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2024年高考数学一轮复习第二章第五讲指数与指数函数课件
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这是一份2024年高考数学一轮复习第二章第五讲指数与指数函数课件，共44页。PPT课件主要包含了有理数指数幂，指数函数的概念，名师点睛，考点一指数幂的运算，Aa1Cb0，图2-5-1，答案AD，图2-5-2，答案01，题后反思等内容，欢迎下载使用。
1.根式(1)一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1，且 n∈N*.
一般地，函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x
是自变量，定义域是 R，a 是底数.
[注意]形如 y＝kax，y＝ax＋k(k∈R 且 k≠0，a>0 且 a≠1)的函
数叫做指数型函数，不是指数函数.
4.指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象与性质
1.(一题两空)(2022 年苏州市高三质检)设α，β是方程 5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.
【题后反思】指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算.(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底
数是带分数的，先化成假分数.
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，
运用指数幂的运算性质来解答.
考点二 指数函数的图象[例 1](1)(多选题)若函数 y＝ax＋b－1(a>0，且 a≠1)的图象经
过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有(
B.0
(2)若函数 y＝|2x－1|的图象与直线 y＝b 有两个公共点，则 b
的取值范围为________.
解析：作出曲线 y＝|2x－1|的图象与直线 y＝b 如图2-5-2所示.
由图象可得 b 的取值范围是(0，1).
(1)对于指数型函数的图象问题，一般从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到指数型函数的图象.特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应分类讨论.(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数
型函数图象，数形结合进行求解.
1.(2021年河北武邑中学调研)函数y＝e－|x-1|的大致图象是)
e－x+1单调递减，排除选项A.故选B.
解析：当 x＝1 时，y＝1，排除选项 C，D.当 x＞1 时，y＝
2.函数 y＝ax－b(a＞0，且 a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则 ab 的取值范围是________.
考向 1 利用指数函数的单调性比较大小通性通法：比较指数式的大小时，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.
(0，＋∞)上单调递增，得 a
通性通法：求解与指数函数有关的复合函数的问题时，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
[例 3](1)已知函数
f(x)＝ 2|2x－m|(m为常数).若 f(x)在区间[2，
＋∞)上单调递增，则 m 的取值范围是________.
(2)函数f(x)＝4x－2x+1的单调增区间是________.
解析：f(x) ＝(2x)2－2·2x＝(2x－1)2－1，设t＝2x，其在R上单调递增，y＝(t－1)2－1在[1，＋∞)上单调递增，∴2x≥1，∴x≥0.
考向 3 函数的最值问题
通性通法：对可化为a2x＋b·ax＋c＝0形式的方程或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的取值范围.
[例 4]设函数 y＝a2x＋2ax－1(a>0，且 a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是 14，则 a 的值为________.
1.(考向 1)已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则( )
A.a＞b＞cC.c＞a＞b
B.a＞c＞bD.b＞c＞a
解析：由 0.2＜0.6，0.4＜1，并结合指数函数 y＝0.4x 在 R上单调递减，可知 0.40.2＞0.40.6，即 b＞c.因为 a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以 a＞b，所以 a＞b＞c.故选 A.答案：A
3.(考向 2)(2022 年无锡市校级期末)已知函数 f(x)＝且 f(x)为奇函数.(1)求 a 的值；(2)判断函数 f(x)的单调性并证明；(3)解不等式：f(2x－1)＋f(x－2)＞0.
(1)解：∵函数 f(x)为奇函数，且定义域为 R，∴f(0)＝0，
(3)解：f(2x－1)＋f(x－2)＞0，且 f(x)为奇函数，∴f(2x－1)＞f(－x＋2)，
∵函数 f(x)在 R 上单调递增，∴2x－1＞－x＋2，∴x＞1，∴不等式的解集为(1，＋∞).
[例 5]实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，“鹊桥”沿着围绕地月拉格朗日 L2 点的轨道运行.L2 点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为 M1，月球质量为 M2，地月距离为 R，L2 点到月球的距离为 r，根据牛顿运动定
【反思感悟】高考题只是把物理竞赛题中个别背景与条件进行变更，难度相似.与传统的解方程问题相比，本题以学生熟悉的“嫦娥四号”为背景，看起来是物理问题，实则考查数学中的解方程、求近似值的内容.让学生感悟数学来源于生活，数学和物理不分家，考查了转化与化归能力，空间想象能力，以及运算求解能力，很好地考查了逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.
【高分训练】(2022 年海口市模拟)在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用 PCR 技术对 DNA 进行快速复制扩增数量.在此过程中，DNA 的数量 Xn (单位：μg/μL)与PCR扩增次数n满足Xn＝X0×1.6n，其中X0为DNA的初始数量.已知某待测标本中 DNA 的初始数量为 0.1 μg/μL，核酸探针能检测到的 DNA 数量最低值为 10 μg/μL，则应对该标本进行 PCR
(参考数据：lg 1.6≈0.20)
1.根式(1)一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1，且 n∈N*.
一般地，函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x
是自变量，定义域是 R，a 是底数.
[注意]形如 y＝kax，y＝ax＋k(k∈R 且 k≠0，a>0 且 a≠1)的函
数叫做指数型函数，不是指数函数.
4.指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象与性质
1.(一题两空)(2022 年苏州市高三质检)设α，β是方程 5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.
【题后反思】指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算.(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底
数是带分数的，先化成假分数.
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，
运用指数幂的运算性质来解答.
考点二 指数函数的图象[例 1](1)(多选题)若函数 y＝ax＋b－1(a>0，且 a≠1)的图象经
过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有(
B.0
(2)若函数 y＝|2x－1|的图象与直线 y＝b 有两个公共点，则 b
的取值范围为________.
解析：作出曲线 y＝|2x－1|的图象与直线 y＝b 如图2-5-2所示.
由图象可得 b 的取值范围是(0，1).
(1)对于指数型函数的图象问题，一般从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到指数型函数的图象.特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应分类讨论.(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数
型函数图象，数形结合进行求解.
1.(2021年河北武邑中学调研)函数y＝e－|x-1|的大致图象是)
e－x+1单调递减，排除选项A.故选B.
解析：当 x＝1 时，y＝1，排除选项 C，D.当 x＞1 时，y＝
2.函数 y＝ax－b(a＞0，且 a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则 ab 的取值范围是________.
考向 1 利用指数函数的单调性比较大小通性通法：比较指数式的大小时，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.
(0，＋∞)上单调递增，得 a
通性通法：求解与指数函数有关的复合函数的问题时，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
[例 3](1)已知函数
f(x)＝ 2|2x－m|(m为常数).若 f(x)在区间[2，
＋∞)上单调递增，则 m 的取值范围是________.
(2)函数f(x)＝4x－2x+1的单调增区间是________.
解析：f(x) ＝(2x)2－2·2x＝(2x－1)2－1，设t＝2x，其在R上单调递增，y＝(t－1)2－1在[1，＋∞)上单调递增，∴2x≥1，∴x≥0.
考向 3 函数的最值问题
通性通法：对可化为a2x＋b·ax＋c＝0形式的方程或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的取值范围.
[例 4]设函数 y＝a2x＋2ax－1(a>0，且 a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是 14，则 a 的值为________.
1.(考向 1)已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则( )
A.a＞b＞cC.c＞a＞b
B.a＞c＞bD.b＞c＞a
解析：由 0.2＜0.6，0.4＜1，并结合指数函数 y＝0.4x 在 R上单调递减，可知 0.40.2＞0.40.6，即 b＞c.因为 a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以 a＞b，所以 a＞b＞c.故选 A.答案：A
3.(考向 2)(2022 年无锡市校级期末)已知函数 f(x)＝且 f(x)为奇函数.(1)求 a 的值；(2)判断函数 f(x)的单调性并证明；(3)解不等式：f(2x－1)＋f(x－2)＞0.
(1)解：∵函数 f(x)为奇函数，且定义域为 R，∴f(0)＝0，
(3)解：f(2x－1)＋f(x－2)＞0，且 f(x)为奇函数，∴f(2x－1)＞f(－x＋2)，
∵函数 f(x)在 R 上单调递增，∴2x－1＞－x＋2，∴x＞1，∴不等式的解集为(1，＋∞).
[例 5]实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，“鹊桥”沿着围绕地月拉格朗日 L2 点的轨道运行.L2 点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为 M1，月球质量为 M2，地月距离为 R，L2 点到月球的距离为 r，根据牛顿运动定
【反思感悟】高考题只是把物理竞赛题中个别背景与条件进行变更，难度相似.与传统的解方程问题相比，本题以学生熟悉的“嫦娥四号”为背景，看起来是物理问题，实则考查数学中的解方程、求近似值的内容.让学生感悟数学来源于生活，数学和物理不分家，考查了转化与化归能力，空间想象能力，以及运算求解能力，很好地考查了逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.
【高分训练】(2022 年海口市模拟)在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用 PCR 技术对 DNA 进行快速复制扩增数量.在此过程中，DNA 的数量 Xn (单位：μg/μL)与PCR扩增次数n满足Xn＝X0×1.6n，其中X0为DNA的初始数量.已知某待测标本中 DNA 的初始数量为 0.1 μg/μL，核酸探针能检测到的 DNA 数量最低值为 10 μg/μL，则应对该标本进行 PCR
(参考数据：lg 1.6≈0.20)
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