重难点专题03：直线与抛物线的位置关系-2023-2024学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册）

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重难点专题03：直线与抛物线的位置关系

备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
考点分析及解题方法归纳：考点包含：直线与抛物线的位置关系；抛物线的焦点弦；抛物线的中点弦；抛物线中的参数范围与最值；抛物线的定点、定值问题；抛物线中的定直线；
抛物线中的向量运算；抛物线的应用
2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳

一、焦点弦的相关性质：焦点弦，,，焦点
(1) 若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，则：，。
(2) 若AB是抛物线的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则（α≠0）。
(3) 已知直线AB是过抛物线焦点F ,
(4) 焦点弦中通径最短长为2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．
(5) 两个相切：以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
二、切线方程
图象

x
y
O
l
F

x
y
O
l
F


l
F
x
y
O


x
y
O
l
F






切线方程






三．直线与抛物线的位置关系





直线，抛物线，

　　，消y得：
（1）当k=0时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；
（2）当k≠0时，
Δ＞0，直线与抛物线相交，两个不同交点；
Δ=0， 直线与抛物线相切，一个切点；
Δ＜0，直线与抛物线相离，无公共点。
（3） 若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）
四、相交弦AB的弦长

或
五．点差法：设交点坐标为，，代入抛物线方程，得
将两式相减，可得 ，
a. 在涉及斜率问题时，
b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为，，
即，
同理，对于抛物线，若直线与抛物线相交于两点，点是弦的中点，则有
考点讲解
考点讲解
考点讲解



考点1：直线与抛物线的位置关系
例1．过点与抛物线只有一个公共点的直线有（    ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条

【方法技巧】
由已知，根据题意，过点分别从与轴平行，直线斜率不存在，直线斜率存在三种情况分别求解出满足题意的直线，然后即可做出判断.

【变式训练】
1（多选）．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线l：，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则（    ）
A．点P的轨迹是一条线段
B．点P的轨迹与直线：是没有交汇的轨迹（即两个轨迹没有交点）
C．不是“最远距离直线”
D．是“最远距离直线”
2．设过抛物线焦点F的弦为PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是______．
4．已知抛物线，，是C上两个不同的点．
(1)求证：直线与C相切；
(2)若O为坐标原点，，点满足均与C相切，求的值．
考点2：抛物线的弦长
例2．已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线分别交于两点，则（    ）
A．1 B．3 C．6 D．8

【方法技巧】
由题意可得直线与的方程为，代入抛物线方程得，根据韦达定理与焦半径的公式即可求出的值.

【变式训练】
1．已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点， 若， 则 (为坐标原点)的面积是（    ）
A． B．1 C．2 D．4
3．已知抛物线，过的焦点且斜率为的直线交于两点，若，则__________.
3．设抛物线C：的焦点为F，过F且斜率为k（k>0）的直线l与C交于A，B两点，．
(1)求直线l的方程；
(2)求过点A，B且与抛物线C的准线相切的圆的方程．

考点3：抛物线的焦点弦
例3．设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（    ）
A． B．8 C．12 D．

【方法技巧】
由题意得出焦点坐标，直线方程，由直线方程与抛物线方程联立，由抛物线过焦点的弦长公式可得出答案.
【变式训练】
1．已知点是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于两点，则的最小值为（    ）
A．4 B．6 C．8 D．9
2．抛物线的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分，则m与n的关系是（    ）
A．m＋n＝mn B．m＋n＝4 C．mn＝4 D．无法确定
3．已知直线与抛物线交于A、两点，为抛物线的准线上一点，且，过且垂直轴的直线交抛物线于点，交直线于点，若，则__________．

4．已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点（点在第一象限），若，则______．

考点4：抛物线的中点弦
例4．已知抛物线C：，直线l与C交于A，B两点，若弦的中点为，则直线l的斜率为（    ）
A． B．3 C． D．－3

【方法技巧】
利用点差法计算可得；

【变式训练】
1．已知抛物线的方程是，直线交抛物线于两点，若弦的中点为，则直线的方程为______．
2．若直线l经过抛物线的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为______.
3．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上．
(1)求点F的坐标和抛物线C的准线方程；
(2)过点F的直线l交抛物线C于A、B两点，且线段AB的中点为，求直线l的方程及．

考点5：抛物线中的参数范围与最值
例5．已知圆，若抛物线上存在点，过点作圆的两条切线，切点满足，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
根据题意可以求出，再利用两点间的距离公式表示出，整理得到关于的一个一元二次方程，利用根的判别式列出关于的不等式，解不等式即可

【变式训练】
1．抛物线上的点到直线的距离最小值是________.
2．过抛物线焦点F作斜率分别为、的两条直线、，其中交抛物线C于A、B两点，交抛物线C于D、E两点，若，则的最小值为______．
3．已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且点的坐标为，则的最大值是_______.
4．已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点．

(1)求p的值和抛物线的焦点坐标；
(2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围．


考点6：抛物线的定点、定值问题
例6．如图，已知抛物线的焦点为F，点为坐标原点，一条直线过定点与抛物线相交于A，B两点，且.

(1)求抛物线方程；
(2)连接AF，BF并延长交抛物线于C，D两点，求证：直线CD过定点
【方法技巧】
（1）设直线的方程为，联立方程组得到，结合，列出方程求得的值，即可求得抛物线的方程；
（2）设直线的方程为，联立方程组求得，同理得到，由（1）求得，设直线的方程为，联立方程组，根据，求得的值，即可求解.

【变式训练】
1．已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，点，若直线的斜率分别为，则______．

2．如图，为抛物线上的一点，抛物线的焦点为，垂直于直线，垂足为，直线垂直于，分别交轴、轴于点A，．

(1)求使为等边三角形的点的坐标．
(2)是否存在点，使平分线段？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
考点7：抛物线中的定直线
例7．如图，过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，AM，AN，BC，BD分别垂直于坐标轴，垂足依次为M，N，C，D．

(1)若矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为，，求的值；
(2)求证：直线MN与直线CD交点在定直线上．
【方法技巧】
涉及用过定点的直线l解决问题，若直线l不垂直于x轴，可设其方程为：；
若直线l不垂直于y轴，可设其方程为：.

【变式训练】
如图，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时，.

(1)求抛物线C的标准方程；
(2)求证：点P在定直线上.

考点8：抛物线中的向量运算
（2019·全国·高考真题（理））已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若，求|AB|．

【方法技巧】
轨迹方程+基本不等式法
轨迹方程+数形结合法
轨迹方程+换元求最值法
参数+基本不等式法

【变式训练】
1．已知的三个顶点都在抛物线上，为抛物线的焦点，若，则（    ）
A．3 B．6 C．9 D．12
2．已知抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，的延长线交抛物线于点，若，则（    ）
A．5 B． C．10 D．15

考点9：抛物线的应用
例9．位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m，跨径为12m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为______m．


【方法技巧】
首先建立直角坐标系，再根据抛物线所过的点求标准方程，进而得到抛物线的焦点到准线的距离.

【变式训练】
1．抛物线有如下的光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，已知抛物线C：的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点（1，－2）射入，经抛物线上的点P反射后，再经抛物线上另一点Q反射后射出，则（    ）
A． B．13 C． D．14
2．一辆卡车要通过跨度为8米、拱高为4米的抛物线形隧道，为了保证安全，车顶上方与抛物线的铅垂距离至少0.5米．隧道有两条车道，车辆在其中一条车道行驶，卡车宽为2.2米，车厢视为长方体，则卡车的限高为_____米（精确到0.01米）.
3．已知抛物线的准线交轴于点，过点作斜率为的直线交于两点，且，则直线的斜率是__________.