2022-2023学年山东省威海市高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年山东省威海市高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|y=lg2(x2−x−2)}，则(∁RA)∩N=( )
A. {−1,0,1,2}B. {−1,1,2}C. {0,1,2}D. {1,2}
2.若随机变量X∼B(n,p)，且E(X)=6，D(X)=5，则p的值为( )
A. 16B. 13C. 12D. 56
3.某杂交水稻种植研究所调查某水稻的株高，得出株高X(单位：cm)服从正态分布，其概率分布密度函数为f(x)=110 2πe−(x−110)2200，x∈(−∞,+∞)，若P(X>130)=p，则P(90A. pB. 12−pC. 1−2pD. 2p
4.函数f(x)=x2−x+3x在区间(0,+∞)的最小值为( )
A. 2 2B. 2 3C. 2 2−1D. 2 3−1
5.某新能源汽车企业基于领先技术的支持，从某年起改进并生产新车型，设改进后该企业第x年的生产利润为y(单位：亿元)，现统计前7年的数据为(1,y1)，(2,y2)，⋯，(7,y7)，根据该组数据可得y关于x的回归直线方程为y =0.5x+a，且i=17yi=30.1，预测改进后该企业第8年的生产利润为( )
A. 10.8亿元B. 10.3亿元C. 6.8亿元D. 6.3亿元
6.从正六边形的六个顶点中任取三个顶点，则这三个顶点可以构成直角三角形的概率为( )
A. 15B. 25C. 35D. 45
7.已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，则“f(x)为奇函数”是“f′(x)为偶函数”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8.已知函数f(x)=3|x|，若a=f(lg52)，b=f(lg14)，c=f(lg2510)，则( )
A. a二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列求导运算正确的是( )
A. (csx)′=sinxB. (tanx)′=1cs2x
C. (2x+1)′=(x+1)2xD. (e2x)′=2e2x
10.在(2x2−1x)6的展开式中( )
A. 常数项为60B. 各项二项式系数的和为32
C. 各项系数的和为1D. 各项系数的绝对值之和为729
11.已知实数m，n满足m>n>1，则( )
A. m+1n+1C. lnm>1−1nD. mlnn>nlnm
12.已知函数f(x)=exxk(k∈Z)，则( )
A. 存在k，使f(x)不存在极小值
B. 当k<0时，f(x)在区间(−∞,0)单调递减
C. 当k>0时，f(x)在区间(0,+∞)单调递增
D. 当k>0时，关于x的方程f(x)=mx实数根的个数不超过4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)=(x−1)2+ax是偶函数，则实数a=______.
14.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排合影留念，若甲和乙相邻，则不同的排法共有______种(用数字作答).
15.写出曲线y=(2x+1)ex过坐标原点的一条切线方程______.
16.已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，f(x)为奇函数，g(x+1)为偶函数，f(−1)=2，g(x+2)−f(x)=1，则i=12023g(i)=______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=lg2(4x+1).
(1)求不等式f(x2)−lg23>1的解集；
(2)若关于x的方程f(x)=lg2(m⋅2x−2)有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围.
18.(本小题12分)
某大学在一次调查学生是否有自主创业打算的活动中，获得了如下数据.
(1)若m=24，n=36，根据调查数据判断，是否有99%的把握认为该校学生有无自主创业打算与性别有关；
(2)若m=15，n=60，从这些学生中随机抽取一人.
(ⅰ)若已知抽到的人有自主创业打算，求该学生是男生的概率；
(ⅱ)判断“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”是否独立.
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d.
19.(本小题12分)
根据《国家学生体质健康标准》，六年级男生和女生一分钟跳绳等级如表(单位：次).
从某学校六年级男生和女生中各随机抽取10名进行一分钟跳绳测试，将他们的成绩整理如表：
(1)从这10名男生中任取2名，求取到的2名男生成绩都优秀的概率；
(2)若以成绩优秀的频率代替成绩优秀的概率，且每名同学的测试相互独立.从该校全体六年级学生中随机抽取1名男生和2名女生，设X为这3名学生中一分钟跳绳成绩优秀的人数，求X的概率分布与期望.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax3−6x2+2.
(1)当a=1时，求f(x)在区间[−1,5]的最大值；
(2)若f(x)存在唯一的零点x0，且x0<0，求实数a的取值范围.
21.(本小题12分)
在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1−α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1−β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).
(1)当α=12，β=13时，
(ⅰ)采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，求依次收到1，0，1的概率；
(ⅱ)采用三次传输方案，若发送1，求译码为1的概率；
(2)若发送0，采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率，求α的取值范围.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnxx−a.
(1)若f(x)在区间(0,a)单调递减，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2.
(ⅰ)求实数a的取值范围；
(ⅱ)证明：x1+x2>2a.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：集合A={x|y=lg2(x2−x−2)}={x|x<−1或x>2}，
则(∁RA)∩N={x|−1≤x≤2}∩N={0,1,2}.
故选：C.
利用补集、交集定义、不等式性质直接求解．
本题考查集合的运算，考查补集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：因为E(X)=np=6，D(X)=np(1−p)=5，
所以1−p=56，解得p=16.
故选：A.
根据二项分布的期望、方差计算可得答案．
本题主要考查二项分布的概率公式，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
由题意可知该正态曲线的对称轴为X=110，再根据正态分布曲线的对称性求解．
【解答】
解：依题意，该正态曲线的对称轴为X=110，P(X>130)=p，
根据正态分布曲线的对称性，
则P(90130)=12−p.
故选：B.
4.【答案】D
【解析】解：∵x>0，
∴f(x)=x2−x+3x=x+3x−1≥2 x⋅3x−1=2 3−1，
当且仅当x=3x，即x= 3时，等号成立，
∴函数f(x)=x2−x+3x在区间(0,+∞)的最小值为2 3−1.
故选：D.
利用基本不等式直接求解即可．
本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：x−=1+2+3+4+5+6+77=4，y−=17×30.1=4.3，
则样本点的中心的坐标为(4,4.3)，代入y =0.5x+a，
得a=4.3−0.5×4=2.3，可得线性回归方程为y =0.5x+2.3，
取x=8，可得y =0.5×8+2.3=6.3.
故选：D.
由已知求得样本点的中心，代入线性回归方程求解a值，进一步取x=8得答案．
本题考查线性回归方程，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：如图，
在六个顶点中任取三个顶点，有ABC，ABD，ABE，ABF，ACD，ACE，ACF，ADE，ADF，AEF，BCD，BCE，BCF，BDE，BDF，BEF，CDE，CDF，CEF，DEF，共20种情况，
因为在正六边形中，过中心的对角线所对的角为直角，
所以有ABD，ACD，ADF，ADE，ABE，BEF，BDE，BCE，ACF，BCF，CEF，CDF，共12种情况，
故所求概率P=1220=35.
故选：C.
运用列举法根据古典概率公式可得答案．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：当f(x)为奇函数时，则f(x)与f′(x)的定义域关于原点对称，且f(−x)=−f(x)，
两边同时求导，即(f(−x))′=(−f(x))′，
得−f′(−x)=−f′(x)，即f′(−x)=f′(x)，所以f′(x)为偶函数；
反之，当f′(x)为偶函数时，取f(x)=x3+1，
则f′(x)=x2，显然满足条件，但f(x)显然不是奇函数，
所以“f(x)为奇函数”是“f′(x)为偶函数”的充分不必要条件．
故选：A.
由奇函数的定义并求导可判断充分性，反过来取特例即可．
本题考查了充要条件的判定方法、函数的奇偶性，考查了推理能力，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：0=lg51由于|lg14|=|−lg4|=lg4，lg4=lg 16>lg 10=12，
lg4=lg364 lg2510=lg2531000>lg253625=23，
所以0因为函数f(x)=3|x|在(0,+∞)上为增函数，
则f(lg52)所以f(lg52)故选：A.
根据对数函数的单调性和中间量比较出0本题主要考查对数值大小的比较，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：A选项，(csx)′=sinx，A错误；
B选项，(tanx)′=(sinxcsx)′=(sinx)′⋅csx−sinx⋅(csx)′cs2x=cs2x+sin2xcs2x=1cs2x，B正确；
C选项，(2x+1)′=2x+1⋅ln2，C错误；
D选项，(e2x)′=e2x⋅(2x)′=2e2x，D正确．
故选：BD.
利用导函数四则运算和简单复合函数求导法则计算出答案．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：A：展开式的常数项为C64(2x2)2(−1x)4=60，故A正确；
B：各项的二项式系数和为26=64，故B错误；
C：令x=1，则各项系数和为(2−1)6=1，故C正确；
D：各项系数的绝对值之和与二项式(2x2+1x)6的展开式的关系系数和相等，令x=1，则所求和为(2+1)6=729，故D正确．
故选：ACD.
A：根据二项式定理即可求解判断；B：根据二项式系数和公式即可判断求解；C：令x=1即可判断；D：各项系数的绝对值之和与二项式(2x2+1x)6的展开式的关系系数和相等，令x=1即可求解判断．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：因为m>n>1，
所以m+1n+1−mn=n−mn(n+1)<0，故A正确；
因为2m>2n，3m>3n，
所以2m+3m>2n+3n，即2m−2n>3n−3m，B错误；
令f(x)=lnx+1x−1，x>1，
则f′(x)=1x−1x2=x−1x2>0，即f(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以f(x)>f(1)=0，
所以lnx>1−1x，即lnm>1−1m>1−1n，C正确；
当m=4，n=2时，mlnn=nlnm，D错误．
故选：AC.
由已知结合不等式的线性检验选A；
构造函数，结合单调性检验选项BC，
结合特殊值检验选项D.
本题主要考查了不等式的性质，导数与单调性关系在函数值大小比较中的应用，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：已知f(x)=exxk(k∈Z)，
可得f′(x)=exxk+kexxk−1=exxk−1(x+k)，
对于选项A：当k=0时，函数f(x)=ex，
易知函数f(x)在(−∞,0)和(0,+∞)上单调递增，
所以f(x)不存在极小值，故选项A正确；
对于选项B：当k<0且k为偶数时，k−1为奇数，
易知当x<0时，ex>0，xk−1<0，x+k<0，
所以f′(x)>0，
此时函数f(x)在(−∞,0)上单调递增，故选项B错误；
对于选项C：若k>0，
此时k−1≥0，
当x>0时，ex>0，xk−1>0，x+k>0，
所以f′(x)>0，
此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，故选项C正确；
对于选项D：当f(x)=exxk=mx时，
若x=0，
易得x=0为方程f(x)=mx的实数根；
若x≠0，
此时exxk−1−m=0，
不妨设g(x)=exxk−1−m，
可得g′(x)=exxk−1+(k−1)exxk−2=exxk−2(x+k−1)，
令g′(x)=0，
解得x=0或x=1−k，
即函数g′(x)至多存在两个零点，
此时函数g(x)至多存在三个单调区间，
所以函数g(x)至多存在三个零点，
即关于x的方程f(x)=mx至多存在三个实数根，
综上，当k>0时，关于x的方程f(x)=mx实数根的个数不超过4，故选项D正确．
故选：ACD.
由题意，令k=0，得到函数f(x)的解析式，结合指数函数单调性分析判断选项A；令k为负偶数，对函数f(x)进行求导，利用导数的几何意义即可判断选项B；利用导数的几何意义得到函数的单调性，进而可判断选项C；对x=0和x≠0这两种情况进行分析，利用导数的几何意义即可判断选项D.
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
13.【答案】2
【解析】解：因为f(x)=(x−1)2+ax=x2+(a−2)x+1是偶函数，
根据二次函数的性质可知，a−2=0，即a=2.
故答案为：2.
由已知结合函数的奇偶性及二次函数的性质即可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性及二次函数性质的应用，属于基础题．
14.【答案】48
【解析】解：将甲、乙看成一个元素，再与其余3名同学全排，有A22A44=48种排法．
故答案为：48.
将甲、乙看成一个元素，利用捆绑法求解即可．
本题考查捆绑法解决排列问题，是中档题．
15.【答案】y=4 ex或y=1ex(任写一个即可)
【解析】解：∵曲线y=(2x+1)ex，
∴y′=(2x+3)ex，
设切点为：(t,(2t+1)et)，
故切线方程为：y−(2t+1)et=(2t+3)et(x−t)，
由于切线过原点，
可得：0−(2t+1)et=(2t+3)et(0−t)，
整理得：2t2+t−1=0，解得t=−1或t=12，
当t=−1时，切线方程为：y+e−1=e−1(x+1)，即y=1ex；
当t=12时，切线方程为：y−2e12=4e12(x−12)，即y=4 ex；
故答案为：y=4 ex或y=1ex(任写一个即可).
设切点坐标，求出导函数，得到切线的斜率，进而得到切线方程，根据切线过原点，即可求解结论．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】2023
【解析】解：因为f(x)为奇函数，所以f(−x)=−f(x)，
因为g(x+1)为偶函数，所以g(−x+1)=g(x+1)，
所以g(x+2)=g(−x)，g(−x+2)=g(x)，
又因为g(x+2)−f(x)=1，所以g(x+2)=f(x)+1，①
所以g(−x+2)=f(−x)+1，所以g(x)=−f(x)+1，②
①+②得g(x+2)+g(x)=2，所以g(x+4)+g(x+2)=2，
所以g(x+4)=g(x)，又因为g(1)+g(3)=g(2)+g(4)=2，
g(2)=f(0)+1=0+1=1，
所以i=12023g(i)=505×[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)]+g(1)+g(2)+g(3)，
=505×4+2+1=2023.
故答案为：2023.
根据f(x)为奇函数，g(x+1)为偶函数推出所以f(−x)=−f(x)，g(−x+1)=g(x+1)，进而由x的任意性推出g(x+2)与g(x)的关系，g(x+4)与g(x)的关系，求出函数g(x)的周期，另外由f(0)=0可求出g(2)，由以上信息可求得所求值的大小．
本题考查了函数的奇偶性、周期性、抽象函数的性质，考查了推理能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由题意知，lg2(2x+1)−lg23>1，
所以lg2(2x+1)>1+lg23=lg26，
所以2x+1>6，
解得x>lg25.
即不等式的解集为{x|x>lg25}；
(2)方程f(x)=lg2(m⋅2x−2)，可化为lg2(4x+1)=lg2(m⋅2x−2)，
即4x+1=m⋅2x−2，
即4x−m⋅2x+3=0有两个不相等的实数根，
令2x=t，则t2−mt+3=0有两个不相等的正实数根，
所以Δ=m2−12>0m>03>0，解得m>2 3，
所以实数m的取值范围为(2 3,+∞).
【解析】(1)通过解对数不等式求解结果；
(2)通过解对数方程，利用换元法以及根与系数关系求得m的取值范围．
本题主要考查了对数不等式的解法，考查了换元法以及韦达定理的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)K2=(16+64+24+36)(16×36−64×24)2(16+64)(24+36)(16+24)(64+36)=16825=6.72>6.635，
所以有99%的把握认为该校学生有无自主创业打算与性别有关．
(2)(ⅰ)记A为“抽到的人有自主创业打算”，B为“抽到的人是男生”，
P(A)=16+1516+15+64+60=31155=15，P(AB)=1616+64+15+60=16155，
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=1631(或1616+15=1631).
(ⅱ)记C为“抽到的人无自主创业打算”，D为“抽到的人是男生”，
法一：P(D|C)=64124=1631，又P(D)=64+1616+15+64+60=1631，所以P(D)=P(D|C)，
所以“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”独立；
法二：P(C|D)=6480=45，又P(C)=64+6016+15+64+60=45，所以P(C)=P(C|D)，
所以“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”独立；
法三：P(CD)=6416+15+64+60=64155，P(C)=64+6016+15+64+60=45，
P(D)=64+1616+15+64+60=1631，所以P(C)P(D)=1631×45=64155，所以P(CD)=P(C)P(D)，
所以“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”独立；
法四：K2=(16+64+15+60)(16×60−64×15)2(16+64)(15+60)(16+15)(64+60)=0，
所以该校学生有无自主创业打算与性别无关，
所以“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”独立．
【解析】(1)计算卡方，与6.635比较后得到结论；
(2)(ⅰ)设出事件，利用条件概率公式进行求解；
(ⅱ)法一：计算出P(D)=P(D|C)，得到结论；法二：计算出P(C)=P(C|D)，得到结论；
法三：计算得到P(CD)=P(C)P(D)，得到结论；法四：计算出卡方为0，从而得到结论．
本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．
19.【答案】解：(1)10名男生中一分钟跳绳成绩优秀的有6名，
则取到的2名男生成绩都优秀的概率P=C62C102=13；
(2)从该校六年级学生中任取一名男生，一分钟跳绳成绩优秀的概率为35，
任取一名女生，一分钟跳绳成绩优秀的概率为25，
由题意可知，X所有可能取值有：0，1，2，3，
P(X=0)=25×(1−12)2=110，
P(X=1)=35×(1−12)2+25×C21×12×(1−12)=720，
P(X=2)=35×C21×12×(1−12)+25×(12)2=25，
P(X=3)=35×(12)2=320，
故X的分布列为：
故E(X)=0×110+1×720+2×25+3×320=85.
【解析】(1)根据已知条件，结合古典概型的概率公式，即可求解；
(2)由题意可知，X所有可能取值有：0，1，2，3，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量分布列、期望的求解，考查转化能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=x3−6x2+2，
则f′(x)=3x2−12x=3x(x−4)，
由f′(x)>0，可得x<0或x>4，f′(x)<0，可得0因此f(x)在区间(−1,0)单调递增，在区间(0,4)单调递减，在区间(4,5)单调递增，
所以f(x)在区间[−1,5]的最大值为f(0)、f(5)中较大者，
因为f(0)=2，f(5)=−23，
所以f(x)在区间[−1,5]的最大值为2；
(2)法一：f′(x)=3ax2−12x=3x(ax−4)，
①当a=0时，f(x)=−6x2+2，令f(x)=0，可得x=± 33，不合题意；
②当a<0时，解不等式f′(x)>0，可得4a解不等式f′(x)<0，可得x<4a或x>0，
所以f(x)在(−∞,4a)单调递减，在(4a,0)单调递增，在(0,+∞)单调递减，
又因为f(0)=2>0，所以f(x)在(0,+∞)存在零点，不合题意；
③当a>0时，解不等式f′(x)>0，可得x<0或x>4a，
解不等式f′(x)<0，可得0所以f(x)在(−∞,0)单调递增，在(0,4a)单调递减，在(4a,+∞)单调递增，
又因为f(0)=2>0，所以f(x)在(−∞,0)存在零点x0，
若f(x)存在唯一的零点x0，且x0<0，则f(4a)>0，
可得64a2−96a2+2>0，即a2>16，解得a<−4或a>4，所以a>4.
综上，a>4.
法二：依题意知方程ax3−6x2+2=0有唯一的负根，
即a=6x−2x3有唯一负根，
所以y=a与y=6x−2x3的图象有唯一交点且位于y轴左侧，
令t=1x，则t≠0，g(t)=−2t3+6t，g′(t)=−6t2+6=−6(t+1)(t−1)
解不等式g′(t)>0，可得−1解不等式g′(t)<0，可得t<−1或t>1，
所以g(t)在(−∞,−1)单调递减，在(−1,0)，(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，
所以a>g(1)，
又g(1)=4，所以a>4，即a的取值范围是(4,+∞).
【解析】(1)当a=1时，f(x)=x3−6x2+2，根据导数求得函数的单调性，进而求得函数的最大值得到答案；
(2)法一：求得f′(x)=3x(ax−4)，分a=0、a<0、a>0讨论求得函数的单调区间，结合题意和函数零点的概念可求解；法二：由已知得a=6x−2x3有唯一负根，转化为y=a与y=6x−2x3的图象有唯一交点且位于y轴左侧，利用导数判断单调性结合函数零点的概念可得答案．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，函数的零点问题，考查运算求解能力，属于难题．
21.【答案】解：(1)(ⅰ)记“采用单次传输方案，依次发送1，0，1，依次收到1，0，1”为事件A，
则P(A)=(1−13)(1−12)(1−13)=29；
(ⅱ)记“采用三次传输方案，发送1，译码为1”为事件B，
则P(B)=(1−13)3+C32(1−13)2×13=2027；
(2)记“发送0，采用三次传输方案译码为0”为事件C，
记“发送0，采用单次传输方案译码为0”为事件D，
则P(C)=(1−α)3+C32(1−α)2α=(1−α)2(1+2α)，
P(D)=1−α，所以(1−α)2(1+2α)>1−α，
因为0<α<1，整理得2α2−α<0，
解得0<α<12，
即α的取值范围为{α|0<α<12}.
【解析】(1)(ⅰ)记“采用单次传输方案，依次发送1，0，1，依次收到1，0，1”为事件A，利用相互独立事件的概率公式、对立事件计算可得P(A)；
(ⅱ)记“采用三次传输方案，发送1，译码为1”为事件B，利用相互独立事件的概率公式、对立事件计算可得P(B)；
(2)记“发送0，采用三次传输方案译码为0”为事件C，记“发送0，采用单次传输方案译码为0”为事件D，求出P(C)、P(D)，利用P(C)>P(D)可得答案．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
22.【答案】解：(1)已知f(x)=lnxx−a，
可得f′(x)=x−ax−lnx(x−a)2=1−ax−lnx(x−a)2，
若函数f(x)在(0,a)上单调递减，
此时f′(x)≤0在(0,a)上恒成立，
即a≥x−xlnx在(0,a)上恒成立，
不妨设g(x)=x−xlnx，函数定义域为(0,a)，
可得g′(x)=−lnx，
当00，g(x)单调递增；
当x>1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
当0所以a≥g(a)，
即a≥a−alna，
解得a≥1，
所以a=1；
当a>1时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,a)上单调递减，
所以g(x)≤g(1)=1，
此时a≥1，
则a>1，
综上，实数a的取值范围为[1,+∞)；
(2)(i)不妨设h(x)=1−ax−lnx，函数定义域为(0,+∞)，
可得h′(x)=−x+ax2，
若f(x)存在两个极值点x1，x2，
此时x1，x2为函数h(x)的两个变号零点，
若a≤0，
此时h′(x)≤0，h(x)在(0,+∞)上单调递减，
所以h(x)不可能存在两个变号零点，不符合题意；
若a>0，
当00，h(x)单调递增；
当x>a时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
若h(x)存在两个变号零点，
此时函数h(x)的最小值h(a)>0，
解得0又h(a22)=1−aa22−lna22=1−2a−lna22，
不妨设k(a)=1−2a−lna22，函数定义域为(0,1)，
可得k′(a)=2a2−aa22=2−2aa2>0，
所以函数k(a)在(0,1)上单调递增，
此时h(a22)=k(a)又h(e)=1−ae−1=−ae<0，
所以当0综上，满足条件的实数a的取值范围为(0,1)；
(ii)证明：不妨设0要证x1+x2>2a，
即证x2>2a−x1，
因为2a−x1>a，x2>a，
又函数h(x)在(a,+∞)上单调递减，
所以需证h(x2)因为h(x1)=h(x2)，
即证h(x1)不妨设p(x)=h(x)−h(2a−x)，函数定义域为(0,a)，
可得p′(x)=−x+ax2+a+x−2a(2a−x)2=4a(x−a)2x2(x−2a)2>0，
所以函数p(x)在(0,a)上单调递增，
此时p(x)即p(x1)<0，
所以h(x1)故x1+x2>2a.
【解析】(1)由题意，对函数f(x)进行求导，将问题转化成a≥x−xlnx在(0,a)上恒成立，构造函数g(x)=x−xlnx，对函数g(x)进行求导，利用导数得到函数g(x)的单调性，进而即可求解；
(2)(ⅰ)构造函数h(x)=1−ax−lnx，对函数h(x)进行求导，将f(x)存在两个极值点x1，x2，转化成x1，x2为函数h(x)的两个变号零点，分别讨论当a≤0和a>0这两种情况，结合导数的几何意义进行求解即可；
(ⅱ)设02a，即证x2>2a−x1，结合函数h(x)的单调性，将问题转化成求证h(x1)本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、分类讨论、转化思想和运算能力．男生/人
女生/人
有自主创业打算
16
m
无自主创业打算
64
n
P(K2≥k)
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
一分钟跳绳等级
六年级男生
六年级女生
优秀
147及以上
152及以上
良好
135−146
136−151
及格
65−134
66−135
不及格
64及以下
65及以下
男生/次
150
132
160
122
152
111
154
98
158
157
女生/次
151
162
143
100
168
166
158
170
122
100
X
0
1
2
3
P
110
720
25
320