，－301， ， ，0，π， ，＋6，320%，－200%，－5， . 把它们填入相应的横线上：非 负 数：；非负有理数：；3.2－2正数和0正整数、正分数和0非 正 整 数：；负整数和0－301，0，－200% ，－5注：解决此类问题时要对各数逐一判断，做到不重、不漏、标准统一；且填写时要写题干中的原数. 【总结】1. 有理数包括整数和分数，其中有限小数和循环小数可以化成分数，所以是有理数；无限不循环小数不能化成分数，所以不是有理数，例如 π.2. 注意区分非负数和非负有理数所表示意义. 非负数是指所有的正数和0；非负有理数要满足两点：一是有理数，二是非负数，所以非负有理数即为正有理数和0.【巩固】1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 正有理数和负有理数统称为有理数 B. 非负整数就是指零、正整数和所有分数 C. 正整数和负整数统称为整数 D. 整数和分数统称为有理数 D【巩固】2. 下列各数中，哪些是有理数，哪些不是有理数？，，，0.121121112…，0.676767…，π，－π，0.4.解：有理数： ， ， ，0.676767…，0.4；不是有理数的有：0.121121112…，π，－π. （1）定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.单位长度正方向（2）三要素：原点、正方向、单位长度.注：一条数轴上的单位长度要一致，取向右为正方向.1. 数轴知识点三:数轴与相反数（3） 画法：一画，画直线；二取，取原点；三定，规定正方向；四标，选取单位长度标数.2. 相反数像 + 3和 - 3这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数. 一般地，a 和 - a 互为相反数. 特别地，0 的相反数是 0.（1）定义：（2）相反数的求法：①一个具体的数，只要改变这个数前面的符号，即可得到这个数的相反数.②一个字母或一个式子，只需在这个字母或这个式子的整体前面加上“－”号，就可以得到对应的相反数.3. 多重符号的化简方法（1） 由相反数的求法，由内向外逐步化简；（2） 由“－”的个数决定：如果“－”的个数为奇数， 那么结果为负数；如果“－”的个数为偶数，那么结果为正数. 简称“奇负偶正”.【例3】 下列说法：①数轴是一条线段；②数轴上的一个点只能表示一个数；③数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点；④数轴上的点所表示的数都是有理数；⑤任何数都不等于它的相反数；⑥符号相反的数互为相反数；⑦数轴上互为相反数的两个数对应的点到原点的距离相等；⑧a与－a互为相反数；⑨若有理数a，b互为相反数，则它们一定异号. 其中正确的有（ ）A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个【例3】 下列说法：①数轴是一条线段；②数轴上的一个点只能表示一个数；③数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点；④数轴上的点所表示的数都是有理数；⑤任何数都不等于它的相反数；数轴是一条直线×√“0”既不是正数，也不是负数×π是无理数，也能在数轴上表示×0的相反数是0×【例3】 下列说法：⑥符号相反的数互为相反数；⑦数轴上互为相反数的两个数对应的点到原点的距离相等；⑧a与－a互为相反数；⑨若有理数a，b互为相反数，则它们一定异号. 其中正确的有（ ）A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个5和－8，符号相反，但不是相反数×√√当a＝b＝0时，a、b也是互为相反数，但不是异号×A【巩固】1. 如图所示，在数轴上点A表示的数可能是（ ）A. 1.5 B. －1.5 C. －2.6 D. 2.6C【巩固】2. 已知a，b在数轴上对应点的位置如下图所示，在数轴上找到表示－a，－b的点，并比较a，b，－a，－b的大小. 解：如图所示： a＜－b＜b＜－a【巩固】3. 已知a与2b互为相反数，求3a＋6b＋3的值. 解：因为a与2b互为相反数，所以a＋2b＝0. 所以原式＝3（a＋2b）＋3＝3. 【巩固】4. 写出下列各式的相反数：（2）－2x＋y；（3）a＋3b. （1） ； （2）2x－y； （3）－a－3b. 【巩固】5. 化简下列各数：－0＝06. 如图所示，已知在纸面上有一个数轴：操作一：（1）折叠纸面，使表示1的点与表示－1的点重合，则表示－3的点与表示 的点重合. 【巩固】36. 如图所示，已知在纸面上有一个数轴：操作二：（2）折叠纸面，使表示－1的点与表示3的点重合， 回答以下问题： ①表示4的点与表示 的点重合； ②若数轴上A，B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且折叠后A，B两点重合，求A，B两点表示的数. （2）①－2；②A点表示的数是－3，B点表示的数是5. 1. 定义 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作∣a∣，读作“a的绝对值”.知识点四：绝对值绝对值具有非负性，即对于任意有理数 a，都有｜a｜≥ 0.一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0 .2. 性质【例4】填空：0.3一个正数的绝对值是它本身一个负数的绝对值是它的相反数330 的绝对值是 00【例4】填空：（2）绝对值小于4的整数有 ； 绝对值不大于5的非负整数有 .－3，－2，－1，0，1，2，30≤a≤5－4＜a＜40，1，2，3，4，5【例4】填空：（3）若∣x∣＝－x，则x 0. 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0.x可能是负数或0≤【巩固】1. 求下列各数的绝对值.∣∣＝∣－3.5∣＝3.5∣－（-1.9）∣＝1.9∣ ∣＝【巩固】2. 已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简： ∣b∣＋∣c－b∣－∣c－a∣. 解：因为b＜0，所以∣b∣＝－b. 因为c＜b，所以c－b＜0，所以∣c－b∣＝－（c－b）＝－c＋b. 因为a＞c，所以a－c＞0，所以∣c－a∣＝a－c. 因此∣b∣＋∣c－b∣－∣c－a∣＝（－b）＋（－c＋b）－（a－c）＝－b－c＋b－a＋c＝－a. 【例5】∣x－3∣＋∣y＋5∣＝0，求3x－∣y∣的值.解：由绝对值的非负性可知，∣x－3∣≥ 0，∣y＋5∣≥ 0，又∵∣x－3∣＋∣y＋5∣＝ 0，∴∣x－3∣＝∣y＋5∣＝ 0，∴ x＝3，y＝－5，∴ 3x－∣y∣＝3×3－∣－5∣＝4.几个非负数的和为 0，则每个非负数都为 0.【巩固】1. 下列各式中无论m为何值，一定是正数的是（ ） A. ∣m∣ B. ∣m＋1∣ C. ∣m∣＋1 D. －（－m）C【巩固】2. 若∣x＋2∣＋∣y＋3∣＝0，求2x2－y＋1的值. 解：因为∣x＋2∣≥0，∣y＋3∣≥0，且∣x＋3∣＋∣y＋3∣＝0，所以x＋2＝0，y＋3＝0，解得x＝－2，y＝－3. 所以2x2－y＋1＝2×（－2）2－（－3）＋1＝12.比较有理数大小的方法有两种：1. 利用数轴比较大小 .2. 利用数的性质比较大小 .知识点四:比较有理数的大小1. 用数轴比较有理数的大小的法则： 数学中规定：数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序. 即：右边的数总比左边的数大.负数 → 0 → 正数如：在数轴上找出两点a、b，a 在左边，b 在右边，所以 a < b.2. 数的性质比较有理数大小的法则：（1）正数大于零，零大于负数，正数大于负数；负数<0<正数（2）两个负数比较大小，绝对值大的反而小.如图所示，a、b 均为负数，且｜a｜<｜b｜，则 a > b.【例6】（1）把下列各数表示在数轴上，并用“＜”连接. 【例6】（2）比较下列各组数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小.①先分别求出两个负数的绝对值；②再比较两个绝对值的大小；③最后根据“绝对值大的反而小”进行判断.【例6】（2）比较下列各组数的大小：一正一负，正数永远大于负数.【例6】（2）比较下列各组数的大小：两个正数，直接比较.【例6】（2）比较下列各组数的大小：【巩固】1. 把下列各数用“＜”连接起来.－（＋2.63）＜ ＜ ＜ ＜0＜【巩固】2. 填“＞”或“＜”. ＞＜＜＜【例7】 一辆出租车从超市出发，向东走4千米到达小丽家，然后向西走2千米到达小华家，又向西走6千米到达小敏家，最后回到超市. （1）以超市为原点，规定向东为正方向，用1个单位长度表示1千米，你能在数轴上标出小丽家，小华家和小敏家的位置吗？解：（1）如图所示：【例7】 一辆出租车从超市出发，向东走4千米到达小丽家，然后向西走2千米到达小华家，又向西走6千米到达小敏家，最后回到超市. （2）出租车一共行驶了多少千米？又走了4千米把各数的绝对值相加即可！4＋2＋6＋4＝16（千米）答：出租车一共行驶了16千米. 【巩固】1．小明、小兵、小颖三人的家和学校在同一条东西走向的大街上，星期天老师到这三家进行家访，从学校出发先向东走250 m到小明家，后又向东走350 m到小兵家，再向西行800 m到小颖家，最后又回到学校. （1）以学校为原点，画出数轴并在数轴上分别表示出小明、小兵、小颖家的位置. （1）以向东为正方向，100 m为单位长度，可建立数轴，如下图. 【巩固】1．小明、小兵、小颖三人的家和学校在同一条东西走向的大街上，星期天老师到这三家进行家访，从学校出发先向东走250 m到小明家，后又向东走350 m到小兵家，再向西行800 m到小颖家，最后又回到学校. （2）小明家距离小颖家多远？小明家距离小颖家450 m. 【巩固】1．小明、小兵、小颖三人的家和学校在同一条东西走向的大街上，星期天老师到这三家进行家访，从学校出发先向东走250 m到小明家，后又向东走350 m到小兵家，再向西行800 m到小颖家，最后又回到学校. （3）这次家访，老师共行走了多少千米的路程？250＋350＋800＋200＝1600（m）＝1.6（km），所以这次家访，老师共行走了1.6 km的路程. 【巩固】2. 出租车司机小张某天的营运全是在东西走向的光明大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这一天的行程里程如下（单位：千米）＋15，－3，＋14，－11，＋10，－12，＋4，－15，＋16，－18. （1）在这10次营运中，哪一次的行车里程最远，行驶了多少千米？（1）经比较易知∣－18∣＝18最大，所以最后一次的行车里程最远，行驶了18千米. 【巩固】2. 出租车司机小张某天的营运全是在东西走向的光明大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这一天的行程里程如下（单位：千米）＋15，－3，＋14，－11，＋10，－12，＋4，－15，＋16，－18. （2）若汽车耗油量为0.11升/千米，这天共耗油多少升？（2）∣＋15∣＋∣－3∣＋∣＋14∣＋∣－11∣＋∣＋10∣＋∣－12∣＋∣＋4∣＋∣－15∣＋∣＋16∣＋∣－18∣＝15＋3＋14＋11＋10＋12＋4＋15＋16＋18＝118（千米），所以这天共耗油118×0.11＝12.98（升）. 课堂总结1. 正数、负数的定义正数：大于0的数叫做正数. 负数：在正数前加上符号“－”（负）的数叫做负数.2. 对“0”的认识0既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界点.0既表示没有，也表示有，它常用来表示某些量的基准数.0不是最小的数，它小于任何正数，大于所有负数.课堂总结3. 相反意义的量 在生活中存在各种各样的量，其中有一种量，它们的属性相同（即同类量），但表示的意义却相反，我们把这样的量叫做相反意义的量.4. 有理数（1）定义整数和分数统称为有理数. π不是有理数.课堂总结（2）分类按定义分类 按符号分类 课堂总结5. 数轴（1）定义： 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.（2）数轴的三要素： 原点、正方向、单位长度.课堂总结6. 相反数（1）定义： 只有符号不同的两个数叫做互为相反数. 一般地，a和－a互为相反数. 特别地，0的相反数是0.（2）相反数的求法①一个具体的数，只要改变这个数前面的符号，即可得到这个数的相反数.②一个字母或一个式子，只需在这个字母或这个式子的整体前面加上“－”号，就可以得到对应的相反数.课堂总结7. 多重符号的化简方法（1）由相反数的求法，由内向外逐步化简；（2）由“－”的个数决定：如果“－”的个数为奇数，那么结果为负数；如果“－”的个数为偶数，那么结果为正数. 简称“奇负偶正”.课堂总结8. 绝对值（1）定义一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作∣a∣，读作“a的绝对值”.（2）绝对值的性质一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.课堂总结9. 比较有理数的大小（1）用数轴比较有理数的大小的法则：数学中规定：数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序. 即：右边的数总比左边的数大.（2）数的性质比较有理数大小的法则：正数大于零，零大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小.