初中数学人教版八年级上册13.3.2 等边三角形课文ppt课件

这是一份初中数学人教版八年级上册13.3.2 等边三角形课文ppt课件，共28页。PPT课件主要包含了学习目标，新课导入，复习引入，三个角都相等，条对称轴，两个底角相等，且都是60º，两条边相等，三条边都相等，新知探究等内容，欢迎下载使用。

1.掌握含有30°角的直角三角形的性质.（重点）2.经历探索含有30°角的直角三角形性质的过程，并运用其进行有关的证明和计算.（难点）
每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合
底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合
三个角都相等的三角形是等边三角形
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
两个角相等的三角形是等腰三角形
两条边相等的三角形是等腰三角形
三条边都相等的三角形是等边三角形
动手操作 用直尺量一量含有30°角的直角三角板的最短直角边（也即是30°角所对的直角边）与斜边的长度，你有什么发现吗？
思考 如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起.你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
如图，△ADC是△ABC的轴对称图形，
因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°，
从而△ABD是一个等边三角形.
证明：在△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°, ∴∠B=60°．
如图，延长BC到点D，使BD=AB，连接AD，
则△ABD是等边三角形．又∵AC⊥BD,
证明：在BA上截取BE=BC，连接EC.
∵∠B= 60°，BE=BC.∴△BCE是等边三角形，∴∠BEC= 60°，BE=EC.∵∠A= 30°，∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°.∴AE=EC，∴AE=BE=BC，∴AB=AE+BE=2BC，
在Rt△ABC 中，∵∠C=90°，∠A=30°，　　
例1 如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BC,DE要多长？
解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC,∠A=30 °，
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.
例2 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°.（1）若CD=8cm，则BC的长度是多少？
解：（1）∵CD是斜边AB边上的高，∴∠BDC=90°.∵在Rt△BCD中，∠B=30°，CD=8cm，∴BC=2CD=16cm.
例2 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°.（2）若AD=3cm，则AB的长度是多少？
解：（2）在Rt△ABC中，∵∠B=30°，∴∠A=60°，∵CD是斜边AB边上的高，∴∠ADC=90°.∴∠ACD=30°.∵在Rt△ACD中，∠ACD=30°，AD=3cm，∴AC=2AD=6cm.∵在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=6cm，∴AB=2AC=12cm.
注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
例3 (2021•宣城模拟)如图，在△ABC中,∠ACB=90°，∠B=15°,DE垂直平分AB，交BC于点E,AE=6cm,则AC=( )A.6cm B.5cm C.4cm D.3cm
含30°角的直角三角形的性质是求线段长度和证明线段之间倍分关系的重要工具，解题时，一般先是寻找30°角所在的直角三角形，得到斜边与直角边的关系，当30°角不在一个直角三角形中时，可考虑作辅助线构造含30°角的直角三角形,如：作垂线得到含30°角的直角三角形，或作等腰三角形构造顶角的邻补角为60°.当三角形中含有15°，30°，60°，120°角时，也可通过添加辅助线，构造含30°角的直角三角形求解.
常见的模型有如下几种（图中所标的红色的角均为30°）：
含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
1.在直角三角形中，且该直角三角形中有一内角为30°
2.分清所求线段在哪个直角三角形中
1.如图,在△ABC中, AD是边BC的垂直平分线，∠B=60°,BD=2 ,那么AC的长度是( )A.1 B.2 C.3 D.4
2.如图,在△ABC中，∠C=60°, AD是BC边上的高,点E为AD的中点,连接BE并延长交AC于点F .若∠AFB=90°, EF=2，则BF长为( )A.4 B.6 C.8 D.10
3.(2021•乌苏市二模)如图,在等边△ABC中, D是AB的中点，DE⊥AC于点E,EF⊥BC于点F ,已知AB=8,则BF的长为( )A.3 B.4 C.5 D.6
4.如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA于点D，若PC＝3，则PD等于(　　)A．3 B．2 C.1.5 D．1
【解析】如图，过点P作PE⊥OB于点E.∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO＝15°，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝15°＋15°＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故选C.
6.如图，在△ABC中，AB=BC ,∠ABC=120°，过点B作BD⊥BC，交AC于点D，若AD=1 ,则CD的长度为　 ．
5.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,则BC= .
证明：∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°.∵D是BC的中点，∴AD⊥BC.∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°.∴AB=2AD.∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，∴AD=2AE.∴AB=4AE，∴BE=3AE.
7.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，求证：BE=3EA.
8.求证:有一个锐角是30°的直角三角形斜边上的高把斜边分成1:3的两条线段.
已知:如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°, CD⊥AB.求证:BD:AD=1:3.
证明:在Rt△ABC中,∠C=90°，∠A=30°，∴AB=2BC , ∠B=90-30°=60° ,∵CD⊥AB ,∴∠CDB=90° ,∴∠BCD=30° ,∴BC=2BD .∴AB=4BD,∴BD：AD=1：3.故有一个锐角是30°的直角三角形斜边上的高把斜边分成1：3的两条线段.
9.如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN//BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，求BC的长.
解：∵CM平分∠ACB，MN平分∠AMC,∴∠NCM=∠BCM，∠AMN=∠NMC.∵MN//BC，∴∠AMN=∠B，∠NMC=∠BCM.∴∠AMN=∠B=∠NMC=∠BCM=∠NCM. ∴NM=NC.∵∠ACB=∠NCM+∠BCM，∴∠ACB=2∠B.