2021-2022学年山东省济宁市高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年山东省济宁市高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知随机变量服从正态分布，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 设，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

4. 在件同一型号的产品中，有件次品，件合格品，现不放回的从中依次抽取件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知随机变量的概率分布为：，其中是常数，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若函数的定义域为，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 某中学为了更好地培养学生劳动实践能力，举办了一次劳动技术比赛．根据预赛成绩，最终确定由甲、乙等名同学进入决赛，决出第名到第名的名次．决赛后甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军．”对乙说：“你和甲都不是最差的．”从这两个回答分析，甲、乙等人的决赛名次可能有种排列情况．(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知定义域为的函数在上单调递减，且是偶函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 下列命题中正确的是(    )

A. 在回归分析中，成对样本数据的样本相关系数的绝对值越大，成对样本数据的线性相关程度越强
B. 在回归分析中，可用决定系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好
C. 比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型拟合效果越差
D. 对分类变量与，统计量的值越大，则判断“与有关系”的把握程度越大

10. 设，则下列不等式中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 设、是两个随机事件，则下列等式一定成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

12. 定义在上的函数的导函数为，且则对任意，，其中，则下列不等式中一定成立的是(    )

A.
B.
C.
D.

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 若，则______．
14. 已知函数，则函数在点处的切线方程为______．
15. 甲、乙两同学玩掷骰子游戏，规则如下：
    甲、乙各抛掷质地均匀的骰子一次，甲得到的点数为，乙得到的点数为；
    若的值能使二项式的展开式中第项的二项式系数最大，则甲胜，否则乙胜．那么甲胜的概率为______．
16. 已知，，且满足，则的最小值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知展开式的二项式系数和为，各项系数和为．
    求、的值；
    若将展开式中的各项重新排列，求有理项互不相邻的概率．
18. 年月，山东省政府办公厅印发山东省电动自行车管理办法以下简称办法，自年月日起施行．办法的第十九条第三款规定：驾乘电动自行车人员规范佩戴安全头盔．佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的行为．某市为贯彻办法精神，加强对市民的安全教育，自年月日起，在该市某主干路口连续监控周，每周抓拍到驾乘电动自行车人员未规范佩戴安全头盔的统计数据如下表：

请利用所给数据求未规范佩戴头盔人数与周数序号之间的经验回归方程；
利用中建立的经验回归方程估算该路口第周未规范佩戴头盔的人数．
参考数据：，
参考公式：，．

19. 孔子曰：温故而知新，可以为师矣．数学学科的学习也是如此，为了调查“数学成绩是否优秀”与“是否及时复习”之间的关系，某校志愿者从高二年级的所有学生中随机抽取名学生进行问卷调查，得到如下样本数据：

试根据小概率值的独立性检验，能否认为“数学成绩优秀”与“及时复习”有关系？
在该样本中，用分层抽样的方法从数学成绩优秀的学生中抽取人，再从这人中随机抽取人．设抽取人中及时复习的人数为，求的分布列与数学期望．
临界值参考表：

参考公式，其中

20. 已知函数．
    如果函数为幂函数，试求实数、、的值；
    如果、，且函数在区间上单调递减，试求的最大值．
21. 某工厂的某种产品成箱包装，每一箱件．每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品是不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
    记件产品中恰有件不合格品的概率为，求的最大值点；
    现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用．
    若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；
    以检验费用与赔偿费用的和的期望值为决策依据是否该对这箱余下的所有产品作检验？
22. 已知函数．
    若，求的取值范围；
    若方程有两个不相等的实数根，并设这两个不相等的实数根为、，求证：．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意知，，
，解得：，
，
．
故选：．
解不等式，求得集合，进而求得．
本题考查了交集及其运算，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据题意可知正态分布曲线关于直线对称，
，
故选：．
根据题意可知正态分布曲线关于直线对称，据此可解决此题．
本题考查正态分布曲线中概率计算问题，考查数学运算能力及直观想象能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，又，，若，则命题不成立，反之，命题成立，
”是“”的必要不充分条件，
故选：．
首先解不等式，然后根据充要条件的概念直接判断．
本题考查了充要条件的概念，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意得：在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是．
故选：．
根据古典概型可解决此题．
本题考查古典概型应用，考查数学运算能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解；，，，，
，
故选：．
根据随机变量分布列概率和为，求得解之．
本题考查了随机变量分布列的性质，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：函数的定义域为，
不等式的解集为，
是方程的一个解，，求得，
故选：．
由题意，不等式的解集为，可得 是方程的一个解，由此求得的值．
本题主要考查求函数的定义域、二次函数的性质，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意可知，甲既不是第名，也不是第名，乙不是第名，
所以甲的名次可能是，，，第名可能为丙，丁，戊，
剩余的三个人全排，即可得到甲、乙等人的决赛名次的可能情况，
即有种．
故选：．
根据简单的推理可知，甲既不是第名，也不是第名，乙不是第名，由元素分析法和位置分析法即可求出．
本题考查排列数公式的应用，特殊元素优先安排，是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为是偶函数，所以关于对称，
又在上单调递减，
所以在上单调递增，
画出的草图如下所示，

因为，所以，
又不等式对任意的恒成立，
由图可知，，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
故选：．
由题意知关于对称，且在上单调递增，作出的草图，结合图形分析，可将原问题转化为，解该不等式，即可．
本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，熟练运用函数的单调性与奇偶性的性质是解题的关键，考查数形结合思想，运算求解能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于选项，样本相关系数来刻画成对样本数据的相关程度，当越大，则成对样本数据的线性相关程度越强，故A正确；
对于选项，相关指数来刻画模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好，故B正确．
对于选项，残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好，故C错误；
对分类变量与的统计变量的值来说，应该是越大，判断“与有关系”的把握程度越大，故D正确．
故选：．
根据回归分析的相关依次讨论各选项即可得答案．
本题考查回归分析，考查学生的分析能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，又由，则，，必有，即，A正确；
对于，，又由，则，，则，则，B错误；
对于，，则，，则有，C正确；
对于，，则，则有，D错误；
故选：．
根据题意，由不等式的性质依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查不等式的性质，注意作差法的应用，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对，当，不互斥时，不成立，故A错误；
对，当，为对立事件时，，则不成立，故B错误；
对，当时，成立，当时，根据条件概率的公式可得成立，故C正确；
对，根据条件概率的公式，结合选项可得成立，故D正确；
故选：．
对，根据，是否互斥判断即可；对，举反例判断即可；对，根据条件概率的公式判断即可．
本题考主要查条件概率，考查学生的计算能力，是基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：令，，则，
所以函数在上单调递增．
对于：由于，所以，即，
所以，故A不正确．
对于：由于，所以，
即，所以，故B正确．
对于：由，得，
即，同理．
两式相加得，故C不正确．
对于：；．
两式相减得
．
所以，
即，故D正确．
故选：．
构造函数，求出导数，利用已知可得在上单调递增，根据单调性依次判断每个选项即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了转化思想和函数思想，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由二项式定理展开式的通项公式可知，，
故答案为：．
利用二项式定理的展开式，即可解出．
本题考查了二项式定理的展开式，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为，所以切线斜率．
又，所以切线方程为，即．
故答案为：．
求导，利用导数求切线斜率，再求切点纵坐标，然后由点斜式可得．
本题主要考查切线方程，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：甲、乙各抛掷质地均匀的骰子一次，共有基本事件种基本事件；
要使二项式的展开式中第项的二项式系数最大，只需：
，共有，，，，，共种情况；
，共有，，，，共种情况；
，共有，，，共种情况；
一共种情况，
所以甲胜的概率为．
故答案为：．
列举基本事件，利用古典概型的概率公式直接求解．
本题考查二项式定理及古典概型，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为，，，
两边取对数，得，
所以，
所以，
所以，
令，则，
所以，即，
令，，
所以，，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以，
所以方程的解为，
所以，
又因为，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为，
故答案为：．
由于，，，两边取对数得，即，令，则，，解得，则，由基本不等式，即可得出答案．
本题考查基本不等式的应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

17.【答案】解：由题意可知：
解得：．
由可知二项式为其通项公式为：．
由二项式展开式的通项公式可知：
当，，时，会得到二项式展开式的有理项．
所以二项式的展开式中有理项共项
所以将展开式各项重新排列，求其中有理项互不相邻的概率为：． 

【解析】根据题中的条件，列出等式，即可解出；
利用二项式定理展开式的通项公式，结合排列组合，即可解出．
本题考查了二项式定理，排列组合以及概率，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：由表中数据可知，，，，
则，，
故所求经验回归方程为．
解：令，则人，
预计该路口第周未规范佩戴头盔的人数为人． 

【解析】根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解．
将代入上式的线性回归方程中，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的求解，掌握最小二乘法是解本题的关键，属于中档题．
 

19.【答案】解：零假设为：数学成绩优秀与及时复习没有关联．
根据数据计算，
依据的独立性检验，可以推断不成立，即认为“数学成绩优秀”与“及时复习”有关系，该推断犯错误的概率不超过．
根据分层抽样方法得，选取的人中，及时复习的有人，不及时复习的有人．
的所有可能取值为：，，，
，，，
所以的分布列为：

所以的数学期望． 

【解析】计算卡方进行独立性检验即可；
根据超几何分布的分布列，结合数学期望的公式求解即可
本题考查了独立性检验以及离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
 

20.【答案】解：由为幂函数知：
或．
解得：，，，或，，．
当时，
由题意知，，所以．
当时，函数图象的对称轴为，
以题意得：，即
所以，．
当且仅当，时取等号．
当时，
以题意得：，即，即
又因为，
所以
综上可得，的最大值为． 

【解析】根据幂函数的定义得到方程组，解得即可；
分、、三种情况讨论，结合二次函数的性质及基本不等式计算可得．
本题主要考查幂函数的定义、二次函数的性质和基本不等式，属于基础题．
 

21.【答案】解：因为件产品中恰有件不合格品的概率为，
所以，
令，得，
当时，；当时，，
所以在上单调递增；在上单调递减，
所以的最大值点为；
由知，，
令表示余下的件产品中的不合格品件数，依题意知：，
，即，
所以，
如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为元，
由于，故不应该对该箱余下的产品作检验． 

【解析】依题意可得，求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值点．
令表示余下的件产品中的不合格品件数，则，，根据二项分布的期望公式及期望的性质计算可得；由的期望判断即可．
本题考查了离散型随机变量的期望以及导数的应用，属于中档题．
 

22.【答案】解：因为，所以，
即，所以，
令，所以，
令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则最小值为，
所以；
因为，是的两个不相等的实数根，
所以，，
即，
由可知当时恒成立，方程不可能有两个不相等的实数根，
所以，由可得，即有，
要证，即证，
由可得即证，
又，所以即证，
令，则，
令，，
所以在上单调递增，
，所以，得证． 

【解析】参变分离，构造新函数，求导得到函数的单调性，求出最小值，写出范围；
将，代入丙整理消去得到，的关系式，构造新函数，求导证明即可．
本题考查导数的综合应用，转换思想，属于中档题．