第二章　§2.6　二次函数与幂函数-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）

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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§2.6　二次函数与幂函数
1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点 和 ，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点 ，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y＝xα为　　　　；当α为偶数时，y＝xα为　　　　.
2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝　　　　　　　　.顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为　　　 .零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的 .
ax2＋bx＋c(a≠0)
(2)二次函数的图象和性质
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝　 是幂函数.(　　)(2)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a<0且Δ<0.(　　)(3)二次函数y＝a(x－1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞).(　　)(4)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数.(　　)
3.(2023·南京模拟)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈(－2,2)，则函数f(x)的值域为A.(2,10) B.[1,2)C.[2,10] D.[1,10)
当x∈(－2,2)时，－34.已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，则实数a的取值范围是___________.
由函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，
即a≤4，故实数a的取值范围是(－∞，4].
题型一　幂函数的图象与性质
例1　(1)(2023·合肥模拟)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，± 四个值，则相对应曲线C1，C2，C3，C4的n依次为
根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象：
(2)(2023·无锡模拟)“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
因为f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3是幂函数，所以n2－3n＋3＝1，即n2－3n＋2＝0，解得n＝1或n＝2，
所以“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的充要条件.
(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.
跟踪训练1　(1)幂函数y＝ (0≤m≤3，m∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递增，则m的值为A.0 B.2 C.3 D.2或3
当m＝0时，y＝x－2，由幂函数性质得，y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减；当m＝1时，y＝x0，由幂函数性质得，y＝x0在(0，＋∞)上是常函数；当m＝2时，y＝x4，由幂函数性质得，图象关于y轴对称，y＝x4在(0，＋∞)上单调递增；当m＝3时，y＝x10，由幂函数性质得，图象关于y轴对称，在(0，＋∞)上单调递增.
(2)(2023·临沂模拟)如图所示是函数y＝ (m，n均为正整数且m，n互质)的图象，则
由幂函数性质可知，y＝ 与y＝x的图象恒过定点(1,1)，即在第一象限内的交点坐标为(1,1)，
又y＝ 的图象关于y轴对称，
∴y＝ 为偶函数，
又m，n互质，∴m为偶数，n为奇数.
题型二　二次函数的解析式
例2　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.
方法一　(利用“一般式”解题)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
方法二　(利用“顶点式”解题)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).因为f(2)＝f(－1)，
又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，
方法三　(利用“零点式”解题)由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
解得a＝－4.故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
求二次函数解析式的三个策略(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式.(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式.(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式.
跟踪训练2　已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，对称轴为直线x＝2，且方程f(x)＝0的两个根的平方和为10，则f(x)的解析式为________________.
f(x)＝x2－4x＋3
依题意，设函数f(x)＝a(x－2)2＋h(a≠0)，由二次函数f(x)的图象过点(0,3)，得f(0)＝3，所以4a＋h＝3，即h＝3－4a，所以f(x)＝a(x－2)2＋3－4a，令f(x)＝0，即a(x－2)2＋3－4a＝0，所以ax2－4ax＋3＝0，设方程的两根为x1，x2，
所以f(x)＝x2－4x＋3.
题型三　二次函数的图象与性质
命题点1　二次函数的图象例3　(多选)(2023·银川模拟)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是A.2a＋b＝0 B.4a＋2b＋c<0C.9a＋3b＋c<0 D.abc<0
又因为f(0)＝c>0，所以abc<0.f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c>0，f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c<0.
命题点2　二次函数的单调性与最值例4　(2024·福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.(1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减，求a的取值范围；
所以f(x)在区间[1,2]上单调递减恒成立.
(2)若a>0，设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式.
f(x)在区间[1,2]上单调递增，此时g(a)＝f(1)＝3a－2.
f(x)在区间[1,2]上单调递减，此时g(a)＝f(2)＝6a－3.
二次函数定轴动区间和动轴定区间问题在含参的二次函数中，常常出现两种情况的讨论：(1)二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定二次函数在动区间上的最值”.(2)二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”.
所以f(x)在区间[a，b]上单调递增，
(2)若函数f(x)＝x2－2bx＋3a在区间[0,1]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值A.与a无关，与b有关B.与a有关，与b无关C.与a有关，且与b有关D.与a无关，且与b无关
函数f(x)＝x2－2bx＋3a的图象开口向上，且对称轴为直线x＝b，①当b>1时，f(x)在[0,1]上单调递减，则M＝f(0)＝3a，m＝f(1)＝1－2b＋3a，此时M－m＝2b－1，故M－m的值与a无关，与b有关；②当b<0时，f(x)在[0,1]上单调递增，则M＝f(1)＝1－2b＋3a，m＝f(0)＝3a，此时M－m＝1－2b，故M－m的值与a无关，与b有关；③当0≤b≤1时，m＝f(b)＝3a－b2，
∴M－m＝b2－2b＋1，故M－m的值与a无关，与b有关，
∴M－m＝b2，故M－m的值与a无关，与b有关，综上，M－m的值与a无关，与b有关.
二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.
跟踪训练3　(1)(2024·宣城模拟)已知y＝(x－m)(x－n)＋2 023(my＝(x－m)(x－n)＋2 023(m(2)(2023·镇江模拟)函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2,2]，则b－a的取值范围是________.
解方程f(x)＝x2－4x＋2＝2，得x＝0或x＝4，解方程f(x)＝x2－4x＋2＝－2，得x＝2，由于函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[－2,2].若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则[a，b]＝[0,2]或[a，b]＝[2,4]，此时b－a取得最小值2；若函数f(x)在区间[a，b]上不单调，
且当b－a取最大值时，[a，b]＝[0,4]，所以b－a的最大值为4，所以b－a的取值范围是[2,4].
一、单项选择题1.(2023·唐山模拟)若幂函数f(x)＝xα的图象经过第三象限，则α的值可以是
当α＝－2时，f(x)＝x－2为偶函数，图象在第一和第二象限，不经过第三象限，A不符合题意；当α＝2时，f(x)＝x2为偶函数，图象过原点，分布在第一和第二象限，不经过第三象限，B不符合题意；
2.(2023·保定模拟)已知 ，则A.b<4<5＝ ＝c，
3.(2023·成都模拟)若函数f(x)＝4x2－kx－8在[4,5]上是单调函数，则k的取值范围是A.[32,40]B.(－∞，32]∪[40，＋∞)C.(－∞，32]D.[40，＋∞)
所以k的取值范围是(－∞，32]∪[40，＋∞).
4.函数f(x)＝ax2＋2x＋1与g(x)＝xa在同一直角坐标系中的图象不可能为
对于A，二次函数的图象开口向下，所以a<0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递减，与图中符合；对于B，二次函数的图象开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，与图中不符合；
对于C，二次函数的图象开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，与图中符合；对于D，二次函数的图象开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，与图中符合.
5.已知函数f(x)＝－x2＋2x＋5在区间[0，m]上的值域为[5,6]，则实数m的取值范围是A.(0,1] B.[1,3]C.(0,2] D.[1,2]
f(x)＝－x2＋2x＋5＝－(x－1)2＋6，f(x)的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，画出f(x)的图象如图所示，由于f(x)在区间[0，m]上的值域为[5,6]，由图可知，m的取值范围是[1,2].
6.(2024·榆林模拟)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(a>0)，实数m满足f(m)<0，则下列关系一定成立的是A.f(m＋1)>0 B.f(m＋2)>0C.f(m－1)<0 D.f(m－2)<0
函数f(x)＝x2－2x＋a在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.f(m)＝m2－2m＋a<0，故m2－2m<－a<0，解得0f(2)＝a>0，B正确；m－2∈(－2,0)，f(m－2)>f(0)＝a>0，D错误；
二、多项选择题7.设abc<0，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是
A中，a<0，b<0，c<0，∴abc<0，符合题意；B中，a<0，b>0，c>0，∴abc<0，符合题意；C中，a>0，b>0，c>0，∴abc>0，不符合题意；D中，a>0，b<0，c<0，∴abc>0，不符合题意.
B.若函数f(x)＝ ，则f(x)在区间(－∞，0)上单调递减C.幂函数y＝xα(α>0)的图象始终经过点(0,0)和(1,1)D.若幂函数f(x)＝(2m2－2m－3)xm的图象关于y轴对称，则f(－a2＋2a－5)　>f(3)
又f(x)＝　 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝＝f(x)，
故f(x)＝ 为偶函数，故f(x)＝ 在(－∞，0)上单调递增，B错误；
C选项，因为α>0，所以0α＝0,1α＝1，故幂函数y＝xα(α>0)的图象始终经过点(0,0)和(1,1)，C正确；D选项，由题意得2m2－2m－3＝1，解得m＝2或－1，当m＝2时，f(x)＝x2为偶函数，满足图象关于y轴对称，当m＝－1时，f(x)＝x－1为奇函数，不满足图象关于y轴对称，舍去，其中－a2＋2a－5＝－(a－1)2－4≤－4恒成立，故|－a2＋2a－5|＝(a－1)2＋4≥4>3，又f(x)＝x2在(0，＋∞)上单调递增，故f(－a2＋2a－5)>f(3)，D正确.
三、填空题9.(2023·大庆模拟)已知函数f(x)＝(m2－m－1)·x4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f(2)＝________.
解得m＝2，所以f(x)＝x11，f(2)＝211.
10.已知二次函数的图象过点(－3,0)，(1,0)，且顶点到x轴的距离等于2，则二次函数的表达式为______________________________.
因为二次函数的图象过点(－3,0)，(1,0)，所以可设二次函数为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，展开得y＝ax2＋2ax－3a，
由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2，
11.已知函数f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[2，＋∞)，且满足f(1－x)＝f(1＋x)，若f(x)在[m，n]上的值域为[2,6]，则n－m的最大值为________.
由f(1－x)＝f(1＋x)，可得函数的对称轴为直线x＝1.
所以f(x)＝x2－2x＋b.因为f(x)的值域为[2，＋∞)，所以f(1)＝12－2×1＋b＝1－2＋b＝2，可得b＝3，故f(x)＝x2－2x＋3.若f(x)在[m，n]上的值域为[2,6]，令x2－2x＋3＝6，解得x＝3或x＝－1.所以m最小为－1，n最大为3，则n－m的最大值为4.
12.(2023·乐山模拟)幂函数y＝xm(m≠0)，当m取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图).设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，则αβ＝________.
因为A(1,0)，B(0,1)，BM＝MN＝NA，
四、解答题13.已知幂函数f(x)＝(m2＋4m＋4)xm＋2在(0，＋∞)上单调递减.(1)求m的值；
由幂函数的定义可得m2＋4m＋4＝1，即m2＋4m＋3＝0，解得m＝－1或m＝－3.因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以m＋2<0，即m<－2，则m＝－3.
(2)若(2a－1)－m<(a＋3)－m，求a的取值范围.
设g(x)＝x3，则g(x)是增函数.由(1)可知(2a－1)－m<(a＋3)－m，即(2a－1)3<(a＋3)3，则2a－114.(2024·巴中模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(0,0)，(5,0)，且最小值为－ .(1)求函数的解析式；
由题意设函数的解析式为y＝ax(x－5)(a>0)，
所以二次函数的解析式为y＝2x(x－5)，即y＝2x2－10x.
(2)当t≤x≤t＋1时，该函数的最小值为－12，求此时t的值.
所以当x＝t＋1时，y＝2x2－10x取得最小值，所以2(t＋1)2－10(t＋1)＝－12，解得t＝1或t＝2(舍去)，所以t＝1；
所以当x＝t时，y＝2x2－10x取得最小值，所以2t2－10t＝－12，解得t＝3或t＝2(舍去).综上所述，t的值为1或3.
15.设函数f(x)＝ ，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)，若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是A.当a<0时，x1＋x2<0，y1＋y2>0B.当a<0时，x1＋x2>0，y1＋y2<0C.当a>0时，x1＋x2<0，y1＋y2<0D.当a>0时，x1＋x2>0，y1＋y2>0
根据题意，F(x)的图象与G(x)＝ax＋b的图象只有两个交点，不妨设x10时(如图1)，G(x)＝ax＋b的图象与F(x)图象的左支相切，与右支有一个交点，
∴y1＋y2>0，同理可得，当a<0时(如图2)，x1＋x2>0，y1＋y2<0.
16.(多选)关于x的方程(x2－2x)2－2(2x－x2)＋k＝0，下列命题正确的有A.存在实数k，使得方程无实根B.存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根C.存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根D.存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根