2024年高考数学一轮复习第二章第四讲幂函数与二次函数课件

这是一份2024年高考数学一轮复习第二章第四讲幂函数与二次函数课件，共41页。PPT课件主要包含了Δ＜0”，答案C，答案A，A②④，B①④，C②③，D①③，答案B，图2-4-2，图2-4-3等内容，欢迎下载使用。

一般地，形如 y＝xα的函数叫做幂函数，其中 x 是自变量，α是常数.幂函数的特征：①自变量 x 处在幂底数的位置，幂指数α为常数；②xα的系数为 1；③只有一项.
2.常见的五种幂函数的图象和性质比较
【名师点睛】巧记幂函数 y＝xα的图象
五个幂函数在第一象限内的图象的大致情况可以归纳为“正抛负双，大竖小横”，即α＞0(α≠1)时的图象是抛物线型(α＞1 时的图象是竖直抛物线型，0＜α＜1 时的图象是横卧抛物线型)，α＜0 时的图象是双曲线型.Ｋ
3.二次函数的图象和性质
(1)注意二次项系数对函数性质的影响，经常分二次项系数大
于零与小于零两种情况讨论.(2)一元二次不等式恒成立的条件
①“ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a＞0且
②“ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a＜0且
考点一 幂函数的图象和性质1.(2022 年郑州市调研)若幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则
幂函数 y＝f(x)的大致图象是(
2.已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x (n∈Z)的图象关于 y 轴
对称，且在(0，＋∞)上单调递减，则 n 的值为(
解析：由于 f(x)为幂函数，故 n2＋2n－2＝1，解得 n＝1 或n＝－3，经检验，只有 n＝1 符合题意.故选 B.答案：B
A.aB.a【题后反思】幂函数的性质与图象特征的关系
(1)幂函数的形式是 y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此
只需一个条件即可确定其解析式.Ｋ
(2)判断幂函数 y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般
先将其化为根式，再判断.
(3)若幂函数 y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若在
(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.
考向 1 二次函数的图象通性通法：“三看”二次函数图象
[例 1]如图 2-4-1 所示是二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，图象过点 A(－3，0)，对称轴为直线 x＝－1.给出下列四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.
解析：结合题中图象可知该函数的图象与 x 轴交于两点，所以 b2－4ac＞0，即 b2＞4ac，①正确；又对称轴为直线 x＝－1，所
y＞0，即 a－b＋c＞0，③错误；由对称轴为直线 x＝－1，知 b＝2a，又函数图象开口向下，所以 a＜0，所以 5a＜2a，即 5a＜b，④正确.
考向 2 二次函数的单调性
通性通法：处理函数的单调性问题要注意数形结合思想的应用，尤其是求给定区间上的二次函数最值的问题，要先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解).
[例 2](多选题)若函数 f(x)＝(x－1)·|x＋a|在区间(1，2)上单调递
增，则满足条件的实数 a 的值可能是(
考向 3 二次函数中的恒成立问题
通性通法：(1)解决二次函数中的恒成立问题一般有两个解题
思路：一是分离参数；二是不分离参数.
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据：a≥f(x)恒成立⇔a≥fmax(x)，a≤f(x)恒成立⇔a≤fmin(x).
[例 3]设函数 f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范围；(2)对于 x∈[1，3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取值范围.解：(1)若 m＝0，则 f(x)＝－1<0，满足题意；
解得－41.(考向 1)设函数 f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若 f(m)<0，则(
A.f(m＋1)≥0C.f(m＋1)>0
B.f(m＋1)≤0D.f(m＋1)<0
解析：因为f(x)的对称轴为直线x＝－ ，f(0)＝a>0，所以f(x)
的大致图象如图 D3 所示.
由 f(m)<0，得－1f(0)>0.
2.(考向 2)已知二次函数 f(x)满足 f(2＋x)＝f(2－x)，且 f(x)在[0，
2]上单调递增，若 f(a)≥f(0)，则实数 a 的取值范围是(A.[0，＋∞)B.(－∞，0]C.(－∞，0]∪[4，＋∞)D.[0，4]
解析：∵f(x)满足 f(2＋x)＝f(2－x)，∴对称轴是直线 x＝2，又 f(x)在[0，2]上单调递增，则抛物线的开口向下，且 f(x)在[2，4]上单调递减.∵f(a)≥f(0)，则 f(a)≥f(4)，所以根据二次函数的单调性并结合图象可得 0≤a≤4.故选 D.
3.(考向 3)已知 a 是实数，函数 f(x)＝2ax2＋2x－3<0 在 x∈[－1，1]上恒成立，则实数 a 的取值范围为________.
解析：由题意可知，f(x)＝2ax2＋2x－3＜0 在[－1，1]上恒成
当 x＝0 时，－3＜0，符合题意；
⊙分类讨论思想在二次函数最值问题中的应用
[例 4]已知函数 f(x)＝ax2＋2ax＋1 在区间[－1，2]上有最大值
4，求实数 a 的值.
【反思感悟】二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.无论哪种类型，解题的关键都是确定函数图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.
设函数 f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数 f(x)的最
解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数
图象的对称轴为直线 x＝1.
当 t＋1≤1，即 t≤0 时，函数图象如图 D4(1)所示，函数 f(x)
在区间[t，t＋1]上单调递减，
fmin(x)＝f(t＋1)＝t2＋1；
图 D4当 t<1

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