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第14讲 整式的加减-七年级数学上册同步精品讲义(华师大版)
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第14讲 整式的加减
目标导航
1、进一步理解用字母表示数的意义,能分析简单问题的数量关系,并用代数式表示.
2、理解代数式的含义,能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义,体会数学与世界的联系.
3、会求代数式的值,能解释值的实际意义,能根据代数式的值推断代数式反映的规律.
4.理解并掌握单项式与多项式的相关概念;
5.理解整式加减的基础是去括号和合并同类项,并会用整式的加减运算法则,熟练进行整式的加减运算、求值;
6.深刻体会本章体现的主要的数学思想----整体思想.
知识精讲
知识点01 要点一、代数式
诸如:16n ,2a+3b ,34 ,,等式子,它们都是用运算符号(+、-、×、÷、乘方、开方)把数和表示数的字母连接而成的,像这样的式子叫做代数式,单独的一个数或一个字母也是代数式.
【微点拨】
代数式的书写规范:
(1)字母与数字或字母与字母相乘时,通常把乘号写成“· ”或省略不写;
(2)除法运算一般以分数的形式表示;
(3)字母与数字相乘时,通常把数字写在字母的前面;
(4)字母前面的数字是分数的,如果既能写成带分数又能写成假分数,一般写成假分数的形式;
(5)如果字母前面的数字是1,通常省略不写.
【即学即练1】
1.做大小两个纸盒,尺规如下(单位:cm)
长
宽
高
小纸盒
a
b
c
大纸盒
3a
2b
2c
(1)做这两个纸盒共用料多少平方厘米?(结果用含a、b、c的代数式表示)
(2)做成的大纸盒比小纸盒的容积大多少立方厘米?(结果用含a、b、c的代数式表示)
【点拨】(1)根据长方体表面积计算公式计算出两个长方体表面积,再相加化简可得;
(2)根据长方体体积计算方法计算出两个长方体体积相减,化简可得.
【解析】
解:(1)根据题意,做两个纸盒需用料2ab+2bc+2ac+12ab+8bc+12ac=14ab+10bc+14ac,
答:做这两个纸盒共用料(14ab+10bc+14ac)平方厘米.
(2)根据表格中数据可知,大纸盒比小纸盒的容积大3a×2b×2c﹣abc=11abc,
答:做成的大纸盒比小纸盒的容积大11abc立方厘米.
【总结】本题主要考查根据实际问题列代数式的能力,准确表示出各部分的面积或体积是关键.
2.的意义是( )
A.a与b差的2倍除以a与b的和
B.a的2倍与b的差除以a与b和的商
C.a的2倍与b的差除a与b的和
D.a与b的2倍的差除以a与b和的商
【答案】B
知识点02 整式的相关概念
1.单项式:由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式,单独的一个数或一个字母也是单项式.
【微点拨】
(1)单项式的系数是指单项式中的数字因数.
(2)单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和.
2.多项式:几个单项式的和叫做多项式.在多项式中,每个单项式叫做多项式的项.
【微点拨】
(1)在多项式中,不含字母的项叫做常数项.
(2)多项式中次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数.
(3)多项式的次数是n次,有m个单项式,我们就把这个多项式称为n次m项式.
3. 多项式的降幂与升幂排列:
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把这个多项式按这个字母降幂排列.另外,把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把这个多项式按这个字母升幂排列.
【微点拨】
(1)利用加法交换律重新排列时,各项应带着它的符号一起移动位置;
(2)含有多个字母时,只按给定的字母进行降幂或升幂排列.
4.整式:单项式和多项式统称为整式.
【即学即练2】
1.指出下列各式中的整式、单项式和多项式,是单项式的请指出系数和次数,是多项式的请说出是几次几项式.
(1) (2)5 (3) (4) (5)3xy (6) (7) (8)1+a% (9)
【解析】
解:整式:(1)、(2)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、(9)
单项式:(2)、(5)、(6),其中:
5的系数是5,次数是0;3xy的系数是3,次数是2;的系数是,次数是1.
多项式:(1)、(4)、(7)、(8)、(9),其中:
是一次二项式;是一次二项式;是一次二项式;1+a%是一次二项式;
是二次二项式.
【总结】①分母中出现字母的式子不是整式,故不是整式;②π是常数而不是字母,故是整式,也是单项式;③(7)、(9)表示的是加、减关系而不是乘积关系,而单项式中不能有加减.如其实质为,其实质为.
2.(1)的次数与系数的和是________;
(2)已知单项式的系数是等于单项式的次数,则m=________;
(3)若是关于a、b的一个五次单项式,且系数为9,则-m+n=________.
【答案】 (1)3 (2)1 (3)-5
3.多项式是________次________项式,常数项是________,三次项是________.
【答案】四,五, 1 ,
4.把多项式按x的降幂排列是________.
【答案】
知识点03 整式的加减
1.同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项.
【微点拨】
辨别同类项要把准“两相同,两无关”:
(1)“两相同”是指:①所含字母相同;②相同字母的指数相同;
(2)“两无关”是指:①与系数无关;②与字母的排列顺序无关.
2.合并同类项:把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.
【微点拨】
合并同类项时,只是系数相加减,所得结果作为系数,字母及字母的指数保持不变.
3.去括号法则:括号前面是“+”,把括号和它前面的“+”去掉后,原括号里各项的符号都不改变;括号前面是“-”,把括号和它前面的“-”号去掉后,原括号里各项的符号都要改变.
4.添括号法则:添括号后,括号前面是“+”,括号内各项的符号都不改变;添括号后,括号前面是“-”,括号内各项的符号都要改变.
5.整式的加减运算法则:几个整式相加减,通常用括号把每一个整式括起来,再用加、减号连接,然后去括号,合并同类项.
【即学即练3】
1.如果单项式﹣xyb+1与xa﹣2y3是同类项,那么(a﹣b)2015= .
【答案】1.
【解析】
解:由同类项的定义可知
a﹣2=1,解得a=3,
b+1=3,解得b=2,
所以(a﹣b)2015=1.
【总结】考查了同类项,要求代数式的值,首先要求出代数式中的字母的值,然后代入求解即可.
2.若与是同类项,则a=________,b=________.
【答案】 5 , 4
3. 计算
【解析】
解法1:
解法2:
【总结】根据多重括号的去括号法则,可由里向外,也可由外向里逐层推进,在计算过程中要注意符号的变化.若括号前是“-”号,在去括号时,括号里各项都应变号,若括号前有数字因数,应把数字因数乘到括号里,再去括号.
4.下列式子中去括号错误的是( ).
A.5x-(x-2y+5z)=5x-x+2y-5z
B.2a2+(-3a-b)-(3c-2d)=2a2-3a-b-3c+2d
C.3x2-3(x+6)=3x2-3x-6
D.-(x-2y)-(-x2+y2)=-x+2y+x2-y2
【答案】C
5.化简:-2a+(2a-1)的结果是( ).
A.-4a-1 B.4a-1 C.1 D.-1
【答案】D
知识点04 化简求值
(1)直接化简代入
1. 已知,,求的值.
(2)条件求值
若与的和是单项式,则________.
(3)整体代入
已知x2-2y=1,那么2x2-4y+3=________.
【解析】
解:(1)5(2x2y-3x)-2(4x-3x2y)
=10x2y-15x-8x+6x2y
=16x2y-23x
当,y=-1时,
原式=.
(2) 由题意知:和是同类项,所以m+5=3,n=2,解得,m=-2,n=2,所以.
(3)因为, 而
所以.
【总结】整体代入的一般做法是对代数式先进行化简,然后找到化简结果与已知条件之间的联系.
2.已知a2+2a=1,则代数式2a2+4a﹣1的值为( )
A.0 B.1 C.﹣1 D.﹣2
【答案】B
3.已知,求的值.
【答案】
所以,原式=.
4.已知多项式是否存在m ,使此多项式与x无关?若不存在,说明理由;若存在,求出m 的值.
【解析】
解:
要使原式与无关,则需该项的系数为0,即有,所以
答:存在使此多项式与x无关,此时的值为3.
【总结】一个多项式不含某项或说与某项无关,都是暗含此多项式中该项的系数为0.
能力拓展
考法01
某商场文具部的某种毛笔每支售价25元,书法练习本每本售价5元.该商场为促销制定了如下两种优惠方式:第一种:买一支毛笔附赠一本书法练习本;第二种:按购买金额打九折付款.八年级(5)班的小明想为本班书法兴趣小组购买这种毛笔10支,书法练习本 x(x≥10)本.
(1)用代数式分别表示两种购买方式应支付的金额.
(2)若小明想为本班书法兴趣小组购买书法练习本30 本,试问小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱.
【点拨】小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱,是由购买的练习本的数量来确定的,把两种方式所应付的钱数,表示成练习本数量的代数式,进而比较代数式的值的大小.
【解析】
解:设买练习本x,则得两种购买方法的代数式为:
(1) 代数式分别为:
25×10+5(x-10),
(25×10+5x) ×90%
(2)把x=30分别代入两个代数式: 25×10+5(x-10) =25×10+5(30-10) =350(元)
(25×10+5x) ×90%=(25×10+5×30) ×90% =360 (元)
所以选择第一种优惠方式.
【总结】本题这一类方案的选择问题是中考中经常出现的题目类型.
考法02
若是同类项,求出m, n的值,并把这两个单项式相加.
【解析】
解:因为是同类项,
所以 解得
当且时,
.
【总结】同类项的定义中强调,除所含字母相同外,相同字母的指数也要相同.其中,常数项也是同类项.合并同类项时,若不是同类项,则不需合并.
考法03
合并同类项.
(1);
(2).
【答案】
(1)原式=
(2)原式
.
考法04
1. 对于任意有理数x,比较多项式与的值的大小.
【解析】
解:
∵
∴无论x为何值,>.
【总结】本题考查整式的加减,解决此类题目的关键是熟记去括号法则,熟练运用合并同类项的法则,这是各地中考的常考点.
2.如果关于x,y的多项式与 的差不含二次项,求的值.
【答案】
解:原式=
=
由题意知,则,
∴.
∴.
分层提分
题组A 基础过关练
1.A、B、C、D均为单项式,则A+B+C+D为( ).
A.单项式 B.多项式
C.单项式或多项式 D.以上都不对
【答案】C
【解析】若A、B、C、D均为同类项,则A、B、C、D的和为单项式,否则为多项式,故选C.
2.下列计算正确的个数 ( )
① ;② ; ③ ;
④ ; ⑤
A.2 B.1 C.4 D.0
【答案】D
3.已知一个单项式的系数是2,次数是3,则这个单项式可以是( )
A.﹣2xy2 B. 3x2 C. 2xy3 D. 2x3
【答案】D.
【解析】此题规定了单项式的系数和次数,但没规定单项式中含几个字母.
A、﹣2xy2系数是﹣2,错误;B、3x2系数是3,错误;C、2xy3次数是4,错误;
D、2x3符合系数是2,次数是3,正确;故选D.
4.有下列式子:,,,,0,,,,对于这些式子下列结论正确的是( ).
A.有4个单项式,2个多项式
B.有5个单项式,3个多项式
C.有7个整式
D.有3个单项式,2个多项式
【答案】A
【解析】单项式有,,0,x;多项式有,,其中,不是整式.
5.对于式子,下列说法正确的是( ).
A.不是单项式
B.是单项式,系数为-1.2×10,次数是7
C.是单项式,系数为-1.2×104,次数是3
D.是单项式,系数为-1.2,次数是3
【答案】 C
【解析】此单项式的系数是以科学记数法形式出现的数,所以系数为-1.2×104,次数应为x与y的指数之和,不包括10的指数4,故次数为3.不要犯“见指数就相加”的错误.所以正确答案为C.
6.现规定一种运算:a * b = ab + a - b,其中a,b为有理数,则3 * 5的值为( ).
A.11 B.12 C.13 D.14
【答案】C
【解析】按规定的运算得:3*5=3×5+3-5=13.
7.化简(n为正整数)的结果为( ).
A.0 B.-2a C.2a D.2a或-2a
【答案】A
【解析】分析两种情况,当n为偶数时,,,当n为奇数时,,,无论哪种情况,结果都是0.
8.已知a-b=-3,c+d=2,则(b+c)-(a-d)为( ).
A.-1 B.-5 C.5 D.1
【答案】C
【解析】(b+c)-(a-d)=b+c-a+d=-a+b+c+d=-(a-b)+(c+d)
当a-b=-3,c+d=2时,原式=-(-3)+2=5,所以选C.
题组B 能力提升练
9. 有理数a,b,c在数轴上的位置如右图所示,则 ( )
A.-2b B.0
C.2c D.2c-2b
【答案】B
10.观察下列关于x的单项式,探究其规律:x,3x2,5x3,7x4,9x5,11x6,…
按照上述规律,第2015个单项式是( )
A.2015x2015 B. 4029x2014 C. 4029x2015 D. 4031x2015
【答案】C
11.如果是关于的二次三项式,那么m,n应满足的条件是( ).
A.m=1,n=5 B.m≠1,n>3
C.m≠-1,n为大于3的整数 D.m≠-1,n=5
【答案】D
【解析】由题意得:n-3=2且m+1≠0,得n=5且m≠-1.
12.若的值为8,则的值是( ).
A.2 B.-17 C.-7 D.7
【答案】C
【解析】,,,故.
13.比x的15%大2的数是________.
【答案】15%x+2;
14.单项式﹣x2y5的次数是 .
【答案】7.
15.是________次________项式,最高次项的系数是________.
【答案】三, 三 , ;
【解析】多项式的次数取决于次数最高项的次数,确定系数时不要忽视前面的“-”号.
16.化简:2a-(2a-1)=________.
【答案】1;
【解析】先根据去括号法则去括号,然后合并同类项即可,2a-(2a-1)=2a-2a+1=1.
17.如果,,那么________.
【答案】5;
【解析】用前式减去后式可得.
18.一个多项式减去3x等于,则这个多项式为________.
【答案】;
【解析】要求的多项式实际上是,化简可得出结果.
19.若与﹣3ab的和为单项式,则m+n= .
【答案】 4;
【解析】解:∵与﹣3ab的和为单项式,
∴2m﹣5=1,n+1=3﹣n,
解得:m=3,n=1.
故m+n=4.
故答案为:4.
题组C 培优拔尖练
20.若﹣2amb4与5a2bn+7是同类项,则m+n= .
【答案】﹣1.
【解析】由﹣2amb4与5a2bn+7是同类项,得,解得.m+n=﹣1.
21. (1)(___________);
(2)2a-3(b-c)=___________.
(3)(________)=7x+8.
【答案】
22.当b=________时,式子2a+ab-5的值与a无关.
【答案】-2
【解析】2a+ab-5=(2+b)a-5.因为式子的值与a无关,故2+b=0,所以b=-2.
23.若,则________.
【答案】-24
【解析】因为与互为相反数,又因为,
所以,由此可得.
24.某服装店打折出售服装,第一天卖出a件,第二天比第一天多12件,第三天是第一天的2倍,则该服装店这三天共卖出服装________件.
【答案】4a+12;
【解析】.
25.当k=__________时,多项式x2-3kxy-3y2-xy-8中不含xy项.
【答案】-;
【解析】,解得.
26.若mn=m+3,则2mn+3m﹣5mn+10= .
【答案】1;
【解析】解:原式=﹣3mn+3m+10,
把mn=m+3代入得:原式=﹣3m﹣9+3m+10=1,
故答案为:1.
27.如图,是用棋子摆成的图案,摆第1个图案需要7枚棋子,摆第2个图案需要19枚棋子,摆第3个图案需要37枚棋子,按照这样的方式摆下去,则摆第6个图案需要 枚棋子,摆第n个图案需要 枚棋子.
…
【答案】127, .
【解析】∵第1个图形需要7=1+6×1枚棋子,
第2个比第1个多12个,即1+6×(1+2)枚,
第3个比第2个多18个,即1+6×(1+2+3)枚,
第4个比第三个多24个,即1+6×(1+2+3+4)=61枚.
……, ∴第n个比第(n-1)个多6n个,即1+6×(1+2+3+4+…+n)=3n2+3n+1枚.
28.合并同类项
①3a﹣2b﹣5a+2b
②(2m+3n﹣5)﹣(2m﹣n﹣5)
③2(x2y+3xy2)﹣3(2xy2﹣4x2y)
【解析】
解:(1)原式=(3a﹣5a)+(﹣2b+2b)=﹣2a;
(2)原式=2m+3n﹣5﹣2m+n+5=(2m﹣2m)+(3n+n)+(﹣5+5)=4n;
(3)原式=2x2y+6xy2﹣6xy2+12x2y=(2x2y+12x2y)+(6xy2﹣6xy2)=14x2y.
29.已知:,,,当时,求代数式的值.
【解析】
解:∵ ∴
∴
当时,
.
30. 计算下式的值:
甲同学把错抄成,但他计算的结果也是正确的,你能说明其中的原因吗?
【解析】
解:
∵化简结果与无关
∴将抄错不影响最终结果.
31.先化简,再求值.
(a2+1)﹣3a(a﹣1)+2(a2+a﹣1),其中a=﹣1.
【解析】
解:原式= a2+1﹣3a2+3a+2a2+2a﹣2=5a﹣1,
当a=﹣1时,
原式=﹣5﹣1=﹣6.
32.已知:为有理数,,求的值.
【解析】
解:
33. 如图所示,用三种大小不同的六个正方形
和一个缺角的正方形拼成长方形ABCD,
其中,GH=2cm, GK=2cm, 设BF=x cm,
(1)用含x的代数式表示CM= cm,
DM= cm.
(2)若x=2cm,求长方形ABCD的面积.
【解析】
解:(1) (或).
(2)长方形的长为:cm, 宽为:cm. 所以长方形的面积为:.
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1、进一步理解用字母表示数的意义,能分析简单问题的数量关系,并用代数式表示.
2、理解代数式的含义,能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义,体会数学与世界的联系.
3、会求代数式的值,能解释值的实际意义,能根据代数式的值推断代数式反映的规律.
4.理解并掌握单项式与多项式的相关概念;
5.理解整式加减的基础是去括号和合并同类项,并会用整式的加减运算法则,熟练进行整式的加减运算、求值;
6.深刻体会本章体现的主要的数学思想----整体思想.
知识精讲
知识点01 要点一、代数式
诸如:16n ,2a+3b ,34 ,,等式子,它们都是用运算符号(+、-、×、÷、乘方、开方)把数和表示数的字母连接而成的,像这样的式子叫做代数式,单独的一个数或一个字母也是代数式.
【微点拨】
代数式的书写规范:
(1)字母与数字或字母与字母相乘时,通常把乘号写成“· ”或省略不写;
(2)除法运算一般以分数的形式表示;
(3)字母与数字相乘时,通常把数字写在字母的前面;
(4)字母前面的数字是分数的,如果既能写成带分数又能写成假分数,一般写成假分数的形式;
(5)如果字母前面的数字是1,通常省略不写.
【即学即练1】
1.做大小两个纸盒,尺规如下(单位:cm)
长
宽
高
小纸盒
a
b
c
大纸盒
3a
2b
2c
(1)做这两个纸盒共用料多少平方厘米?(结果用含a、b、c的代数式表示)
(2)做成的大纸盒比小纸盒的容积大多少立方厘米?(结果用含a、b、c的代数式表示)
【点拨】(1)根据长方体表面积计算公式计算出两个长方体表面积,再相加化简可得;
(2)根据长方体体积计算方法计算出两个长方体体积相减,化简可得.
【解析】
解:(1)根据题意,做两个纸盒需用料2ab+2bc+2ac+12ab+8bc+12ac=14ab+10bc+14ac,
答:做这两个纸盒共用料(14ab+10bc+14ac)平方厘米.
(2)根据表格中数据可知,大纸盒比小纸盒的容积大3a×2b×2c﹣abc=11abc,
答:做成的大纸盒比小纸盒的容积大11abc立方厘米.
【总结】本题主要考查根据实际问题列代数式的能力,准确表示出各部分的面积或体积是关键.
2.的意义是( )
A.a与b差的2倍除以a与b的和
B.a的2倍与b的差除以a与b和的商
C.a的2倍与b的差除a与b的和
D.a与b的2倍的差除以a与b和的商
【答案】B
知识点02 整式的相关概念
1.单项式:由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式,单独的一个数或一个字母也是单项式.
【微点拨】
(1)单项式的系数是指单项式中的数字因数.
(2)单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和.
2.多项式:几个单项式的和叫做多项式.在多项式中,每个单项式叫做多项式的项.
【微点拨】
(1)在多项式中,不含字母的项叫做常数项.
(2)多项式中次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数.
(3)多项式的次数是n次,有m个单项式,我们就把这个多项式称为n次m项式.
3. 多项式的降幂与升幂排列:
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把这个多项式按这个字母降幂排列.另外,把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把这个多项式按这个字母升幂排列.
【微点拨】
(1)利用加法交换律重新排列时,各项应带着它的符号一起移动位置;
(2)含有多个字母时,只按给定的字母进行降幂或升幂排列.
4.整式:单项式和多项式统称为整式.
【即学即练2】
1.指出下列各式中的整式、单项式和多项式,是单项式的请指出系数和次数,是多项式的请说出是几次几项式.
(1) (2)5 (3) (4) (5)3xy (6) (7) (8)1+a% (9)
【解析】
解:整式:(1)、(2)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、(9)
单项式:(2)、(5)、(6),其中:
5的系数是5,次数是0;3xy的系数是3,次数是2;的系数是,次数是1.
多项式:(1)、(4)、(7)、(8)、(9),其中:
是一次二项式;是一次二项式;是一次二项式;1+a%是一次二项式;
是二次二项式.
【总结】①分母中出现字母的式子不是整式,故不是整式;②π是常数而不是字母,故是整式,也是单项式;③(7)、(9)表示的是加、减关系而不是乘积关系,而单项式中不能有加减.如其实质为,其实质为.
2.(1)的次数与系数的和是________;
(2)已知单项式的系数是等于单项式的次数,则m=________;
(3)若是关于a、b的一个五次单项式,且系数为9,则-m+n=________.
【答案】 (1)3 (2)1 (3)-5
3.多项式是________次________项式,常数项是________,三次项是________.
【答案】四,五, 1 ,
4.把多项式按x的降幂排列是________.
【答案】
知识点03 整式的加减
1.同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项.
【微点拨】
辨别同类项要把准“两相同,两无关”:
(1)“两相同”是指:①所含字母相同;②相同字母的指数相同;
(2)“两无关”是指:①与系数无关;②与字母的排列顺序无关.
2.合并同类项:把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.
【微点拨】
合并同类项时,只是系数相加减,所得结果作为系数,字母及字母的指数保持不变.
3.去括号法则:括号前面是“+”,把括号和它前面的“+”去掉后,原括号里各项的符号都不改变;括号前面是“-”,把括号和它前面的“-”号去掉后,原括号里各项的符号都要改变.
4.添括号法则:添括号后,括号前面是“+”,括号内各项的符号都不改变;添括号后,括号前面是“-”,括号内各项的符号都要改变.
5.整式的加减运算法则:几个整式相加减,通常用括号把每一个整式括起来,再用加、减号连接,然后去括号,合并同类项.
【即学即练3】
1.如果单项式﹣xyb+1与xa﹣2y3是同类项,那么(a﹣b)2015= .
【答案】1.
【解析】
解:由同类项的定义可知
a﹣2=1,解得a=3,
b+1=3,解得b=2,
所以(a﹣b)2015=1.
【总结】考查了同类项,要求代数式的值,首先要求出代数式中的字母的值,然后代入求解即可.
2.若与是同类项,则a=________,b=________.
【答案】 5 , 4
3. 计算
【解析】
解法1:
解法2:
【总结】根据多重括号的去括号法则,可由里向外,也可由外向里逐层推进,在计算过程中要注意符号的变化.若括号前是“-”号,在去括号时,括号里各项都应变号,若括号前有数字因数,应把数字因数乘到括号里,再去括号.
4.下列式子中去括号错误的是( ).
A.5x-(x-2y+5z)=5x-x+2y-5z
B.2a2+(-3a-b)-(3c-2d)=2a2-3a-b-3c+2d
C.3x2-3(x+6)=3x2-3x-6
D.-(x-2y)-(-x2+y2)=-x+2y+x2-y2
【答案】C
5.化简:-2a+(2a-1)的结果是( ).
A.-4a-1 B.4a-1 C.1 D.-1
【答案】D
知识点04 化简求值
(1)直接化简代入
1. 已知,,求的值.
(2)条件求值
若与的和是单项式,则________.
(3)整体代入
已知x2-2y=1,那么2x2-4y+3=________.
【解析】
解:(1)5(2x2y-3x)-2(4x-3x2y)
=10x2y-15x-8x+6x2y
=16x2y-23x
当,y=-1时,
原式=.
(2) 由题意知:和是同类项,所以m+5=3,n=2,解得,m=-2,n=2,所以.
(3)因为, 而
所以.
【总结】整体代入的一般做法是对代数式先进行化简,然后找到化简结果与已知条件之间的联系.
2.已知a2+2a=1,则代数式2a2+4a﹣1的值为( )
A.0 B.1 C.﹣1 D.﹣2
【答案】B
3.已知,求的值.
【答案】
所以,原式=.
4.已知多项式是否存在m ,使此多项式与x无关?若不存在,说明理由;若存在,求出m 的值.
【解析】
解:
要使原式与无关,则需该项的系数为0,即有,所以
答:存在使此多项式与x无关,此时的值为3.
【总结】一个多项式不含某项或说与某项无关,都是暗含此多项式中该项的系数为0.
能力拓展
考法01
某商场文具部的某种毛笔每支售价25元,书法练习本每本售价5元.该商场为促销制定了如下两种优惠方式:第一种:买一支毛笔附赠一本书法练习本;第二种:按购买金额打九折付款.八年级(5)班的小明想为本班书法兴趣小组购买这种毛笔10支,书法练习本 x(x≥10)本.
(1)用代数式分别表示两种购买方式应支付的金额.
(2)若小明想为本班书法兴趣小组购买书法练习本30 本,试问小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱.
【点拨】小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱,是由购买的练习本的数量来确定的,把两种方式所应付的钱数,表示成练习本数量的代数式,进而比较代数式的值的大小.
【解析】
解:设买练习本x,则得两种购买方法的代数式为:
(1) 代数式分别为:
25×10+5(x-10),
(25×10+5x) ×90%
(2)把x=30分别代入两个代数式: 25×10+5(x-10) =25×10+5(30-10) =350(元)
(25×10+5x) ×90%=(25×10+5×30) ×90% =360 (元)
所以选择第一种优惠方式.
【总结】本题这一类方案的选择问题是中考中经常出现的题目类型.
考法02
若是同类项,求出m, n的值,并把这两个单项式相加.
【解析】
解:因为是同类项,
所以 解得
当且时,
.
【总结】同类项的定义中强调,除所含字母相同外,相同字母的指数也要相同.其中,常数项也是同类项.合并同类项时,若不是同类项,则不需合并.
考法03
合并同类项.
(1);
(2).
【答案】
(1)原式=
(2)原式
.
考法04
1. 对于任意有理数x,比较多项式与的值的大小.
【解析】
解:
∵
∴无论x为何值,>.
【总结】本题考查整式的加减,解决此类题目的关键是熟记去括号法则,熟练运用合并同类项的法则,这是各地中考的常考点.
2.如果关于x,y的多项式与 的差不含二次项,求的值.
【答案】
解:原式=
=
由题意知,则,
∴.
∴.
分层提分
题组A 基础过关练
1.A、B、C、D均为单项式,则A+B+C+D为( ).
A.单项式 B.多项式
C.单项式或多项式 D.以上都不对
【答案】C
【解析】若A、B、C、D均为同类项,则A、B、C、D的和为单项式,否则为多项式,故选C.
2.下列计算正确的个数 ( )
① ;② ; ③ ;
④ ; ⑤
A.2 B.1 C.4 D.0
【答案】D
3.已知一个单项式的系数是2,次数是3,则这个单项式可以是( )
A.﹣2xy2 B. 3x2 C. 2xy3 D. 2x3
【答案】D.
【解析】此题规定了单项式的系数和次数,但没规定单项式中含几个字母.
A、﹣2xy2系数是﹣2,错误;B、3x2系数是3,错误;C、2xy3次数是4,错误;
D、2x3符合系数是2,次数是3,正确;故选D.
4.有下列式子:,,,,0,,,,对于这些式子下列结论正确的是( ).
A.有4个单项式,2个多项式
B.有5个单项式,3个多项式
C.有7个整式
D.有3个单项式,2个多项式
【答案】A
【解析】单项式有,,0,x;多项式有,,其中,不是整式.
5.对于式子,下列说法正确的是( ).
A.不是单项式
B.是单项式,系数为-1.2×10,次数是7
C.是单项式,系数为-1.2×104,次数是3
D.是单项式,系数为-1.2,次数是3
【答案】 C
【解析】此单项式的系数是以科学记数法形式出现的数,所以系数为-1.2×104,次数应为x与y的指数之和,不包括10的指数4,故次数为3.不要犯“见指数就相加”的错误.所以正确答案为C.
6.现规定一种运算:a * b = ab + a - b,其中a,b为有理数,则3 * 5的值为( ).
A.11 B.12 C.13 D.14
【答案】C
【解析】按规定的运算得:3*5=3×5+3-5=13.
7.化简(n为正整数)的结果为( ).
A.0 B.-2a C.2a D.2a或-2a
【答案】A
【解析】分析两种情况,当n为偶数时,,,当n为奇数时,,,无论哪种情况,结果都是0.
8.已知a-b=-3,c+d=2,则(b+c)-(a-d)为( ).
A.-1 B.-5 C.5 D.1
【答案】C
【解析】(b+c)-(a-d)=b+c-a+d=-a+b+c+d=-(a-b)+(c+d)
当a-b=-3,c+d=2时,原式=-(-3)+2=5,所以选C.
题组B 能力提升练
9. 有理数a,b,c在数轴上的位置如右图所示,则 ( )
A.-2b B.0
C.2c D.2c-2b
【答案】B
10.观察下列关于x的单项式,探究其规律:x,3x2,5x3,7x4,9x5,11x6,…
按照上述规律,第2015个单项式是( )
A.2015x2015 B. 4029x2014 C. 4029x2015 D. 4031x2015
【答案】C
11.如果是关于的二次三项式,那么m,n应满足的条件是( ).
A.m=1,n=5 B.m≠1,n>3
C.m≠-1,n为大于3的整数 D.m≠-1,n=5
【答案】D
【解析】由题意得:n-3=2且m+1≠0,得n=5且m≠-1.
12.若的值为8,则的值是( ).
A.2 B.-17 C.-7 D.7
【答案】C
【解析】,,,故.
13.比x的15%大2的数是________.
【答案】15%x+2;
14.单项式﹣x2y5的次数是 .
【答案】7.
15.是________次________项式,最高次项的系数是________.
【答案】三, 三 , ;
【解析】多项式的次数取决于次数最高项的次数,确定系数时不要忽视前面的“-”号.
16.化简:2a-(2a-1)=________.
【答案】1;
【解析】先根据去括号法则去括号,然后合并同类项即可,2a-(2a-1)=2a-2a+1=1.
17.如果,,那么________.
【答案】5;
【解析】用前式减去后式可得.
18.一个多项式减去3x等于,则这个多项式为________.
【答案】;
【解析】要求的多项式实际上是,化简可得出结果.
19.若与﹣3ab的和为单项式,则m+n= .
【答案】 4;
【解析】解:∵与﹣3ab的和为单项式,
∴2m﹣5=1,n+1=3﹣n,
解得:m=3,n=1.
故m+n=4.
故答案为:4.
题组C 培优拔尖练
20.若﹣2amb4与5a2bn+7是同类项,则m+n= .
【答案】﹣1.
【解析】由﹣2amb4与5a2bn+7是同类项,得,解得.m+n=﹣1.
21. (1)(___________);
(2)2a-3(b-c)=___________.
(3)(________)=7x+8.
【答案】
22.当b=________时,式子2a+ab-5的值与a无关.
【答案】-2
【解析】2a+ab-5=(2+b)a-5.因为式子的值与a无关,故2+b=0,所以b=-2.
23.若,则________.
【答案】-24
【解析】因为与互为相反数,又因为,
所以,由此可得.
24.某服装店打折出售服装,第一天卖出a件,第二天比第一天多12件,第三天是第一天的2倍,则该服装店这三天共卖出服装________件.
【答案】4a+12;
【解析】.
25.当k=__________时,多项式x2-3kxy-3y2-xy-8中不含xy项.
【答案】-;
【解析】,解得.
26.若mn=m+3,则2mn+3m﹣5mn+10= .
【答案】1;
【解析】解:原式=﹣3mn+3m+10,
把mn=m+3代入得:原式=﹣3m﹣9+3m+10=1,
故答案为:1.
27.如图,是用棋子摆成的图案,摆第1个图案需要7枚棋子,摆第2个图案需要19枚棋子,摆第3个图案需要37枚棋子,按照这样的方式摆下去,则摆第6个图案需要 枚棋子,摆第n个图案需要 枚棋子.
…
【答案】127, .
【解析】∵第1个图形需要7=1+6×1枚棋子,
第2个比第1个多12个,即1+6×(1+2)枚,
第3个比第2个多18个,即1+6×(1+2+3)枚,
第4个比第三个多24个,即1+6×(1+2+3+4)=61枚.
……, ∴第n个比第(n-1)个多6n个,即1+6×(1+2+3+4+…+n)=3n2+3n+1枚.
28.合并同类项
①3a﹣2b﹣5a+2b
②(2m+3n﹣5)﹣(2m﹣n﹣5)
③2(x2y+3xy2)﹣3(2xy2﹣4x2y)
【解析】
解:(1)原式=(3a﹣5a)+(﹣2b+2b)=﹣2a;
(2)原式=2m+3n﹣5﹣2m+n+5=(2m﹣2m)+(3n+n)+(﹣5+5)=4n;
(3)原式=2x2y+6xy2﹣6xy2+12x2y=(2x2y+12x2y)+(6xy2﹣6xy2)=14x2y.
29.已知:,,,当时,求代数式的值.
【解析】
解:∵ ∴
∴
当时,
.
30. 计算下式的值:
甲同学把错抄成,但他计算的结果也是正确的,你能说明其中的原因吗?
【解析】
解:
∵化简结果与无关
∴将抄错不影响最终结果.
31.先化简,再求值.
(a2+1)﹣3a(a﹣1)+2(a2+a﹣1),其中a=﹣1.
【解析】
解:原式= a2+1﹣3a2+3a+2a2+2a﹣2=5a﹣1,
当a=﹣1时,
原式=﹣5﹣1=﹣6.
32.已知:为有理数,,求的值.
【解析】
解:
33. 如图所示,用三种大小不同的六个正方形
和一个缺角的正方形拼成长方形ABCD,
其中,GH=2cm, GK=2cm, 设BF=x cm,
(1)用含x的代数式表示CM= cm,
DM= cm.
(2)若x=2cm,求长方形ABCD的面积.
【解析】
解:(1) (或).
(2)长方形的长为:cm, 宽为:cm. 所以长方形的面积为:.