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高考数学一轮复习第二章第四讲幂函数与二次函数课件
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这是一份高考数学一轮复习第二章第四讲幂函数与二次函数课件，共40页。PPT课件主要包含了答案B，答案C，答案A，答案D，图2-4-2等内容，欢迎下载使用。
1.了解幂函数的概念.
3.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式
之间的关系解决简单问题.
一般地，形如 y＝xα的函数叫做幂函数，其中 x 是自变量，α是常数.幂函数的特征：①自变量 x 处在幂底数的位置，幂指数α为常数；②xα的系数为 1；③只有一项.
2.常见的五种幂函数的图象和性质比较
3.二次函数的图象和性质
(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).(2)一元二次不等式恒成立的条件①ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是“a＞0且Δ＜0”；②ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是“a＜0且Δ＜0”.
考点一 幂函数的图象和性质
1.(2023 年上海市校级模拟)如图 2-4-1 是函数 y＝x为正整数且 m，n 互质)的图象，则( )
A.a
(1)幂函数的形式是 y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此
只需一个条件即可确定其解析式.
(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离 x 轴.
考点二 二次函数的图象与性质
考向 1 二次函数的图象
通性通法：“三看”二次函数图象
[例 1](2023 年海淀区一模)已知二次函数 f(x)，对任意的 x∈R，
有 f(2x)＜2f(x)，则 f(x)的图象可能是(
解析：二次函数 f(x)，对任意的 x∈R，有 f(2x)＜2f(x)，令 x＝0 得，f(0)＜2f(0)，即 f(0)＞0，故 CD 都不可能；
考向 2 二次函数的单调性
通性通法：处理函数的单调性问题要注意数形结合思想的应用，尤其是求给定区间上的二次函数最值的问题，要先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解).
[例 2]函数 f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1 在区间[－1，＋∞)上是单调
递减的，则实数 a 的取值范围是(A.[－3，0)C.[－2，0]
)B.(－∞，－3]D.[－3，0]
解析：当 a＝0 时，f(x)＝－3x＋1 在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意；
解得－3≤a<0.综上所述，实数 a 的取值范围为[－3，0].
考向 3 二次函数中的恒成立问题
通性通法：(1)解决二次函数中的恒成立问题一般有两个解题
思路：一是分离参数；二是不分离参数.
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据：a≥f(x)恒成立⇔a≥fmax(x)，a≤f(x)恒成立⇔a≤fmin(x).
[例3](1)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有 f(x)＜0 成立，则实数 m 的取值范围是__________；(2)已知函数 f(x)＝x2＋2x＋1，f(x)＞x＋k 在区间[－3，－1]上
恒成立，则实数 k 的取值范围为__________.
解析：(1)作出二次函数 f(x)的草图如图2-4-2，对于任意 x∈[m， m＋1]，都有 f(x)＜0，
(2)由题意得 x2＋x＋1＞k 在区间[－3，－1]上恒成立；设 g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，则 g(x)在[－3，－1]上单调递减.∴gmin(x)＝g(－1)＝1.∴k＜1.故实数 k 的取值范围为(－∞，1).
【考法全练】1.(考向 1)一次函数 y＝ax＋b(a≠0)与二次函数 y＝ax2＋bx＋c
在同一平面直角坐标系中的图象大致是(
可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－ <0，而
解析：若 a>0，则一次函数 y＝ax＋b 为增函数，二次函数
y＝ax2＋bx＋c 的图象开口向上，故可排除 A；若 a<0，一次函数y＝ax＋b 为减函数，二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故
二次函数的对称轴在 y 轴的右侧，故可排除 B.故选 C.
2.(考向 2)已知二次函数 f(x)满足 f(2＋x)＝f(2－x)，且 f(x)在[0，
2]上单调递增，若 f(a)≥f(0)，则实数 a 的取值范围是(
A.[0，＋∞)C.(－∞，0]∪[4，＋∞)
B.(－∞，0]D.[0，4]
解析：∵f(x)满足 f(2＋x)＝f(2－x)，∴对称轴是直线 x＝2，又f(x)在[0，2]上单调递增，则抛物线的开口向下，且 f(x)在[2，4]上单调递减.∵f(a)≥f(0)，∴f(a)≥f(4)，∴根据二次函数的单调性并结合图象可得 0≤a≤4.故选 D.
解：(1)由题意得 c＝1，f(－1)＝a－b＋c＝0，
⊙分类讨论思想在二次函数最值问题中的应用
[例 4]已知函数 f(x)＝ax2＋2ax＋1 在区间[－1，2]上有最大值
4，求实数 a 的值.
【反思感悟】二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.无论哪种类型，解题的关键都是确定函数图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.
设函数 f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数 f(x)的最
解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数
图象的对称轴为直线 x＝1.
当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图D3(1)所示，函数f(x)
在区间[t，t＋1]上单调递减，
fmin(x)＝f(t＋1)＝t2＋1；
当t<1
1.了解幂函数的概念.
3.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式
之间的关系解决简单问题.
一般地，形如 y＝xα的函数叫做幂函数，其中 x 是自变量，α是常数.幂函数的特征：①自变量 x 处在幂底数的位置，幂指数α为常数；②xα的系数为 1；③只有一项.
2.常见的五种幂函数的图象和性质比较
3.二次函数的图象和性质
(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).(2)一元二次不等式恒成立的条件①ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是“a＞0且Δ＜0”；②ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是“a＜0且Δ＜0”.
考点一 幂函数的图象和性质
1.(2023 年上海市校级模拟)如图 2-4-1 是函数 y＝x为正整数且 m，n 互质)的图象，则( )
A.a
(1)幂函数的形式是 y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此
只需一个条件即可确定其解析式.
(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离 x 轴.
考点二 二次函数的图象与性质
考向 1 二次函数的图象
通性通法：“三看”二次函数图象
[例 1](2023 年海淀区一模)已知二次函数 f(x)，对任意的 x∈R，
有 f(2x)＜2f(x)，则 f(x)的图象可能是(
解析：二次函数 f(x)，对任意的 x∈R，有 f(2x)＜2f(x)，令 x＝0 得，f(0)＜2f(0)，即 f(0)＞0，故 CD 都不可能；
考向 2 二次函数的单调性
通性通法：处理函数的单调性问题要注意数形结合思想的应用，尤其是求给定区间上的二次函数最值的问题，要先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解).
[例 2]函数 f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1 在区间[－1，＋∞)上是单调
递减的，则实数 a 的取值范围是(A.[－3，0)C.[－2，0]
)B.(－∞，－3]D.[－3，0]
解析：当 a＝0 时，f(x)＝－3x＋1 在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意；
解得－3≤a<0.综上所述，实数 a 的取值范围为[－3，0].
考向 3 二次函数中的恒成立问题
通性通法：(1)解决二次函数中的恒成立问题一般有两个解题
思路：一是分离参数；二是不分离参数.
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据：a≥f(x)恒成立⇔a≥fmax(x)，a≤f(x)恒成立⇔a≤fmin(x).
[例3](1)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有 f(x)＜0 成立，则实数 m 的取值范围是__________；(2)已知函数 f(x)＝x2＋2x＋1，f(x)＞x＋k 在区间[－3，－1]上
恒成立，则实数 k 的取值范围为__________.
解析：(1)作出二次函数 f(x)的草图如图2-4-2，对于任意 x∈[m， m＋1]，都有 f(x)＜0，
(2)由题意得 x2＋x＋1＞k 在区间[－3，－1]上恒成立；设 g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，则 g(x)在[－3，－1]上单调递减.∴gmin(x)＝g(－1)＝1.∴k＜1.故实数 k 的取值范围为(－∞，1).
【考法全练】1.(考向 1)一次函数 y＝ax＋b(a≠0)与二次函数 y＝ax2＋bx＋c
在同一平面直角坐标系中的图象大致是(
可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－ <0，而
解析：若 a>0，则一次函数 y＝ax＋b 为增函数，二次函数
y＝ax2＋bx＋c 的图象开口向上，故可排除 A；若 a<0，一次函数y＝ax＋b 为减函数，二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故
二次函数的对称轴在 y 轴的右侧，故可排除 B.故选 C.
2.(考向 2)已知二次函数 f(x)满足 f(2＋x)＝f(2－x)，且 f(x)在[0，
2]上单调递增，若 f(a)≥f(0)，则实数 a 的取值范围是(
A.[0，＋∞)C.(－∞，0]∪[4，＋∞)
B.(－∞，0]D.[0，4]
解析：∵f(x)满足 f(2＋x)＝f(2－x)，∴对称轴是直线 x＝2，又f(x)在[0，2]上单调递增，则抛物线的开口向下，且 f(x)在[2，4]上单调递减.∵f(a)≥f(0)，∴f(a)≥f(4)，∴根据二次函数的单调性并结合图象可得 0≤a≤4.故选 D.
解：(1)由题意得 c＝1，f(－1)＝a－b＋c＝0，
⊙分类讨论思想在二次函数最值问题中的应用
[例 4]已知函数 f(x)＝ax2＋2ax＋1 在区间[－1，2]上有最大值
4，求实数 a 的值.
【反思感悟】二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.无论哪种类型，解题的关键都是确定函数图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.
设函数 f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数 f(x)的最
解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数
图象的对称轴为直线 x＝1.
当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图D3(1)所示，函数f(x)
在区间[t，t＋1]上单调递减，
fmin(x)＝f(t＋1)＝t2＋1；
当t<1
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