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2022-2023学年山东省济宁市高二（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年山东省济宁市高二（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省济宁市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合M={x|2x−1>0},N={x| x<2}，则M∩N=( )
A. {x|0≤x<4} B. {x|12
C. ∀x∈R，2x
A. −3 B. −1 C. 3 D. −1或3
4. 设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1=1且an+1=2Sn+1，则a5=( )
A. 101 B. 81 C. 32 D. 16
5. 已知曲线f(x)=e2ax在点(0,f(0))处的切线与直线2x−y+3=0垂直，则a=( )
A. −2 B. −1 C. −14 D. 1
6. “a<0“是“函数f(x)=log12(ax+2)在区间(−∞,1]上单调递增”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知甲袋中装有m个红球，n个白球，乙袋中装有3个红球，4个白球，先从甲袋中任取1球放入乙袋中，再从乙袋中任取出1球，若取出的是红球的概率为1532，则从甲袋中任取一个球，取出的是红球的概率为( )
A. 14 B. 13 C. 34 D. 45
8. 已知函数f(x)的定义域为R，∀x1，x2∈R都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0(x1≠x2)，函数g(x)=f(x)−1.且g(x)为奇函数，则不等式f(m2)+f(2m−3)>2的解集为( )
A. (−3,1) B. (−1,3)
C. (−∞,−3)∪(1,+∞) D. (−∞,−1)∪(3,+∞)
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列结论中正确的是( )
A. 样本相关系数r的绝对值越接近1，则成对样本数据的线性相关程度越强
B. 样本相关系数r的绝对值越接近0，则成对样本数据的线性相关程度越弱
C. 已知变量x，y具有线性相关关系，在获取的成对样本数据(x1,y1)，(x2,y2)，⋯，(xn,yn)中，x1，x2，⋯，xn和y1，y2，⋯，yn的均值分别为x−和y−，则点(x−,y−)必在其经验回归直线上
D. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越宽，说明模型的拟合效果越好
10. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加演出，下列说法中正确的是( )
A. 若甲不在正中间，则不同的排列方式共有96种
B. 若甲、乙、丙三人互不相邻，则不同的排列方式共有6种
C. 若甲、丙、丁从左到右的顺序一定，则不同的排列方式共有20种
D. 若甲不在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有24种
11. 已知a>0，b>0，则下列条件中可以使得1a+1b的最小值为4的是( )
A. ab=1 B. a+b=1
C. 1 a+1 b=2 2 D. 1a2+1b2=8
12. 已知函数f(x)=lnxx，g(x)=xex，则下列说法中正确的是( )
A. f(2)>f(3) B. 函数f(x)与函数g(x)有相同的最大值
C. f(2)>g(2) D. 方程f(x)=g(x)有且仅有一个实数根
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 某次数学考试中，学生成绩X∼N(110,σ2)，若P(95≤X≤125)=0.72，则P(X>125)= ______ ．
14. (3x−2x)4的展开式中，常数项是______ ．
15. 已知函数f(x)=x2+1,x≤0f(x−2),x>0,则f(2023)= ______ ．
16. 如图1，抛物线上任意两点连接所得的弦与抛物线围成一个弓形区域，求抛物线弓形区域的面积是古希腊数学家阿基米德最优美的成果之一，阿基米德的计算方法是：将弓形区域分割成无数个三角形，然后将所有三角形的面积加起来就可以得到弓形区域的面积.第一次分割，如图2，在弓形区域里以AB为底边分割出一个三角形ABC1，确保过顶点C1的抛物线E的切线与底边AB平行，△ABC1称为一级三角形；第二次分割，如图3，以△ABC1两个边AC1，BC1为底边，在第一次分割得到的两个弓形区域继续分割出两个三角形△C21AC1，△C22BC1，确保过顶点C21，C22的抛物线E的切线分别与AC1，BC1平行，△C21AC1，△C22BC1，都称为二级三角形；重复上述方法，继续分割新产生的弓形区域……，借助抛物线几何性质，阿基米德计算得出任意一级的所有三角形的面积都相等，且每个三角形的面积都是其上一级的一个三角形面积的18.设抛物线E的方程为y=4−x2，直线AB的方程为y=x+2，请你根据上述阿基米德的计算方法，求经过n次分割后得到的所有三角形面积之和为______ ．
图1
图2
图3
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3+a7=18，S7=49．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=an+2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
18. (本小题12.0分)
为研究在校学生每天玩手机时间是否大于1小时和学生近视之间的关联性，某视力研究机构采取简单随机抽样的方法，调查了2000名在校学生，得到成对样本观测数据，样本中有40%的学生近视，有20%的学生每天玩手机超过1小时，而每天玩手机超过1小时的学生近视率为50%．
(1)根据上述成对样本观测数据，完成如表2×2列联表，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析每天玩手机时间是否超过1小时会不会影响视力．
每天玩手机时间
视力情况
合计
近视
不近视
超过1小时
_____
_____
_____
不足1小时
_____
_____
_____
合计
_____
_____
2000
(2)从近视的学生中随机抽取8人，其中每天玩手机时间超过1小时的2人，不超过1小时的6人，现从8人中随机选出3人，设3人中每天玩手机时间超过1小时的学生人数为X，求随机变量X的分布列．
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
参考数据；如表是χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
19. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=x2−2|x−a|+1．
(1)若函数f(x)为偶函数，求a的值；
(2)当a>0时，若函数f(x)在[0,2]上的最小值为0，求a的值．
20. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=ax2+x+1−3lnxa(a>0)．
(1)若x=1是函数f(x)的极值点，求a的值；
(2)若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围．
21. (本小题12.0分)
甲乙两名同学玩“猜硬币，向前进”的游戏，规则是：每一局抛一次硬市，甲乙双方各猜一个结果，要求双方猜的结果不能相同，猜对的一方前进2步，猜错的一方后退1步，游戏共进行n(n∈N*)局，规定游戏开始时甲乙初始位置一样．
(1)当n=3时，设游戏结束时甲与乙的步数差为X，求随机变量X的分布列；
(2)游戏结束时，设甲与乙的步数差为Y，求E(Y)，D(Y)(结果用n表示)．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=aex2−x．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设函数g(x)=xlnx−12x2，若对任意x∈(0,+∞)，不等式f(x)
1.【答案】C
【解析】解：根据题意可得：
M={x|x>12}，N={x|0≤x<4}，
∴M∩N={x|12
先化简再运算，即可求解．
本题考查集合的基本运算，属基础题．
2.【答案】D
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题“∃x0∈R,2x0
直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵幂函数f(x)=(m2−2m−2)xm在(0,+∞)上单调递减，
∴m2−2m−2=1m<0，
解得m=−1．
故选：B．
利用幂函数的定义和性质直接求解．
本题考查幂函数的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由an+1=2Sn+1可知当n≥2时有an=2Sn−1+1，
二式相减得an+1−an=2an，即an+1=3an，
所以数列{an}是以a1为首项，3为公比的等比数列，
所以an=3n−1，
所以a5=35−1=81．
故选：B．
由an+1=2Sn+1推出an+1与an之间的关系从而得出数列{an}的通项公式．
本题主要考查等比数列相关性质，属中档题．
5.【答案】C
【解析】解：由f(x)=e2ax，得f′(x)=2ae2ax，
∴f′(0)=2a，
∵曲线f(x)=e2ax在点(0,f(0))处的切线与直线2x−y+3=0垂直，
∴2a=−12，可得a=−14．
故选：C．
求出原函数的导函数，得到函数在x=0时的导数值，再由两直线垂直与斜率的关系列式求解a值．
本题考查导数的几何意义及应用，考查两直线垂直与斜率的关系，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：由于y=log12x是递减函数，所以若函数f(x)=log12(ax+2)在区间(−∞,1]上单调递增，
则ax+2随着x的增大而减小，即a<0，令a+2>0，得a>−2，
综上所述，a的取值范围为−2
若a小于0，则不一定有函数f(x)=log12(ax+2)在区间(−∞,1]上单调递增，比如a=−2，函数f(x)就取不到x=1，所以“a<0“是“函数f(x)=log12(ax+2)在区间(−∞,1]上单调递增”的不充分条件，
所以“a<0“是“函数f(x)=log12(ax+2)在区间(−∞,1]上单调递增”的必要不充分条件．
故选：A．
由于y=log12x是递减函数，所以若函数f(x)=log12(ax+2)在区间(−∞,1]上单调递增，则a必小于0，反之若a小于0，不一定有函数f(x)=log12(ax+2)在区间(−∞,1]上单调递增，函数的定义域可能达不到(−∞,1]．
本题主要考查对数函数的定义域和增减性，属中档题．
7.【答案】C
【解析】解：先从甲袋中任取1球放入乙袋，有两种情况，
第一种，抽到红球放入，最后取出红球的概率为：mm+n×3+18=4m8(m+n)，
第二种，未抽到红球放入，最后抽到红球的概率为：nm+n×38=3n8(m+n)，
又4m8(m+n)+3n8(m+n)=1532，可得m=3n，
则从甲袋中任取一个球，取出的是红球的概率为mm+n=34．
故选：C．
根据概率的可加原则，分别计算两种情况的概率，找到m、n的关系，然后求解即可．
本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：因为函数f(x)的定义域为R，∀x1，x2∈R都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0(x1≠x2)，
假设x1
所以f(x)在R上单调递减，
又因为g(x)=f(x)−1为奇函数，
所以g(x)+g(−x)=0，
即f(x)−1+f(−x)−1=0，
所以f(x)+f(−x)=2，
所以f(−x)=2−f(x)，
所以f(m2)+f(2m−3)>2⇔f(m2)>2−f(2m−3)=f(−2m+3)，
所以m2<−2m+3⇔m2+2m−3<0⇔(m+3)(m−1)<0，
解得−3
由题意可得f(x)在R上单调递减，由g(x)为奇函数，可得f(−x)=2−f(x)，将原不等式转化为f(m2)>f(−2m+3)，则有m2+2m−3<0，求解即可．
本题考查了函数的奇偶性、单调性、转化思想及一元二次不等式的解法，属于中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：对于选项A，B，由样本相关系数r的定义可知，r的绝对值越接近于1时，样本数据线性相关程度越强，反之亦然，故A，B正确；
根据线性回归方程的性质，中心点(x−,y−)必在其经验回归直线上，故C正确；
在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明拟合效果越好，故D错误．
故选：ABC．
根据相关系数的定义，线性回归方程的性质以及残差的定义可解．
本题考查相关系数的定义，线性回归方程的性质以及残差的定义，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若甲不在正中间，甲有4个位置可选，剩下4人全排列，有A44种情况，则有4A44=96种排列方式，A正确；
对于B，先排好其他2人，排好后有3个空位，在其中安排甲、乙、丙三人，有A22A33=12种排列方式，B错误；
对于C，在5个位置中，任选3个，按从左到右的顺序安排甲、乙、丙三人，再将剩下的2人全排列，有C53A22=20种排列方式，C正确；
对于D，丙和丁相邻，把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有A22A44=48种排法，
其中甲站在两端的情况有C21A33A22=24种排法，
∴甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有48−24=24种，D正确．
故选：ACD．
根据题意，由排列组合数公式依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：对于A，由a>0，b>0，ab=1可得21a+1b≤ ab=1，
即1a+1b≥2，当且仅当a=b=1时等号成立，
所以此时1a+1b的最小值为2，A错误；
对于B，由a>0，b>0，a+b=1可得21a+1b≤a+b2=12，
即1a+1b≥4，当且仅当a=b=12时等号成立，
所以此时1a+1b的最小值为4，B正确；
对于C，由a>0，b>0，1 a+1 b=2 2可得1a+1b=(1 a+1 b)2−21 a×1 b≥8−(1a+1b)，
即2(1a+1b)≥8，即1a+1b≥4，当且仅当a=b=12时等号成立，C正确；
对于D，由a>0，b>0，1a2+1b2=8可得(1a+1b)2−21a×1b=8，
所以有(1a+1b)2−2(1a+1b2)2≤(1a+1b)2−21a×1b=8，
即12(1a+1b)2≤8，即(1a+1b)2≤16，即1a+1b≤4，当且仅当a=b=12时等号成立，
所以此时1a+1b的最大值为4，D错误．
故选：BC．
结合基本不等式对各选项进行分析即可．
本题主要考查基本不等式，对各式进行适当的变形是解决本题的关键，属中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：已知f(x)=lnxx，函数定义域为(0,+∞)，
可得f′(x)=1−lnxx2，
当00，f(x)单调递增；
当x>e时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(3)>f(4)，
又f(4)=ln44=ln22=f(2)，
所以f(3)>f(2)，故选项A错误；
易知当x=e时，函数f(x)取得极大值也是最大值，最大值f(e)=1e，
已知g(x)=xex，函数定义域为R，
可得g′(x)=1−xex，
当x<1时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x>1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以当x=1时，函数g(x)取得极大值也是最大值，最大值g(1)=1e，
作出函数图象如下所示：
因为f(e)=g(1)，
所以函数f(x)与函数g(x)有相同的最大值，故选项B正确；
若f(2)>g(2)，
此时ln22=ln44>2e2=lne2e2，
即ln44>lne2e2，
易知当x>e时，函数f(x)单调递减，
因为e2>4，
所以ln44>lne2e2成立，
则f(2)>g(2)，故选项C正确；
由图象知函数f(x)与g(x)的图象在(0,e]上有且仅有一个交点，
当x>e时，不妨设f(x)>g(x)，
即lnxx>xex=lnexex，
易知当x>e时，函数f(x)单调递减，且ex>x恒成立，
所以f(x)>g(x)在x∈(e,+∞)上恒成立，
综上，方程f(x)=g(x)有且仅有一个实数根，故选项D正确．
故选：BCD．
由题意，对函数f(x)进行求导，利用导数得到函数f(x)的单调性，结合对数的运算性质即可判断选项A；对函数g(x)进行求导，利用导数得到函数g(x)的单调性和最值，结合函数f(x)的最值进行比较即可判断选项B；结合对数的运算性质将f(2)>g(2)转化成ln44>lne2e2，根据函数f(x)的单调性以及e2>4即可判断选项C；作出函数图象，利用数形结合可知函数f(x)与g(x)的图象在(0,e]上有且仅有一个交点，再证当x>e时，f(x)>g(x)恒成立，进而即可判断选项D．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值以及函数零点问题，考查了逻辑推理、转化思想、数形结合和运算能力．
13.【答案】0.14
【解析】解：因为某次数学考试中，学生成绩X∼N(110,σ2)，
则μ=110，即曲线关于μ=110对称，
又P(95≤X≤125)=0.72，
则P(X>125)=12×(1−0.72)=0.14．
故答案为：0.14．
根据正态分布曲线的对称性可解．
本题考查正态分布曲线的对称性，属于基础题．
14.【答案】−8
【解析】解：二项式(3x−2x)4的展开式的通项公式为
Tr+1=∁4r⋅(3x)4−r⋅(−2)r⋅x−r=∁4r⋅(−2)r⋅x4−4r3．
令x的幂指数4−4r3=0，解得r=1，
∴展开式中的常数项为：
T2=∁41⋅(−2)1=−8．
故答案为：−8．
写出二项式展开式的通项公式，令x的指数等于0求得r的值，再求展开式中的常数项．
本题主要考查了二项式定理的应用问题，利用二项式展开式的通项公式求常数项，是中档题．
15.【答案】2
【解析】解：∵函数f(x)=x2+1,x≤0f(x−2),x>0,
∴f(2023)=f(1)=f(−1)=(−1)2+1=2．
故答案为：2．
由函数的周期性推导出f(2023)=f(1)=f(−1)=(−1)2+1=2，由此能求出结果．
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】92[1−(14)n]
【解析】解：y=4−x2，y′=−2x，
设与直线AB平行的抛物线E的切线的切点为C1(x0,4−x02)，
则−2x0=1，解得x0=−12，所以C1(−12,154)，
所以点C1(−12,154)到直线AB的距离为d=|−12−154+2| 2=9 28，
由y=x+2y=4−x2，解得x=−2y=0或x=1y=3，
所以|AB|=3 2，
所以S△ABC1=12|AB|×d=12×3 2×9 28=278，
根据规律，每一级三角形的个数是上一级个数的2倍，
每一级三角形的面积是上一级的面积的18，
则每一级三角形的面积Sn=278×2n−1×(18)n−1=278×(14)n−1，
故经过n次分割后得到的所有三角形面积之和为：
S=278×[1+14+(14)2+⋯+(14)n−1]=278×1−(14)n1−14=92[1−(14)n]．
故答案为：92[1−(14)n]．
理解新定义的概念，先找到一级三角形的面积S△ABC1=278，再根据三角形面积的数量关系判定每一级三角形的面积构成等比数列，利用等比数列求和进行计算．
本题考查了数列新定义，考查了直线与抛物线的位置关系的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由题意，设等差数列{an}的公差为d，
则a3+a7=a1+2d+a1+6d=18S7=7a1+7×62d=49，
化简整理，得a1+4d=9a1+3d=7，
解得a1=1d=2，
∴an=1+2⋅(n−1)=2n−1，n∈N*．
(2)由(1)可得，bn=an+2an=2n−1+22n−1，
则Tn=b1+b2+⋅⋅⋅+bn
=(1+21)+(3+23)+⋅⋅⋅+(2n−1+22n−1)
=[1+3+⋅⋅⋅+(2n−1)]+(21+23+⋅⋅⋅+22n−1)
=n⋅(1+2n−1)2+21−22n+11−22
=n2+23⋅4n−23．
【解析】(1)先设等差数列{an}的公差为d，再根据题干已知条件列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可计算出等差数列{an}的通项公式；
(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{bn}的通项公式，再运用分组求和法，以及等差数列与等比数列的求和公式即可计算出前n项和Tn．
本题主要考查等差数列的基本运算，以及数列求和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，分组求和法，等差数列与等比数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
18.【答案】解：(1)2×2列联表如下：
每天玩手机时间
视力情况
合计
近视
不近视
超过1小时
200
200
400
不足1小时
600
1000
1600
合计
800
1200
2000
零假设为H0：长时间(每天超过1小时)玩手机与视力情况无关联，
易知X2=2000(200×1000−200×600)2400×1600×800×1200≈20.833>10.828，
根据小概率值α=0.001的独立性检验，
我们推断H0不成立，
即认为长时间(每天超过1时)玩手机与视力情况有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001；
(2)若从近视的学生中随机抽取8人，其中每天玩手机时间超过1小时的2人，不超过1小时的6人，现从8人中随机选出3人，
则X的所有取值为0，1，2，
此时P(X=0)=C20C63C83=514，P(X=1)=C21C62C83=1528，P(X=2)=C22C61C83=328，
则X的分布列为：
X
0
1
2
P
514
1528
328
【解析】(1)由题意，列出2×2列联表，零假设为H0：长时间(每天超过1小时)玩手机与视力情况无关联，代入公式中求出X2的值，将其与临界值比较，进而即可求解；
(2)根据题目所给信息得到X的所有取值，求出相对应的概率，进而即可求解．
本题考查离散型随机变量分布列以及独立性检验，考查了数据分析和运算能力．
19.【答案】解：(1)因为函数f(x)为偶函数，
所以f(−x)=(−x)2−2|−x−a|+1=x2−2|x+a|+1=x2−2|x−a|+1=f(x)，
所以−2|x+a|=−2|x−a|，|x+a|=|x−a|，对x∈R成立，
所以a=0；
(2)当a>0时，f(x)=(x−1)2+2a,x≥a(x+1)2−2a,x
所以1−2a=0，解得a=12，
当a≥1时，f(x)在[0,2]内单调递增，
所以f(0)=1−2a=0，解得a=12(舍)，
综上：a=12．
【解析】(1)由f(x)为偶函数，f(−x)=f(x)直接求解即可．
(2)先分段讨论，找出f(x)=(x−1)2+2a,x≥a(x+1)2−2a,x
20.【答案】解：(1)f′(x)=2ax+1+−3xa=2ax+1−3ax=2a2x2+ax−3ax=(2ax+3)(ax−1)ax，
因为x=1是函数f(x)的极值点，
所以f′(1)=0，即(2a+3)(a−1)a=0，
所以a=−32或1，
又a>0，
所以a=1，
当a=1时，f′(x)=(2x+3)(x−1)x，
令f′(x)=0得x=−32(舍去)或x=1，
所以在(0,1)上f′(x)<0，f(x)单调递减，
在(1,+∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以x=1是f(x)的极值点，符合题意．
(2)f′(x)=(2ax+3)(ax−1)ax，a>0，x>0，
令f′(x)=0得x=−32a(舍去)或x=1a，
所在(0,1a)上f′(x)<0，f(x)单调递减，
在(1a,+∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)极小值=f(1a)=a(1a)2+1a+1−3ln1aa=3+3lnaa，
若函数f(x)有两个零点，则f(x)极小值<0，
解得0
【解析】(1)求导得f′(x)=(2ax+3)(ax−1)ax，由x=1是函数f(x)的极值点，得f′(1)=0，解得a，再检验f(x)是否在x=1处取得极值．
(2)求导分析单调性，极值，可得f(x)极小值=f(1a)<0，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)易知当n=3时，X的所有取值为−9，−3，3，9，
此时P(X=−9)=C30(12)3=18，P(X=−3)=C31(12)3=38，P(X=3)=C32(12)3=38，P(X=9)=C33(12)3=18，
则X的分布列为：
X
−9
−3
3
3
P
18
38
38
18
(2)设在n局游戏结束时，甲共猜对了k次，
此时k～B(n,12)，
易知甲与乙的步数差Y=[2k−(n−k)]−[2(n−k)−k]=6k−3n，
则E(Y)=E(6k−3n)=6E(k)−3n=6n×12−3n=0，
D(Y)=D(6k−3n)=62D(k)=36D(k)=36n×12×(1−12)=9n．
【解析】(1)由题意，得到X的所有取值，根据二项分布的概率公式求出相对应的概率，进而即可求解；
(2)设在n局游戏结束时，甲共猜对了k次，此时k～B(n,12)，得到甲与乙的步数差Y的表达式，利用二项分布的期望与方差公式进行求解即可．
本题考查二项分布及其应用，考查了逻辑推理和运算能力．
22.【答案】解：(1)已知f(x)=aex2−x，函数f(x)定义域为R，
可得f′(x)=a2ex2−1，
若a≤0，f′(x)=a2ex2−1<0，
此时函数f(x)在R上单调递减；
若a>0，
当x<2ln2a时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x>2ln2a时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
综上，当a≤0时，函数f(x)在R上单调递减；
当a>0时，函数f(x)在(−∞,2ln2a)上单调递减，在(2ln2a,+∞)上单调递增；
(2)已知g(x)=xlnx−12x2，函数定义域为(0,+∞)，
若对任意x∈(0,+∞)，不等式f(x)
可得h′(x)=12(x−2)(12x−2−lnx)ex2，
不妨设k(x)=12x−2−lnx，函数定义域为(0,+∞)，
可得k′(x)=12−1x=x−22x，
当0
所以k(x)≤k(2)=−1−ln2<0，
又k(e3)=12e3−5>0，k(e−2)=12e−2>0，
所以k(x)=0存在两个实根x1，x2，
且x1∈(e−2,2)，x2∈(2,e3)，
当00，h(x)单调递增；
当2
所以函数h(x)存在两个极小值点为x1，x2，
易知x1是12x−2−lnx=0的根，
所以12x1−2=lnx1，
即x1=e12x1−2，
此时函数h(x)一个极小值h(x1)=x1lnx1−12x12+x1ex1x
=x1(12x1−2)−12x12+x1ex12=−x1ex12=−e12x1−2ex12=−e−2，
同理，函数h(x)的另一个极小值h(x2)=−e−2，
所以函数h(x)的最小值为−e−2，
故当a<−e−2时，任意x∈(0,+∞)，不等式f(x)
(2)将问题转化成对任意x∈(0,+∞)，a
2022-2023学年山东省济宁市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合M={x|2x−1>0},N={x| x<2}，则M∩N=( )
A. {x|0≤x<4} B. {x|12
C. ∀x∈R，2x
A. −3 B. −1 C. 3 D. −1或3
4. 设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1=1且an+1=2Sn+1，则a5=( )
A. 101 B. 81 C. 32 D. 16
5. 已知曲线f(x)=e2ax在点(0,f(0))处的切线与直线2x−y+3=0垂直，则a=( )
A. −2 B. −1 C. −14 D. 1
6. “a<0“是“函数f(x)=log12(ax+2)在区间(−∞,1]上单调递增”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知甲袋中装有m个红球，n个白球，乙袋中装有3个红球，4个白球，先从甲袋中任取1球放入乙袋中，再从乙袋中任取出1球，若取出的是红球的概率为1532，则从甲袋中任取一个球，取出的是红球的概率为( )
A. 14 B. 13 C. 34 D. 45
8. 已知函数f(x)的定义域为R，∀x1，x2∈R都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0(x1≠x2)，函数g(x)=f(x)−1.且g(x)为奇函数，则不等式f(m2)+f(2m−3)>2的解集为( )
A. (−3,1) B. (−1,3)
C. (−∞,−3)∪(1,+∞) D. (−∞,−1)∪(3,+∞)
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列结论中正确的是( )
A. 样本相关系数r的绝对值越接近1，则成对样本数据的线性相关程度越强
B. 样本相关系数r的绝对值越接近0，则成对样本数据的线性相关程度越弱
C. 已知变量x，y具有线性相关关系，在获取的成对样本数据(x1,y1)，(x2,y2)，⋯，(xn,yn)中，x1，x2，⋯，xn和y1，y2，⋯，yn的均值分别为x−和y−，则点(x−,y−)必在其经验回归直线上
D. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越宽，说明模型的拟合效果越好
10. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加演出，下列说法中正确的是( )
A. 若甲不在正中间，则不同的排列方式共有96种
B. 若甲、乙、丙三人互不相邻，则不同的排列方式共有6种
C. 若甲、丙、丁从左到右的顺序一定，则不同的排列方式共有20种
D. 若甲不在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有24种
11. 已知a>0，b>0，则下列条件中可以使得1a+1b的最小值为4的是( )
A. ab=1 B. a+b=1
C. 1 a+1 b=2 2 D. 1a2+1b2=8
12. 已知函数f(x)=lnxx，g(x)=xex，则下列说法中正确的是( )
A. f(2)>f(3) B. 函数f(x)与函数g(x)有相同的最大值
C. f(2)>g(2) D. 方程f(x)=g(x)有且仅有一个实数根
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 某次数学考试中，学生成绩X∼N(110,σ2)，若P(95≤X≤125)=0.72，则P(X>125)= ______ ．
14. (3x−2x)4的展开式中，常数项是______ ．
15. 已知函数f(x)=x2+1,x≤0f(x−2),x>0,则f(2023)= ______ ．
16. 如图1，抛物线上任意两点连接所得的弦与抛物线围成一个弓形区域，求抛物线弓形区域的面积是古希腊数学家阿基米德最优美的成果之一，阿基米德的计算方法是：将弓形区域分割成无数个三角形，然后将所有三角形的面积加起来就可以得到弓形区域的面积.第一次分割，如图2，在弓形区域里以AB为底边分割出一个三角形ABC1，确保过顶点C1的抛物线E的切线与底边AB平行，△ABC1称为一级三角形；第二次分割，如图3，以△ABC1两个边AC1，BC1为底边，在第一次分割得到的两个弓形区域继续分割出两个三角形△C21AC1，△C22BC1，确保过顶点C21，C22的抛物线E的切线分别与AC1，BC1平行，△C21AC1，△C22BC1，都称为二级三角形；重复上述方法，继续分割新产生的弓形区域……，借助抛物线几何性质，阿基米德计算得出任意一级的所有三角形的面积都相等，且每个三角形的面积都是其上一级的一个三角形面积的18.设抛物线E的方程为y=4−x2，直线AB的方程为y=x+2，请你根据上述阿基米德的计算方法，求经过n次分割后得到的所有三角形面积之和为______ ．
图1
图2
图3
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3+a7=18，S7=49．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=an+2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
18. (本小题12.0分)
为研究在校学生每天玩手机时间是否大于1小时和学生近视之间的关联性，某视力研究机构采取简单随机抽样的方法，调查了2000名在校学生，得到成对样本观测数据，样本中有40%的学生近视，有20%的学生每天玩手机超过1小时，而每天玩手机超过1小时的学生近视率为50%．
(1)根据上述成对样本观测数据，完成如表2×2列联表，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析每天玩手机时间是否超过1小时会不会影响视力．
每天玩手机时间
视力情况
合计
近视
不近视
超过1小时
_____
_____
_____
不足1小时
_____
_____
_____
合计
_____
_____
2000
(2)从近视的学生中随机抽取8人，其中每天玩手机时间超过1小时的2人，不超过1小时的6人，现从8人中随机选出3人，设3人中每天玩手机时间超过1小时的学生人数为X，求随机变量X的分布列．
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
参考数据；如表是χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
19. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=x2−2|x−a|+1．
(1)若函数f(x)为偶函数，求a的值；
(2)当a>0时，若函数f(x)在[0,2]上的最小值为0，求a的值．
20. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=ax2+x+1−3lnxa(a>0)．
(1)若x=1是函数f(x)的极值点，求a的值；
(2)若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围．
21. (本小题12.0分)
甲乙两名同学玩“猜硬币，向前进”的游戏，规则是：每一局抛一次硬市，甲乙双方各猜一个结果，要求双方猜的结果不能相同，猜对的一方前进2步，猜错的一方后退1步，游戏共进行n(n∈N*)局，规定游戏开始时甲乙初始位置一样．
(1)当n=3时，设游戏结束时甲与乙的步数差为X，求随机变量X的分布列；
(2)游戏结束时，设甲与乙的步数差为Y，求E(Y)，D(Y)(结果用n表示)．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=aex2−x．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设函数g(x)=xlnx−12x2，若对任意x∈(0,+∞)，不等式f(x)
1.【答案】C
【解析】解：根据题意可得：
M={x|x>12}，N={x|0≤x<4}，
∴M∩N={x|12
先化简再运算，即可求解．
本题考查集合的基本运算，属基础题．
2.【答案】D
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题“∃x0∈R,2x0
直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵幂函数f(x)=(m2−2m−2)xm在(0,+∞)上单调递减，
∴m2−2m−2=1m<0，
解得m=−1．
故选：B．
利用幂函数的定义和性质直接求解．
本题考查幂函数的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由an+1=2Sn+1可知当n≥2时有an=2Sn−1+1，
二式相减得an+1−an=2an，即an+1=3an，
所以数列{an}是以a1为首项，3为公比的等比数列，
所以an=3n−1，
所以a5=35−1=81．
故选：B．
由an+1=2Sn+1推出an+1与an之间的关系从而得出数列{an}的通项公式．
本题主要考查等比数列相关性质，属中档题．
5.【答案】C
【解析】解：由f(x)=e2ax，得f′(x)=2ae2ax，
∴f′(0)=2a，
∵曲线f(x)=e2ax在点(0,f(0))处的切线与直线2x−y+3=0垂直，
∴2a=−12，可得a=−14．
故选：C．
求出原函数的导函数，得到函数在x=0时的导数值，再由两直线垂直与斜率的关系列式求解a值．
本题考查导数的几何意义及应用，考查两直线垂直与斜率的关系，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：由于y=log12x是递减函数，所以若函数f(x)=log12(ax+2)在区间(−∞,1]上单调递增，
则ax+2随着x的增大而减小，即a<0，令a+2>0，得a>−2，
综上所述，a的取值范围为−2
若a小于0，则不一定有函数f(x)=log12(ax+2)在区间(−∞,1]上单调递增，比如a=−2，函数f(x)就取不到x=1，所以“a<0“是“函数f(x)=log12(ax+2)在区间(−∞,1]上单调递增”的不充分条件，
所以“a<0“是“函数f(x)=log12(ax+2)在区间(−∞,1]上单调递增”的必要不充分条件．
故选：A．
由于y=log12x是递减函数，所以若函数f(x)=log12(ax+2)在区间(−∞,1]上单调递增，则a必小于0，反之若a小于0，不一定有函数f(x)=log12(ax+2)在区间(−∞,1]上单调递增，函数的定义域可能达不到(−∞,1]．
本题主要考查对数函数的定义域和增减性，属中档题．
7.【答案】C
【解析】解：先从甲袋中任取1球放入乙袋，有两种情况，
第一种，抽到红球放入，最后取出红球的概率为：mm+n×3+18=4m8(m+n)，
第二种，未抽到红球放入，最后抽到红球的概率为：nm+n×38=3n8(m+n)，
又4m8(m+n)+3n8(m+n)=1532，可得m=3n，
则从甲袋中任取一个球，取出的是红球的概率为mm+n=34．
故选：C．
根据概率的可加原则，分别计算两种情况的概率，找到m、n的关系，然后求解即可．
本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：因为函数f(x)的定义域为R，∀x1，x2∈R都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0(x1≠x2)，
假设x1
所以f(x)在R上单调递减，
又因为g(x)=f(x)−1为奇函数，
所以g(x)+g(−x)=0，
即f(x)−1+f(−x)−1=0，
所以f(x)+f(−x)=2，
所以f(−x)=2−f(x)，
所以f(m2)+f(2m−3)>2⇔f(m2)>2−f(2m−3)=f(−2m+3)，
所以m2<−2m+3⇔m2+2m−3<0⇔(m+3)(m−1)<0，
解得−3
由题意可得f(x)在R上单调递减，由g(x)为奇函数，可得f(−x)=2−f(x)，将原不等式转化为f(m2)>f(−2m+3)，则有m2+2m−3<0，求解即可．
本题考查了函数的奇偶性、单调性、转化思想及一元二次不等式的解法，属于中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：对于选项A，B，由样本相关系数r的定义可知，r的绝对值越接近于1时，样本数据线性相关程度越强，反之亦然，故A，B正确；
根据线性回归方程的性质，中心点(x−,y−)必在其经验回归直线上，故C正确；
在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明拟合效果越好，故D错误．
故选：ABC．
根据相关系数的定义，线性回归方程的性质以及残差的定义可解．
本题考查相关系数的定义，线性回归方程的性质以及残差的定义，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若甲不在正中间，甲有4个位置可选，剩下4人全排列，有A44种情况，则有4A44=96种排列方式，A正确；
对于B，先排好其他2人，排好后有3个空位，在其中安排甲、乙、丙三人，有A22A33=12种排列方式，B错误；
对于C，在5个位置中，任选3个，按从左到右的顺序安排甲、乙、丙三人，再将剩下的2人全排列，有C53A22=20种排列方式，C正确；
对于D，丙和丁相邻，把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有A22A44=48种排法，
其中甲站在两端的情况有C21A33A22=24种排法，
∴甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有48−24=24种，D正确．
故选：ACD．
根据题意，由排列组合数公式依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：对于A，由a>0，b>0，ab=1可得21a+1b≤ ab=1，
即1a+1b≥2，当且仅当a=b=1时等号成立，
所以此时1a+1b的最小值为2，A错误；
对于B，由a>0，b>0，a+b=1可得21a+1b≤a+b2=12，
即1a+1b≥4，当且仅当a=b=12时等号成立，
所以此时1a+1b的最小值为4，B正确；
对于C，由a>0，b>0，1 a+1 b=2 2可得1a+1b=(1 a+1 b)2−21 a×1 b≥8−(1a+1b)，
即2(1a+1b)≥8，即1a+1b≥4，当且仅当a=b=12时等号成立，C正确；
对于D，由a>0，b>0，1a2+1b2=8可得(1a+1b)2−21a×1b=8，
所以有(1a+1b)2−2(1a+1b2)2≤(1a+1b)2−21a×1b=8，
即12(1a+1b)2≤8，即(1a+1b)2≤16，即1a+1b≤4，当且仅当a=b=12时等号成立，
所以此时1a+1b的最大值为4，D错误．
故选：BC．
结合基本不等式对各选项进行分析即可．
本题主要考查基本不等式，对各式进行适当的变形是解决本题的关键，属中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：已知f(x)=lnxx，函数定义域为(0,+∞)，
可得f′(x)=1−lnxx2，
当0
当x>e时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(3)>f(4)，
又f(4)=ln44=ln22=f(2)，
所以f(3)>f(2)，故选项A错误；
易知当x=e时，函数f(x)取得极大值也是最大值，最大值f(e)=1e，
已知g(x)=xex，函数定义域为R，
可得g′(x)=1−xex，
当x<1时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x>1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以当x=1时，函数g(x)取得极大值也是最大值，最大值g(1)=1e，
作出函数图象如下所示：
因为f(e)=g(1)，
所以函数f(x)与函数g(x)有相同的最大值，故选项B正确；
若f(2)>g(2)，
此时ln22=ln44>2e2=lne2e2，
即ln44>lne2e2，
易知当x>e时，函数f(x)单调递减，
因为e2>4，
所以ln44>lne2e2成立，
则f(2)>g(2)，故选项C正确；
由图象知函数f(x)与g(x)的图象在(0,e]上有且仅有一个交点，
当x>e时，不妨设f(x)>g(x)，
即lnxx>xex=lnexex，
易知当x>e时，函数f(x)单调递减，且ex>x恒成立，
所以f(x)>g(x)在x∈(e,+∞)上恒成立，
综上，方程f(x)=g(x)有且仅有一个实数根，故选项D正确．
故选：BCD．
由题意，对函数f(x)进行求导，利用导数得到函数f(x)的单调性，结合对数的运算性质即可判断选项A；对函数g(x)进行求导，利用导数得到函数g(x)的单调性和最值，结合函数f(x)的最值进行比较即可判断选项B；结合对数的运算性质将f(2)>g(2)转化成ln44>lne2e2，根据函数f(x)的单调性以及e2>4即可判断选项C；作出函数图象，利用数形结合可知函数f(x)与g(x)的图象在(0,e]上有且仅有一个交点，再证当x>e时，f(x)>g(x)恒成立，进而即可判断选项D．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值以及函数零点问题，考查了逻辑推理、转化思想、数形结合和运算能力．
13.【答案】0.14
【解析】解：因为某次数学考试中，学生成绩X∼N(110,σ2)，
则μ=110，即曲线关于μ=110对称，
又P(95≤X≤125)=0.72，
则P(X>125)=12×(1−0.72)=0.14．
故答案为：0.14．
根据正态分布曲线的对称性可解．
本题考查正态分布曲线的对称性，属于基础题．
14.【答案】−8
【解析】解：二项式(3x−2x)4的展开式的通项公式为
Tr+1=∁4r⋅(3x)4−r⋅(−2)r⋅x−r=∁4r⋅(−2)r⋅x4−4r3．
令x的幂指数4−4r3=0，解得r=1，
∴展开式中的常数项为：
T2=∁41⋅(−2)1=−8．
故答案为：−8．
写出二项式展开式的通项公式，令x的指数等于0求得r的值，再求展开式中的常数项．
本题主要考查了二项式定理的应用问题，利用二项式展开式的通项公式求常数项，是中档题．
15.【答案】2
【解析】解：∵函数f(x)=x2+1,x≤0f(x−2),x>0,
∴f(2023)=f(1)=f(−1)=(−1)2+1=2．
故答案为：2．
由函数的周期性推导出f(2023)=f(1)=f(−1)=(−1)2+1=2，由此能求出结果．
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】92[1−(14)n]
【解析】解：y=4−x2，y′=−2x，
设与直线AB平行的抛物线E的切线的切点为C1(x0,4−x02)，
则−2x0=1，解得x0=−12，所以C1(−12,154)，
所以点C1(−12,154)到直线AB的距离为d=|−12−154+2| 2=9 28，
由y=x+2y=4−x2，解得x=−2y=0或x=1y=3，
所以|AB|=3 2，
所以S△ABC1=12|AB|×d=12×3 2×9 28=278，
根据规律，每一级三角形的个数是上一级个数的2倍，
每一级三角形的面积是上一级的面积的18，
则每一级三角形的面积Sn=278×2n−1×(18)n−1=278×(14)n−1，
故经过n次分割后得到的所有三角形面积之和为：
S=278×[1+14+(14)2+⋯+(14)n−1]=278×1−(14)n1−14=92[1−(14)n]．
故答案为：92[1−(14)n]．
理解新定义的概念，先找到一级三角形的面积S△ABC1=278，再根据三角形面积的数量关系判定每一级三角形的面积构成等比数列，利用等比数列求和进行计算．
本题考查了数列新定义，考查了直线与抛物线的位置关系的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由题意，设等差数列{an}的公差为d，
则a3+a7=a1+2d+a1+6d=18S7=7a1+7×62d=49，
化简整理，得a1+4d=9a1+3d=7，
解得a1=1d=2，
∴an=1+2⋅(n−1)=2n−1，n∈N*．
(2)由(1)可得，bn=an+2an=2n−1+22n−1，
则Tn=b1+b2+⋅⋅⋅+bn
=(1+21)+(3+23)+⋅⋅⋅+(2n−1+22n−1)
=[1+3+⋅⋅⋅+(2n−1)]+(21+23+⋅⋅⋅+22n−1)
=n⋅(1+2n−1)2+21−22n+11−22
=n2+23⋅4n−23．
【解析】(1)先设等差数列{an}的公差为d，再根据题干已知条件列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可计算出等差数列{an}的通项公式；
(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{bn}的通项公式，再运用分组求和法，以及等差数列与等比数列的求和公式即可计算出前n项和Tn．
本题主要考查等差数列的基本运算，以及数列求和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，分组求和法，等差数列与等比数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
18.【答案】解：(1)2×2列联表如下：
每天玩手机时间
视力情况
合计
近视
不近视
超过1小时
200
200
400
不足1小时
600
1000
1600
合计
800
1200
2000
零假设为H0：长时间(每天超过1小时)玩手机与视力情况无关联，
易知X2=2000(200×1000−200×600)2400×1600×800×1200≈20.833>10.828，
根据小概率值α=0.001的独立性检验，
我们推断H0不成立，
即认为长时间(每天超过1时)玩手机与视力情况有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001；
(2)若从近视的学生中随机抽取8人，其中每天玩手机时间超过1小时的2人，不超过1小时的6人，现从8人中随机选出3人，
则X的所有取值为0，1，2，
此时P(X=0)=C20C63C83=514，P(X=1)=C21C62C83=1528，P(X=2)=C22C61C83=328，
则X的分布列为：
X
0
1
2
P
514
1528
328
【解析】(1)由题意，列出2×2列联表，零假设为H0：长时间(每天超过1小时)玩手机与视力情况无关联，代入公式中求出X2的值，将其与临界值比较，进而即可求解；
(2)根据题目所给信息得到X的所有取值，求出相对应的概率，进而即可求解．
本题考查离散型随机变量分布列以及独立性检验，考查了数据分析和运算能力．
19.【答案】解：(1)因为函数f(x)为偶函数，
所以f(−x)=(−x)2−2|−x−a|+1=x2−2|x+a|+1=x2−2|x−a|+1=f(x)，
所以−2|x+a|=−2|x−a|，|x+a|=|x−a|，对x∈R成立，
所以a=0；
(2)当a>0时，f(x)=(x−1)2+2a,x≥a(x+1)2−2a,x
所以1−2a=0，解得a=12，
当a≥1时，f(x)在[0,2]内单调递增，
所以f(0)=1−2a=0，解得a=12(舍)，
综上：a=12．
【解析】(1)由f(x)为偶函数，f(−x)=f(x)直接求解即可．
(2)先分段讨论，找出f(x)=(x−1)2+2a,x≥a(x+1)2−2a,x
20.【答案】解：(1)f′(x)=2ax+1+−3xa=2ax+1−3ax=2a2x2+ax−3ax=(2ax+3)(ax−1)ax，
因为x=1是函数f(x)的极值点，
所以f′(1)=0，即(2a+3)(a−1)a=0，
所以a=−32或1，
又a>0，
所以a=1，
当a=1时，f′(x)=(2x+3)(x−1)x，
令f′(x)=0得x=−32(舍去)或x=1，
所以在(0,1)上f′(x)<0，f(x)单调递减，
在(1,+∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以x=1是f(x)的极值点，符合题意．
(2)f′(x)=(2ax+3)(ax−1)ax，a>0，x>0，
令f′(x)=0得x=−32a(舍去)或x=1a，
所在(0,1a)上f′(x)<0，f(x)单调递减，
在(1a,+∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)极小值=f(1a)=a(1a)2+1a+1−3ln1aa=3+3lnaa，
若函数f(x)有两个零点，则f(x)极小值<0，
解得0
【解析】(1)求导得f′(x)=(2ax+3)(ax−1)ax，由x=1是函数f(x)的极值点，得f′(1)=0，解得a，再检验f(x)是否在x=1处取得极值．
(2)求导分析单调性，极值，可得f(x)极小值=f(1a)<0，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)易知当n=3时，X的所有取值为−9，−3，3，9，
此时P(X=−9)=C30(12)3=18，P(X=−3)=C31(12)3=38，P(X=3)=C32(12)3=38，P(X=9)=C33(12)3=18，
则X的分布列为：
X
−9
−3
3
3
P
18
38
38
18
(2)设在n局游戏结束时，甲共猜对了k次，
此时k～B(n,12)，
易知甲与乙的步数差Y=[2k−(n−k)]−[2(n−k)−k]=6k−3n，
则E(Y)=E(6k−3n)=6E(k)−3n=6n×12−3n=0，
D(Y)=D(6k−3n)=62D(k)=36D(k)=36n×12×(1−12)=9n．
【解析】(1)由题意，得到X的所有取值，根据二项分布的概率公式求出相对应的概率，进而即可求解；
(2)设在n局游戏结束时，甲共猜对了k次，此时k～B(n,12)，得到甲与乙的步数差Y的表达式，利用二项分布的期望与方差公式进行求解即可．
本题考查二项分布及其应用，考查了逻辑推理和运算能力．
22.【答案】解：(1)已知f(x)=aex2−x，函数f(x)定义域为R，
可得f′(x)=a2ex2−1，
若a≤0，f′(x)=a2ex2−1<0，
此时函数f(x)在R上单调递减；
若a>0，
当x<2ln2a时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x>2ln2a时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
综上，当a≤0时，函数f(x)在R上单调递减；
当a>0时，函数f(x)在(−∞,2ln2a)上单调递减，在(2ln2a,+∞)上单调递增；
(2)已知g(x)=xlnx−12x2，函数定义域为(0,+∞)，
若对任意x∈(0,+∞)，不等式f(x)
可得h′(x)=12(x−2)(12x−2−lnx)ex2，
不妨设k(x)=12x−2−lnx，函数定义域为(0,+∞)，
可得k′(x)=12−1x=x−22x，
当0
所以k(x)≤k(2)=−1−ln2<0，
又k(e3)=12e3−5>0，k(e−2)=12e−2>0，
所以k(x)=0存在两个实根x1，x2，
且x1∈(e−2,2)，x2∈(2,e3)，
当0
当2
所以函数h(x)存在两个极小值点为x1，x2，
易知x1是12x−2−lnx=0的根，
所以12x1−2=lnx1，
即x1=e12x1−2，
此时函数h(x)一个极小值h(x1)=x1lnx1−12x12+x1ex1x
=x1(12x1−2)−12x12+x1ex12=−x1ex12=−e12x1−2ex12=−e−2，
同理，函数h(x)的另一个极小值h(x2)=−e−2，
所以函数h(x)的最小值为−e−2，
故当a<−e−2时，任意x∈(0,+∞)，不等式f(x)
(2)将问题转化成对任意x∈(0,+∞)，a
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