重难点专题01：直线与椭圆的位置关系-2023-2024学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册）

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重难点专题01： 直线与椭圆的位置关系
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
2.考点分析及解题方法归纳：考点包含：直线与椭圆的位置关系判定；椭圆的弦长；椭圆的焦点弦；椭圆的中点弦；椭圆中的定点、定值问题；椭圆的定直线；椭圆中的向量问题

3.课堂知识小结
4.考点巩固提升
知识归纳
1.直线与椭圆的位置关系.
设直线l：Ax+By+C=0，椭圆C：，联立l与C，消去某一变量(x或y)得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为Δ，
则l与C相离的Δ0.
2.弦长计算
计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)|P1P2|= （k为直线斜率）形式(利用根与系数关系
（推导过程：若点在直线上，
则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，


或者
。)
3.中点弦问题

关于中点弦问题，一般采用两种方法解决：
(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算.
(2)利用“点差法”求解，即若椭圆方程为＋＝1，直线与椭圆交于点A(x1，y1)、B(x2，y2)，且弦AB的中点为M(x0，y0)，则

由①－②得a2(y－y)＋b2(x－x)＝0，
∴＝－·＝－·.
考点讲解
这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题能得以解决


考点1：直线与椭圆的位置关系判定
例1．椭圆的左、右顶点分别为、，点在上，且直线的斜率为，则直线斜率为（       ）
A． B．3 C． D．
【方法技巧】
求出的坐标，进而求出直线的方程，联立椭圆方程后，求出点坐标，代入斜率公式，可得答案.
【变式训练】
【变式1】．（多选）下列曲线中与直线有交点的是（       ）
A． B． C． D．
【变式2】．直线和曲线的位置关系为_____.
【变式3】．椭圆上的点到直线的距离的最大值为______.

考点2：椭圆的弦长
例2．椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点且长轴长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点，求弦长.

【方法技巧】
（1）先设出椭圆方程，然后由题意可得，从而可得椭圆方程，
（2）由题意可得直线的方程为，代入椭圆方程中，利用根与系数的关系，结合弦长公式可求得结果.
【变式训练】
【变式1】．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（       ）
A． B． C． D．
【变式2】．斜率为1的直线l与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（       ）
A．2 B． C． D．

考点3：椭圆的焦点弦
例3：（2019·浙江·高考真题）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是____.
【方法技巧】
1.明确概念
2.利用焦半径公式把比值表示为的式子，然后由得出范围．
【变式训练】
【变式1】．已知椭圆C的离心率，左右焦点分别为，P为椭圆C上一动点，则的取值范围为___________.
【变式2】．如果椭圆的一个焦点坐标为，过此焦点且垂直于轴的弦的长等于，则这个椭圆的标准方程为_______.
【变式3】．设，分别是椭圆C：的左、右焦点，点M为椭圆C上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则M的坐标为___________．

考点4：椭圆的中点弦
例4．已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为______.
【方法技巧】
(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算.
(2)利用“点差法”求解
【变式训练】
【变式1】．已知椭圆()与直线交于A、B两点，，且中点的坐标为，则此椭圆的方程为________．
【变式2】．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，长轴长为4．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知直线的过定点，若椭圆上存在两点，关于直线对称，求直线斜率的取值范围．

考点5：椭圆中参数的范围及最值
例5．（2021·全国·高考真题（文））设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．2
【方法技巧】
1.找到各种量之间的关系。
2.理解基本要求
【变式训练】
【变式1】（2017·全国·高考真题（文））（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
【变式2】．已知A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为，．若椭圆的离心率为，则的最小值为______．

考点6：椭圆中的定点、定值问题
例6：（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
【方法技巧】
求定点、定值问题常见的方法有两种：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
【变式训练】
已知椭圆的离心率为，、分别是椭圆的右顶点和上顶点，的面积为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)设的椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．求证：为定值．

考点7：椭圆的定直线
例7：（2022·河北沧州·二模）已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)点关于原点的对称点为点，与直线平行的直线与交于点，直线与交于点，点是否在定直线上？若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.
【方法技巧】
（1）设，表示出，结合点在椭圆上，代入即可得出答案.
（2）设直线为，与椭圆联立消去得到关于的一元二次方程，列出韦达定理，写出直线，的方程，联立这两条直线的方程，求出点的纵坐标，即可得出答案.
【变式训练】
【变式1】．已知椭圆C:的上下顶点分别为，过点P且斜率为k(k