2022-2023学年山东省聊城市高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年山东省聊城市高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知全集U={1,2,3,4,5,6}，∁UA={1,2,4}，∁UB={3,4,5}，则A∪B=( )
A. {1,2,5,6}B. {4,6}C. {1,2,3,6}D. {1,2,3,5,6}
2.若X为离散型随机变量，则“D(aX+b)=4D(X)”是“a=2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.设a=lg23，b=lg32，c=12lg25，则a、b、c的大小顺序为( )
A. a>c>bB. c>a>bC. b>c>aD. b>a>c
5.若函数f(x)=x3-ax2+ax+3存在极值点，则a的取值范围是( )
A. (-∞,0)∪(3,+∞)B. (0,3)
C. (-∞,0]∪[3,+∞)D. [0,3]
6.毕业季，6位身高全不相同的同学拍照留念，站成前后两排各三人，要求每列后排同学比前排高的不同排法共有( )
A. 40种B. 20种C. 180种D. 90种
7.已知函数f(x)=2x+x+1，g(x)=lg2x+x+1，h(x)=x3+x+1的零点分别为a，b，c，则( )
A. f(a)>f(b)>f(c)B. f(b)>f(c)>f(a)
C. f(c)>f(a)>f(b)D. f(b)>f(a)>f(c)
8.托马斯⋅贝叶斯(ThmasBayes)在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：P(Ai|B)=P(Ai)P(B|Ai)nj=1P(Aj)P(B|Aj)，这个公式被称为贝叶斯公式(贝叶斯定理)，其中nj=1P(Aj)P(B|Aj)称为B的全概率.假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为( )
A. 37150B. 975C. 1837D. 12
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.2023年5月30日，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心发射升空，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功.某学校调查学生对神舟十六号的关注与性别是否有关，随机抽样调查了1000名学生，进行独立性检验，计算得到χ2≈7.936，依据表中给出的χ2独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是( )
A. 零假设H0：对神舟十六号的关注与性别独立
B. 根据小概率值α=0.005的独立性检验，可以认为对神舟十六号的关注与性别无关
C. 根据小概率值α=0.005的独立性检验，可以认为对神舟十六号的关注与性别不独立，此推断犯错误的概率不大于0.005
D. 根据小概率值α=0.001的独立性检验，可以认为对神舟十六号的关注与性别独立
10.一箱儿童玩具中有3件正品，2件次品，现从中不放回地任取2件进行检测.记随机变量X为检测到的正品的件数，则( )
A. X服从二项分布B. P(X≥1)=910
C. E(X)=65D. 最有可能取得的X为1
11.若A-、B-分别为随机事件A、B的对立事件，P(A)>0，P(B)>0，则下列结论正确的是( )
A. P(B|A)+P(B|A-)=1
B. P(A-|B)P(B)=P(B|A-)P(A-)
C. P(A|B)+P(A-|B)=P(B)
D. 若P(A|B)=P(A)，则P(B|A)=P(B)
12.已知函数f(x)在R上单调递增，且其图象关于点(a,b)中心对称，则下列结论正确的是( )
A. f(2a+x)=b-f(-x)
B. 若f(x1)+f(x2)>2b，则x1+x2>2a
C. f'(x)的图象关于直线x=a轴对称
D. 若f'(x1)>f'(x2)，则|x1-a|>|x2-a|
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.能够说明“若a，b，m均为正数，则b+ma+m14.已知随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=2a2，P(X=1)=a，那么a=______.
15.已知abc表示一个三位数，如果满足ac，那么我们称该三位数为“凸数”，则没有重复数字的三位“凸数”的个数为______.
16.已知定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的函数f(x)在(-∞,0)上单调递增，且对定义域内任意的a，b都满足f(ab)=f(a)+f(b)-1.若存在x∈(1,+∞)，使不等式f(mx)-f(lnx)>f(-1)-1成立，则实数m的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
病毒感染是指病毒通过多种途径侵入机体，并在易感的宿主细胞中增殖的过程.如果一个宿主感染了病毒并且在刚出现不良反应时就对症下药，在用药x小时后病毒的数量为f(x)=-x2+10x+5,0≤x≤5,-2x+40,5(1)求曲线y=f(x)点在(1,f(1))处的切线方程；
(2)求细菌数量超过14(百个)的时间段.
18.(本小题12分)
已知f(x)=ax(a>0,且a≠1).
(1)判断函数h(x)=f(x)-f(-x)的奇偶性和单调性，并给出证明；
(2)求函数g(x)=f(x)+f(-x)的值域.
19.(本小题12分)
已知(3x-1)n的展开式中第4项和第6项的二项式系数相等.
(1)求x2项的系数；
(2)若(3x-1)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn，求2na0+2n-1a1+⋯+2an-1+an的值.
20.(本小题12分)
天气越来越热，某冷饮店统计了近六天每天的用电量和对应的销售额，目的是了解二者之间的关系，数据如表：
(1)该冷饮店做了一次摸奖促销活动，在一个口袋里放有大小、质地完全相同的6个红色雪花片和4个白色雪花片.若有放回地从口袋中每次摸取1个雪花片，连续摸两次，两次摸到的雪花片颜色不同定为一等奖，两次摸到的雪花片颜色相同定为二等奖，试比较中一等奖和中二等奖的概率的大小.
(2)已知两个变量x与y之间的样本相关系数r=89，请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程y =b x+a ，据此能否预测明年同时期用电量为15千瓦时的销售额？如果能，计算出结果；如果不能，请说出理由.
参考公式：b =i=1n(xi-x-)(yi-y-)i=1n(xi-x-)2，r=i=1n(xi-x-)(yi-y-) i=1n(xi-x-)2⋅ i=1n(yi-y-)2.
相关数据：i=16yi2=2724，i=16(yi-y-)2=324.
21.(本小题12分)
甲、乙两位同学进行乒乓球打比赛，约定：①每赢一球得1分；②采用三球换发制，即每比赛三班交换发球权.假设甲发球时甲得分的概率是35，乙发球时甲得分的概率是12，各球的结果相互独立.根据抽签结果决定，甲先发球.
(1)用X表示比赛三球后甲的得分，求X的分布列和均值；
(2)求比赛六球后甲比乙的得分多的概率.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=-2lnx-ax2+1.
(1)当a=1时，求f(x)在区间[12,2]上的最值；
(2)若f(x)有两个不同的零点x1，x2，求a的取值范围，并证明：1x12+1x22>2a.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：U={1,2,3,4,5,6}，∁UA={1,2,4}，∁UB={3,4,5}，
则A={3,5,6}，B={1,2,6}，
故A∪B={1,2,3,5,6}.
故选：D.
根据已知条件，结合补集的定义，先求出集合A，B，再结合并集的定义，即可求解．
本题主要考查补集、并集的运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由D(aX+b)=a2D(X)=4D(X)，解得a=±2，
则“D(aX+b)=4D(X)”是“a=2”的必要不充分条件．
故选：B.
由方差的性质结合充分必要条件的定义判断即可．
本题主要考查离散型随机变量的分布列和方差，属于中档题．
4.【答案】A
【解析】解：a=lg23>lg2 5=12lg25=c>lg22=1=lg33>lg32=b，
即a>c>b.
故选：A.
利用对数函数的单调性结合中间值1可得出a、b、c的大小关系．
本题主要考查了函数的单调性在不等式大小比较中的应用，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：因为f(x)=x3-ax2+ax+3，则f'(x)=3x2-2ax+a，
因为函数f(x)存在极值点，则对于函数f'(x)=3x2-2ax+a，Δ=4a2-12a>0，
解得a<0或a>3，故实数a的取值范围是(-∞,0)∪(3,+∞).
故选：A.
分析可知，对于函数f'(x)=3x2-2ax+a，Δ>0，即可解得实数a的取值范围．
本题考查导数的综合应用，属基础题．
6.【答案】D
【解析】解：按列选取，相当于6位同学分成3组，只要选出来了，让高的同学站在后排即可，故C62C42C22=90种．
故选：D.
可看成6位同学分成3组．利用排列组合知识可解．
本题考查排列组合相关知识，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由f(x)=2x+x+1=0，得2x=-x-1，∴a为y=2x与y=-x-1图象交点的横坐标，
由g(x)=lg2x+x+1，得lg2x=-x-1，∴b为y=lg2x与y=-x-1图象交点的横坐标，
由h(x)=x3+x+1=0，得x3=-x-1，∴c为y=x3与y=-x-1图象交点的横坐标，
在同一坐标系内分别作出y=2x,y=lg2x,y=x3和y=-x-1的图象，
则由图象可得a又∵y=2x和y=x+1在R上单调递增，∴f(x)=2x+x+1在R上单调递增，
可得f(b)>f(c)>f(a).
故选：B.
由题意可得a，b，c分别为y=2x,y=lg2x,y=x3和y=-x-1图象交点的横坐标，作出图象可得a本题考查函数零点判定定理的应用，考查数形结合思想，是中档题．
8.【答案】C
【解析】解：设从甲中取出2个球，其中白球的个数为i个的事件为Ai，事件Ai的概率为P(Ai)，
从乙中取出2个球，其中白球的个数为2个的事件为B，事件B的概率为P(B)，
由题意：
①P(A0)=C22C30C52=110，P(B|A0)=C22C40C62=115；
②P(A1)=C31C21C52=35，P(B|A1)=C32C30C62=15；
③P(A2)=C20C32C52=310，P(B|A2)=C42C20C62=25；
根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个红球，
则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为：
P(A2|B)=P(A2)P(B|A2)P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=310×25110×115+35×15+310×25=61+9+6=1837.
故选：C.
根据题意，先分析求解设从甲中取出2个球，其中白球的个数为i个的事件为Ai，事件Ai的概率为P(Ai)，从乙中取出2个球，其中白球的个数为2个的事件为B，事件B的概率为P(B)，再分别分析i=0，1，2三种情况求解即可．
本题考查了条件概率，考查超几何分布，是中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：因为χ2≈7.936，对于A选项，零假设H0：对神舟十六号的关注与性别独立，A对；
对于B选项，因为χ2≈7.936>7.879=x0.005，
根据小概率值α=0.005的独立性检验，可以认为对神舟十六号的关注与性别不独立，此推断犯错误的概率不大于0.005，B错C对；
对于D选项，因为χ2≈7.936<10.828=x0.001，
根据小概率值α=0.001的独立性检验，可以认为对神舟十六号的关注与性别独立，D对．
故选：ACD.
根据独立性检验逐项判断，可得出合适的选项．
本题考查独立性检验等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：由题意可知X的分布列为：
对于A，X服从超几何分布，而不是二项分布，故A错误，
对于B，P(X≥1)=1-P(X=0)=910，故B正确，
对于C，E(X)=0×110+1×610+2×310=65，C正确，
对于D，由于X为1时的概率最大，所以最有可能．D正确
故选：BCD.
根据超几何分布的概率公式计算得分布列，即可结合选项逐一求解．
本题主要考查离散型随机变量的分布列和方差和超几何分布，属于中档题．
11.【答案】BD
【解析】解：对于A选项，因为P(B|A)+P(B-|A)=P(AB)P(A)+P(AB-)P(A)=P(AB)+P(AB-)P(A)=P(A)P(A)=1，
但P(B|A-)与P(B-|A)不一定相等，故P(B|A)+P(B|A-)不一定等于1，故A错误；
对于B选项，因为P(A-|B)P(B)=P(A-B)，P(B|A-)P(A-)=P(A-B)，
故P(A-|B)P(B)=P(B|A-)P(A-)，B正确；
对于C选项，P(A|B)+P(A-|B)=P(AB)P(B)+P(A-B)P(B)=P(B)P(B)=1，C错误；
对于D选项，因为P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)，故P(AB)=P(A)P(B)，
故事件A、B独立，故P(B|A)=P(AB)P(A)=P(B)，D正确．
故选：BD.
利用条件概率公式逐项判断，可得出合适的选项．
本题考查了条件概率公式，是基础题．
12.【答案】BC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f(x)的图象关于点(a,b)中心对称，即f(a-x)+f(a+x)=2b，变形可得f(2a+x)=2b-f(-x)，A错误；
对于B，若f(x1)+f(x2)>2b，即f(x1)>2b-f(x2)，又由A的结论，可得f(x1)>f(2a-x2)，
则有x1>2a-x2，变形可得x1+x2>2a，B正确；
对于C，由A的结论，f(2a+x)=2b-f(-x)，两边同时求导可得：f(2a+x)=f(-x)，则f(x)的图象关于直线x=a轴对称，C正确；
对于D，若f'(x1)>f'(x2)，不能判定x1与x2的大小关系，D错误．
故选：BC.
对于A，由函数的对称性有f(2a+x)=2b-f(-x)，可得A错误；对于B，由函数的对称性分析可得f(x1)>f(2a-x2)，结合函数单调性可得B正确，对于C，对等式f(2a+x)=2b-f(-x)，两边同时求导，分析可得C正确，对于D，由导数的几何意义分析，可得D错误，综合可得答案．
本题考查抽象函数的性质，涉及函数单调性的性质和导数的计算，属于中档题．
13.【答案】1 2
【解析】解：因为命题“若a，b，m均为正数，则b+ma+m所以ba-b+ma+m=(b-a)ma(a+m)>0，因为a，b，m均为正数，
所以可得0故答案为：1；2.
由命题是真命题，得ba-b+ma+m=(b-a)ma(a+m)>0，进而可得0本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
14.【答案】12
【解析】解：由题意可知P(X=0)+P(X=1)=a+2a2=1⇒a=12或a=-1，
由于a>0，所以a=12.
故答案为：12.
根据概率之和为1即可求解．
本题主要考查二项分布的定义，属于基础题．
15.【答案】204
【解析】解：由题意可知，在a、b、c三个数中，b最大，分以下两种情况讨论：
①若a、b、c中有一个为0，则最大的数放中间，0放在个位上，另外一个数放在百位上，
此时，满足条件的没有重复数字的三位“凸数”的个数为C92=36个；
②若a、b、c三个数都不为零，则最大的数放中间，另外两个数分别放在个位和百位上，
此时，满足条件的没有重复数字的三位“凸数”的个数为C93A22=84×2=168.
综上所述，没有重复数字的三位“凸数”的个数为36+168=204个．
故答案为：204.
分两种情况讨论：①a、b、c中有一个为0；②a、b、c三个数都不为零．确定三个数字的位置，结合分类加法计数原理可得结果．
本题考查排列组合，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】(-1e,0)∪(0,1e)
【解析】解：令a=b=1，则f(1)=2f(1)-1⇒f(1)=1，
令a=b=-1，则f(1)=2f(-1)-1⇒f(-1)=1，
去b=-1，a=x，(x∈(-∞,0)∪(0,+∞))，
则f(-x)=f(x)+f(-1)-1⇒f(x)=f(-x)，
所以f(x)为定义域(-∞,0)∪(0,+∞)内的偶函数，
f(x)在(-∞,0)上单调递增，故f(x)在(0,+∞)上单调递减，
由f(mx)-f(lnx)>f(-1)-1得f(mx)>f(-lnx)，
因此存在x∈(1,+∞)，使|mx|<|lnx|，
当x∈(1,+∞)，则|m|x记g(x)=lnxx，x∈(1,+∞)，则g'(x)=1-lnxx2，
故当x∈(e,+∞)，g'(x)<0，g(x)单调递减，
当x∈(1,e)，g'(x)>0，g(x)单调递增，
故当x=e时，g(x)取极大值也是最大值g(e)=1e单调递减，
所以|m|故解得m∈(-1e,0)∪(0,1e).
故答案为：(-1e,0)∪(0,1e).
利用赋值法可得f(x)为偶函数，将问题转化为存在x∈(1,+∞)，使|m|x本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)当0≤x≤5时，f(x)=-x2+10x+5，f(1)=-1+10+5=14，
f'(x)=-2x+10，f'(1)=-2+10=8.
故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-14=8(x-1)，
即8x-y+6=0.
(2)当0≤x≤5时，由-x2+10x+5>14，解得1当514，解得5综上所述1【解析】(1)由导数的几何意义得出切线方程；
(2)分段讨论，解不等式即可．
本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，是中档题．
18.【答案】解：(1)函数h(x)为奇函数，且当a>1时，h(x)为增函数；当0证明如下：h(x)=f(x)-f(-x)=ax-a-x，
因为h(x)的定义域为R，h(-x)=f(-x)-f(x)=a-x-ax=-h(x)，
所以h(x)为奇函数．
设x1当a>1时，因为ax1所以h(x1)-h(x2)<0，
故h(x)为增函数；
当0ax2，a-x2>a-x1，ax1+a-x2>ax2+a-x1，
所以h(x1)-h(x2)>0，
故h(x)为减函数．
综上，当a>1时，h(x)为增函数；当0(2)g(x)=f(x)+f(-x)=ax+a-x.
因为ax>0，
所以ax+a-x≥2 ax⋅a-x=2(当且仅当x=0时取等号)，
又x→+∞时，ax+a-x→+∞，
所以g(x)的值域为[2,+∞).
【解析】(1)由定义判断h(x)的奇偶性，由单调性的定义证明即可；
(2)由基本不等式得出值域．
本题考查函数性质的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)因为展开式中第4项和第6项的二项式系数相等，所以Cn3=Cn5，解得n=8.
所以(3x-1)8的展开式的通项公式为Tk+1=C8k(3x)8-k⋅(-1)k，k=0，1，⋯，8.
令8-k=2，则k=6，
所以x2项的系数为C86×9=28×9=252；
(2)由(1)知，n=8，由(3x-1)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn，
令x=12，得(3×12-1)8=128=a0+a12+a222+⋯+a828，
所以28a0+27a1+⋯+2a7+a8=1.
【解析】(1)由题意可得Cn3=Cn5，从而可求n，根据二项展开式的通项求解即可；
(2)令x=12即可求解．
本题考查二项式定理相关知识，属于中档题．
20.【答案】解：(1)两次摸到的雪花片颜色不同的概率为P1=610×410×2=1225，
两次摸到的雪花片颜色相同的概率为P2=610×610+410×410=1325，
显然P1(2)依题意可得x-=4+7+8+9+14+126=9，
所以i=16(xi-x-)2=(4-9)2+(7-9)2+(8-9)2+(9-9)2+(14-9)2+(12-9)2=64，
由于r=i=16(xi-x-)(yi-y-) i=16(xi-x-)2⋅ i=16(yi-y-)2=i=16(xi-x-)(yi-y-)8×18=89，
所以i=16(xi-x-)(yi-y-)=16×8=128，所以b =i=16(xi-x-)(yi-y-)i=16(xi-x-)2=12864=2，
因为i=16yi2=2724，i=16(yi-y-)2=i=16yi2-2y-⋅i=16yi+6y-2=i=16yi2-6y-2=324，
所以y-2=i=16yi2-3246=2724-3246=400，则y-=20，
故a =y--b x-=20-2×9=2，
则回归方程为y=2x+2，
因为经验回归方程有时效性，即冷饮受温度影响较大，明年的这个时期的温度不一定和现在相同，
故不能用今年求出的经验回归方程估算明年的情况．
【解析】(1)计算出两次摸到的雪花片颜色不同的概率和两次摸到的雪花片颜色相同的概率，比较大小后可得出结论；
(2)根据相关系数公式结合参考数据可求得i=16(xi-x-)(yi-y-)，根据i=16(yi-y-)2=i=16yi2-6y-2可求得y-的值，由此可得出回归直线方程，再结合经验回归方程有时效性可得出结论．
本题考查线性回归方程相关知识，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意得X的所有可能取值是0，1，2，3.
则P(X=0)=(25)3=8125，
P(X=1)=C31×35×(25)2=36125，
P(X=2)=C32×(35)2×25=54125，
P(X=3)=(35)3=27125，
所以X的分布列为：
X的均值E(X)=0×8125+1×36125+2×54125+3×27125=95.
(2)设A=“比赛六球后甲比乙的得分多”，A1=“比赛六球后甲得6分，乙得0分”，
A2=“比赛六球后甲得5分，乙得1分”，
A3=“比赛六球后甲得4分，乙得2分”，则A=A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥．
因为P(A1)=(35)3×(12)3=271000，
P(A2)=C32×(35)2×25×(12)3+(35)3×C32×(12)3=1351000=27200，
P(A3)=(35)3×C31×(12)3+C31×35×(25)2×(12)3+C32×(35)2×25×C32×(12)3
=811000+361000+1621000=2791000，
所以P(A)=271000+27200+2791000=4411000.
所以比赛六球后甲比乙的得分多的概率为4411000.
【解析】(1)由题意得X的所有可能取值是0，1，2，3，然后求出相应的概率，从而可求出X的分布列和均值；
(2)设A=“比赛六球后甲比乙的得分多”，A1=“比赛六球后甲得6分，乙得0分”，A2=“比赛六球后甲得5分，乙得1分”，A3=“比赛六球后甲得4分，乙得2分”，则A=A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，然后求出根据题意求出A1，A2，A3的概率，再利用互斥事件的概率公式可求得结果．
本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望等相关知识，属于中档题．
22.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=-2lnx-1x2+1，x∈[12,2]，
则f'(x)=-2x+2x3=-2×(x+1)(x-1)x3.
当120；当1所以f(x)在区间(12,1)上单调递增，在区间(1,2)上单调递减．
又f(2)=-2ln2-14+1=34-2ln2，f(12)=-2ln12-4+1=-3+2ln2，f(1)=-2ln1-1+1=0，
f(12)-f(2)=4ln2-154=4(ln2-1516)<0，
所以f(x)在区间[12,2]上的最大值为0，最小值为-3+2ln2.
(2)f'(x)=-2x2-2ax3(x>0).
当a≤0时，f'(x)<0，f(x)在(0,+∞)上单调递减，不可能有两个零点，舍去；
当a>0时，f'(x)=-2(x+ a)(x- a)x3(x>0)，
由f'(x)>0，得0由f'(x)<0，得x> a，则f(x)在( a,+∞)上单调递减．
当x= a时，f(x)取得极大值，极大值为f( a)=-lna.
要满足题意，必有f( a)=-lna>0，得0又x→0时，f(x)=-2lnx-ax2+1=-2x2lnx-ax2+1→-∞，
x→+∞时，f(x)=-2lnx-ax2+1→-∞，
所以a的取值范围为(0,1).
证明如下：
因为x1，x2是f(x)的两个不同的零点，
所以f(x1)=-2lnx1-ax12+1=0，f(x2)=-2lnx2-ax22+1=0，
两式相减得2a=x22-x12x12x22lnx2x1.
不妨设x2>x1>0，要证1x12+1x22>2a，
只需证1x12+1x22>x22-x12x12x22lnx2x1，即证lnx2x1>x22x12-1x22x12+1，
设x2x1=t∈(1,+∞)，只需证lnt>t2-1t2+1(t>1)，
设g(t)=lnt-t2-1t2+1(t>1)，
则g'(t)=1t-4t(t2+1)2=(t2-1)2t(t2+1)2>0，
∴g(t)在(1,+∞)上为增函数，
从而g(t)>g(1)=0，
所以lnt>t2-1t2+1(t>1)成立，
从而1x12+1x22>2a，即得证．
【解析】(1)先求导函数，再根据导函数正负确定单调区间最后求出最值即可；
(2)先根据零点个数求出参数a的范围，再设x2x1=t∈(1,+∞)，把二元不等式转化为一元，结合导函数的性质求解即得．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，解题关键是设x2x1=t∈(1,+∞)，把二元不等式转化为一元，结合导函数的性质求解即得，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于较难题目．α
0.050
0.010
0.005
0.001
xα
3.841
6.635
7.879
10.828
用电量x(千瓦时)
4
7
8
9
14
12
销售额y(百元)
y1
y2
y3
y4
y5
y6
X
0
1
2
P
C22C52=110
C21C31C52=610
C32C52=310
X
0
1
2
3
P
8125
36125
54125
27125