第18讲 平面图形-七年级数学上册同步精品讲义（华师大版）

第18讲 基本平面图形

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1.理解多边形的概念；
2.掌握多边形内角和与外角和公式；
3.灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.
知识精讲


知识点01 多边形的概念
1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．
2．相关概念：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．

凸多边形
凹多边形
3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形。如图：



【微点拨】
(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为；
(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．
【即学即练1】观察下面图形，解答下列问题：

（1）观察规律，把下表填写完整：

（2）若一个多边形的内角和为1440°，求这个多边形的边数和对角线的条数．
【点拨】（1）过n边形的一个顶点可画出（n﹣3）条对角线，那么过n个顶点可以画出n（n﹣3）条对角线，根据两点确定一条直线，再把所得结果除以2即可求得多边形的对角线的总条数；（2）根据内角和公式可得多边形的边数，把边数代入（1）得到的公式即可求得相应的对角线条数．
【解析】
解：（1）9,14，.
（2）设多边形的边数为n．
则（n﹣2）×180=1440，
解得n=10．
∴对角线的条数为：=35（条）．
【总结】主要考查三角形的内角和公式及n边形对角线的条数的规律．根据一个顶点处的对角线条数得到n边形对角线的条数的相应规律是解决本题的难点．

知识点02 多边形内角和定理
n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
【微点拨】
(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；
【即学即练2】如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

【思路】由于∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的度数都不能直接求出．因此求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的结果只能实施整体求值．
【解析】

解：连接DE，用对顶三角形的性质，可得∠A+∠B＝∠BED+∠ADE，
所以∠A+∠B+∠C+∠ADC+∠BEF+∠F
＝∠BED+∠ADE+∠C+∠ADC+∠BEF+∠F
＝∠C+∠EDC+∠FED+∠F．
因为四边形CDEF的内角和为360°，
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．
【总结】如图所示为对顶三角形．利用∠A+∠B＝∠C+∠D“转移”角．

【即学即练5】已知n边形的内角和θ=（n﹣2）×180°．
（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由；
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．
【点拨】（1）根据多边形内角和公式可得n边形的内角和是180°的倍数，依此即可判断，再根据多边形内角和公式即可求出边数n；
（2）根据等量关系：若n边形变为（n+x）边形，内角和增加了360°，依此列出方程，解方程即可确定x．
【答案】D
【解析】解：（1）∵360°÷180°=2，
630°÷180°=3…90°，
∴甲的说法对，乙的说法不对，
360°÷180°+2
=2+2
=4．
答：甲同学说的边数n是4；
（2）依题意有：（n+x﹣2）×180°﹣（n﹣2）×180°=360°，
解得x=2．
故x的值是2．
【总结】此问题比较抽象，可以利用四边形类比发现其规律，然后再推广到一般．
知识点03 多边形的外角和
多边形的外角和为360°．
【微点拨】
(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；
(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于；
(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．
【即学即练4】科研人员为某机器人编制了一段程序，如果机器人在平地上按照图中的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为 ( )
A．6米 B．8米 C．12米 D．不能确定

【答案】C
【解析】
解析：先按照程序的步骤画图(如图所示)，发现一次转弯后不能回到出发点，从画出的图形，可以发现要使机器人回到点A处，那么机器人走过的路径应该是一个多边形，每次转弯的角就是这个多边形的外角．利用多边形的外角和为360°，而30°×12＝360°，所以经过12次转弯即可到达点A处．又因为每次走1米，所以该机器人所走的总路程为12米．
【总结】解决此题的关键同样是把生活实际问题转化为数学问题，在散步之中感悟数学知识．其中蕴含了多边形的外角和为360°的有关知识．本例为“设计程序”类考题，读懂程序，画出图形，理解很重要．
能力拓展


考法01
1.如图，四边形ABCD中，∠B＝40°，沿直线MN剪去∠B，则所得五边形AEFCD中，∠1+∠2＝ 。

【答案】220°
2.（1）如图，延长凸五边形A1A2A3A4A5的各边相交得到5个角，∠B1，∠B2，∠B3，∠B4，∠B5，求∠B1+∠B2+∠B3+∠B4+∠B5的度数；
（2）若延长凸n边形A1A2…An的各边得n个角，则得到n个角的和等于　 　．

【答案】解：（1）如图，
∵∠1=∠B2+∠B4，∠2=∠B1+∠B3，
∵∠1+∠2+∠B5=180°，
∴∠B1+∠B2+∠B3+∠B4+∠B5=180°；

（2）若延长凸n边形A1A2…An的各边得n个角，
则得到n个角的和=（n﹣2）•180°﹣n•180°+（n﹣2）•180°=（n﹣4）•180°．
故答案为（n﹣4）•180°．

3.（1）一个凸多边形的内角和与它的一个外角的和为2005º，求多边形的边数。
（2）如果一个凸多边形，除了一个内角以外，其它内角的和为2570°，求这个没有计算在内的内角的度数.
【答案】（1）用2005÷180=11余25，n-2=11，n=13．
（2）用2570÷180=14余50，180o-50o =130o
4.若多边形最多有四个钝角，那么此多边形的边数最多是______.
【答案】七
5.如图所示是某厂生产的一块模板，已知该模板的边AB∥CF，CD∥AE. 按规定AB、CD的延长线相交成80°角，因交点不在模板上，不便测量. 这时师傅告诉徒弟只需测一个角，便知道AB、CD的延长线的夹角是否合乎规定，你知道需测那一个角吗？说明理由.

【答案】
解：测∠A或∠C的度数，只需∠A=100°或∠C=100°，
即知模板中AB、CD的延长线的夹角是否符合规定.
理由如下：连接AF，∵AB∥CF，
∴∠BAF+∠AFC=180°.
又∵∠EAF+∠E+∠AFE=180°，
∴∠BAE+∠E+∠EFC=360°.
若∠C=100°，
则AB、CD的延长线的夹角=540°－ 360°－ 100°= 80°，
即符合规定.
同理：若连接CE，可得∠AEF+∠F+∠DCF=360°.
若∠A=100°，则也符合规定.

分层提分


题组A 基础过关练
1．从n边形的一个顶点出发共有对角线( )
A．(n-2)条 B．(n-3)条
C．(n-1)条 D．(n-4)条
【答案】B
2．若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是（　　）
　 A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】C；
【解析】解：∵360÷40=9，
∴这个多边形的边数是9．
故选：C
3．下列图形中，是正多边形的是( )
A．三条边都相等的三角形
B．四个角都是直角的四边形
C．四边都相等的四边形
D．六条边都相等的六边形
【答案】A；
【解析】正多边形：各边都相等，各角都相等
4．六边形的内角和是（ ）
A．540° B．720° C．900° D．360°
【答案】B；
【解析】(6-2)×180°=720°.
5．一个多边形的内角和与外角和之和为2520°，这个多边形的边数为 ( )
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】C；
【解析】由，解得：
6．当多边形的边数增加1时，它的内角和与外角和 ( )
A．都不变
B．内角和增加180°，外角和不变
C．内角和增加180°，外角和减少180°
D．都增加180°
【答案】B；
【解析】当多边形的边数增加1时，内角和增加180°，外角和不变
7．如图所示，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为( )

A．135° B．240° C．270° D．300°
【答案】C.


题组B 能力提升练
8．过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成6个三角形，这个多边形的边数为 ( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
9．一个多边形的内角和超过640°，则此多边形边数的最小值是 ( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B；
【解析】(提示：假设内角和是640°的多边形的边数为n，则有(n-2)·180＝640，解得，因为多边形的内角和越大，其边数也越大，故当多边形的内角和超过640°时，其边数，因为n是正整数，所以其最小值是6．)
10．如果一个多边形的每一个外角都是锐角，那么这个多边形的边数一定不小于 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C；
【解析】(提示：因为每个外角都是锐角，即小于90°，设边数为n，则这些锐角的和一定小于n×90°，而外角和为360°，所以360°＜n×90°，即n不小于5．)
11．一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（　　）
　 A． 27 B． 35 C． 44 D． 54
【答案】C；
【解析】解：设这个内角度数为x，边数为n，
∴（n﹣2）×180°﹣x=1510，
180n=1870+x，
∵n为正整数，
∴n=11，
∴=44，
故选：C．
12．利用边长相等的正三角形和正六边形的地砖镶嵌地面时，在每个顶点周围有a块正三角形和b块正六边形的地砖(ab≠0)，同a+b的值为 ( )
A．3或4 B．4或5 C．5或6 D．4
【答案】B；
【解析】(提示：根据正多边形镶嵌的条件，在每个顶点处各正多边形的内角之和为360°，得60°·a+120°·b＝360°，即a+2b＝6，即a＝6-2b，因ab≠0，且a，b均为正整数，所以当b＝1或2，b＝1时，a＝4，a+b＝5；当b＝2时，a＝2，a+b＝4，故选B．)
13．如图所示，已知长方形ABCD，一条直线将该长方形ABCD分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N不可能是 ( )

A．360° B．540° C．720° D．630°
【答案】D
14. 如图的七边形ABCDEFG中，AB、DE的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？（　　）

A．40 B．45 C．50 D．60
【答案】A；
【解析】解：延长BC交OD与点M，如图所示．
∵多边形的外角和为360°，
∴∠OBC+∠MCD+∠CDM=360°﹣220°=140°．
∵四边形的内角和为360°，
∴∠BOD+∠OBC+180°+∠MCD+∠CDM=360°，
∴∠BOD=40°．
故选A．
15.一个多边形的内角中,锐角的个数最多有 个.
【答案】3.
16.如图，国旗上的五角星的五个角的度数是相同的，每一个角的度数都是 .

【答案】36°；
【解析】将五角星的五个角转移到一个三角形中，由三角形内角和定理以及五角星的各个角都相等，即可求出各个角的度数.
17．若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是　 　．
【答案】9；
【解析】解：∵正多边形的一个内角是140°，
∴它的外角是：180°﹣140°=40°，
360°÷40°=9．
故答案为：9．
18．将一块正六边形硬纸片(如图(1))，做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒(侧面均垂直于底面，如图(2))，需在每一个顶点处剪去一个四边形，如图(1)中的四边形，那么的度数是________．

【答案】60°
19. 将一个宽度相等且足够长的纸条打一个结，如图(1)，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图(2)所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC＝________．

【答案】36°
20. 用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各板完全吻合，如果其中两块木板的边数都是5，则第三块木板的边数是________．
【答案】10
题组C 培优拔尖练

21．已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，求此多边形的边数．
【解析】
解：设多边形的边数为n，根据题意，有：
n＝2(n-3)，
解得n＝6，
故这个多边形的边数为6．
22．如图所示，根据图中的对话回答问题．

问题：(1)王强是在求几边形的内角和?
(2)少加的那个内角为多少度?
【解析】
解：(1)因为1140°÷180°＝，故王强求的是九边形的内角和；
(2)少加的内角的度数为(9-2)·180°-1140°＝120°．
23．一个多边形，除了一个内角之外，其余内角之和为2680°，求这个内角的大小．
【解析】
解：设多边形的边数为x，由题意有
（x﹣2）•180=2680，
解得x=16，
因而多边形的边数是17，
则这一内角为（17﹣2）×180°﹣2680°=20°．
24.如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠1=∠2=60°，AB与DE有怎样的位置关系？AD与BC有怎样的位置关系？为什么？

【解析】
解：AB∥DE，AD∥BC，
∵六边形ABCDEF的内角都相等，
∴六边形ABCDEF的每一个内角都相等120°，
∴∠EDC=∠FAB=120°，
∵∠1=∠2=60°，
∴∠EDA=∠DAB=60°，
∴AB∥DE，
∵∠C=120°，∠2=60°，
∴∠2+∠C=180°，
∴AD∥BC．
25.一个多边形除一个内角外，其余各内角之和是2570°，求这一内角的度数．
【解析】
解：设这一内角为x°，多边形的边数为n，则2570°+x°＝(n-2)·180°，
，因为n是正整数，所以x必须等于130．
∴ 这一内角度数为130°；

26. 附加题：
探究题：我们知道等腰三角形的两个底角相等，如下面每个图中的△ABC中AB、BC是两腰，所以∠BAC=∠BCA．利用这条性质，解决下面的问题：
已知下面的正多边形中，相邻四个顶点连接的对角线交于点O它们所夹的锐角为a．如图：
正五边形α=　 　； 正六边形α=　 ； 正八边α=　 　；
当正多边形的边数是n时，α=　 　．
【解析】
解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，
∴∠BEA=∠ACB==36°，
∴∠CAE=108°﹣36°=72°，
∴α5=180°﹣∠EAO﹣∠AOE=72°；
同理：α6=60°，α8=45°，
当正多边形的边数是n时，α=．