2022-2023学年山东省东营市高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年山东省东营市高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.(x−1x)(a+y)6的展开式中，含x−1y4项的系数为−15，则a=( )
A. 1B. −1C. ±1D. ±2
2.已知a为实数，函数f(x)=3x3+2ax2+(2+a)x的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为( )
A. 11x−y−6=0B. 9x+y−6=0
C. 5x−11y+2=0D. 6x+5y−11=0
3.现有两筐排球，甲筐中有10个白色球、5个红色球，乙筐中有4个黄色球、6个红色球、5个黑色球.某排球运动员练习发球时，在甲筐取球的概率为0.6，在乙筐取球的概率为0.4.若该运动员从这两筐球中任取一个排球，则取到红色排球的概率为( )
A. 0.73B. 0.36C. 0.32D. 0.28
4.设等比数列{an}的公比为q，则“q>1“是“数列{an}为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.国内现存两件国宝级文物——战国宴乐水陆攻战纹铜壶，分别藏于故宫博物院与四川博物馆.铜壶上的图像采用“嵌错”制作工艺，铜壶身上的三圈纹饰，将壶身分为四层.假设第一层与第二层分别看作圆柱与圆台，且圆柱与圆台的高之比为32，其正视图如图2所示，根据正视图，可得圆柱与圆台这两个几何体的体积之比为(注：V圆台=13⋅π⋅h(R2+r2+Rr))( )
A. 314B. 914C. 310D. 910
6.若函数f(x)在R上可导，且f(x)>f′(x)，则当a>b时，下列不等式恒成立的是( )
A. eaf(a)>ebf(b)B. ebf(a)>eaf(b)C. ebf(b)>eaf(a)D. eaf(b)>ebf(a)
7.数学与音乐有着紧密的关联.声音中也包含正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的.纯音的数学模型是函数y=Asinωx，我们平时听到的音乐一般不是纯音，而是有多种波叠加而成的复合音.已知刻画某复合音的函数为sinx+12sin2x+13sin3x，则其部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
8.古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝(古印度货币单位)，以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天计算，记此人第n日布施了an子安贝(其中1≤n≤31，n∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn.若关于n的不等式an+12+256≥(Sn+2)(t+5)恒成立，则实数t的最大值为( )
A. 15B. 20C. 24D. 27
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知数列{an}的首项a1=1，且an+1=2an+1，满足下列结论正确的是( )
A. 数列{an}是等比数列B. 数列{an+1}是等比数列
C. an=2n−1D. 数列{an}的前n项的和Sn=2n−n
10.某中学在学校艺术节举行“三独”比赛(独唱、独奏、独舞)，由于疫情防控原因，比赛现场只有9名教师评委给每位参赛选手评分，全校4000名学生通过在线直播观看并网络评分，比赛评分采取10分制．某选手比赛后，现场9名教师原始评分中去掉一个最高分和一个最低分，得到7个有效评分如表．对学生网络评分按[7,8),[8,9),[9,10]分成三组，其颊率分布直方图如图所示．则下列说法正确的是( )
A. 现场教师评委7个有效评分与9个原始评分的中位数相同
B. 估计全校有1200名学生的网络评分在区间[8,9)内
C. 在去掉最高分和最低分之前，9名教师评委原始评分的极差一定大于0.7
D. 从学生观众中随机抽取10人，用频率估计概率，X表示评分不小于9分的人数，则E(X)=5
11.如图，边长为4的正方形ABCD是圆柱的轴截面，点P为圆弧AD上一动点(点P与点A，D不重合)AP=λAD(0<λ<1)，则( )
A. 存在λ值，使得AD⊥BP
B. 三棱锥P−ABD体积的最大值为163
C. 当λ=12时，异面直线PB与AD所成角的余弦值为 66
D. 当直线PB与平面ABCD所成角最大时，平面PAB截四棱锥P−ABCD外接球的截面面积为4 2π
12.已知函数f(x)满足：①f(a+x)为偶函数；②f(c+x)+f(c−x)=2d，a≠c.f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是( )
A. f′(x)关于x=c对称B. f(2x)的一个周期为2|c−a|
C. f(f(x))不关于(c,d)对称D. f(f(x))关于x=a对称
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.等差数列{an}中，a7−a5+8=a9，则数列{an}的前13项的和为______.
14.若X∼N(1,σ2)，且P(X≤a)+P(X≤a−12)=1，则a=______.
15.已知：若函数f(x)，g(x)在R上可导，f(x)=g(x)，则f′(x)=g′(x).又英国数学家泰勒发现了一个恒等式e2x=a0+a1x+a2x2+…+anxn+…，则a0=______，n=110an+1nan=______.
16.如图，一张A4纸的长AD=2 2a，宽AB=2a，M，N分别是AD，BC的中点.现将△ABD沿BD折起，得到以A，B，C，D为顶点的三棱锥，则三棱锥与A−BCD的外接球O的半径为______；在翻折的过程中，直线 MN被球O截得的线段长的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知正项数列{an}与{bn}，且{bn}为等比数列，an+12−2an+1=an2+2an，a1=b1=1，_____.
从条件①{bn}的前3项和S3=7.②b4=(a1+a2)b2.③b2⋅b4=16.任选一个补充在上面问题中，并解答下列问题：
(1)求证：数列{an}为等差数列；
(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.
(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).
18.(本小题12分)
2021年4月7日，“学习强国”上线“强国医生”功能，提供智能导诊、疾病自查、疾病百科、健康宣传等多种医疗健康服务.
(1)为了解“强国医生”的使用次数多少与性别之间的关系，某调查机构调研了200名“强国医生”的使用者得到表中数据，根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为“强国医生”的使用次数与性别有关；
(2)该机构统计了“强国医生”上线7天内每天使用该服务的女性人数，“强国医生”上线的第x天，每天使用“强国医生”的女性人数为y，得到以下数据：
通过观察散点图发现样本点集中于某一条曲线y=a⋅bx的周围，求y关于x的回归方程，并预测“强国医生”上线第12天使用该服务的女性人数.
附：随机变量x2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d.
其中zi=lgyi.
参考公式：对于一组数据(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，其回归直线y =c +d x的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为d =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2，c =y−−d x−.
19.(本小题12分)
如图，已知六面体ABCDPE的面ABCD为梯形，AB//CD，AB⊥AD，AB=2，CD=AD=4，棱PA⊥平面ABCD，PA//BE，PA=4，BE=2，F为PD的中点.
(1)求证：AF//平面PBC；
(2)求直线BE与平面PCD所成角的大小.
20.(本小题12分)
某公司生产一种大件产品的日产为2件，每件产品质量为一等的概率为0.5，二等的概率为0.4，若达不到一、二级，则为不合格，且生产两件产品品质结果相互独立.已知生产一件产品的利润如表：
(1)求生产两件产品中至少有一件一等品的概率；
(2)求该公司每天所获利润ξ(万元)的数学期望；
(3)若该工厂要增加日产能，公司工厂需引入设备及更新技术，但增加n件产能，其成本也将相应提升n−lnn(万元)，假如你作为工厂决策者，你觉得该厂目前该不该增产？请回答，并说明理由.(ln2≈0.69,ln3≈1.1)
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=axlnx−2x.
(1)若f(x)在x=1处取得极值，求f(x)在区间[1,2]上的值域；
(2)若函数h(x)=f(x)x−x2+2有1个零点，求a的取值范围.
22.(本小题12分)
如图，已知四棱锥P−ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60∘，AB=PC=2，PA=PB= 2.M是棱PD上的点，且四面体MPBC的体积为 36.
(1)证明：PM=MD；
(2)若过点C，M的平面α与BD平行，且交PA于点Q，求平面BCQ与平面ABCD夹角的余弦值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：(a+y)6的展开式的通项公式为C6ra6−ryr，
令r=4，可得C6ra6−ryr=15a2y4，
所以含x−1y4项的系数为−15a2，
即−15a2=−15，解得a=±1.
故选：C.
先求出(a+y)6的通项公式，然后整理出x−1y4项的系数，根据系数相等可得答案．
本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：∵由已知可得f′(x)=9x2+4ax+2+a是偶函数，
∴f′(−x)=9x2−4ax+2+a=9x2+4ax+2+a=f′(x)，
解得a=0，故f′(x)=9x2+2，f(x)=3x3+2x，
∴f(1)=5，f′(1)=11，
故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−5=11(x−1).
即11x−y−6=0.
故选：A.
由偶函数的定义确定参数a的值，再根据导数的几何意义，结合导数运算求解即可得切线方程．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：设事件A=“运动员从这两筐球中任取一个排球，则取到红色排球”，
事件B=“运动员从甲筐球中取球”，事件C=“运动员从乙筐球中取球”，
由题意可得P(A|B)=510+5=13，P(B)=0.6，P(A|C)=64+6+5=25，
P(C)=0.4，由全概率公式可得
P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|C)P(C)=13×0.6+25×0.4=0.36.
故选：B.
设事件A=“运动员从这两筐球中任取一个排球，则取到红色排球”，事件B=“运动员从甲筐球中取球”，事件C=“运动员从乙筐球中取球”，计算出P(A|B)，P(B)，P(A|C)，P(C)由全概率公式可得答案．
本题主要考查古典概型，全概率公式，考查运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：等比数列−1，−2，−4，…，满足公比q=2>1，但{an}不是递增数列，充分性不成立．
若an=−1⋅(12)n−1为递增数列，但q=12>1不成立，即必要性不成立，
故“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件，
故选：D.
根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：由题意知：圆柱的底面直径为13.2cm，设高为3tcm；
圆台的上下底面直径分别为13.2cm和26.4cm，圆柱与圆台的高之比为32，则高为2t(cm)，
∴圆柱的体积V1=π×6.62×3t=130.68tπ(cm3)；
圆台的体积V2=13(π×6.62+ π×6.62×π×13.22+π×13.22)×2t≈203.28tπ(cm3)，
∴圆柱与圆台这两个几何体的体积之比为V1V2=130.68tπ203.28tπ=914.
故选：B.
利用圆柱和圆台体积公式直接求解即可．
本题考查圆柱与圆台的体积的求解，属中档题．
6.【答案】D
【解析】解：令g(x)=f(x)ex，则g′(x)=f′(x)−f(x)ex；
∵f(x)>f′(x)，
∴f′(x)−f(x)ex<0，
∴g(x)=f(x)ex在R上是减函数，
又∵a>b，
∴f(a)ea故eaf(b)>ebf(a)，
故选：D.
构造函数g(x)=f(x)ex，求导g′(x)=f′(x)−f(x)ex；从而可判断g(x)=f(x)ex在R上是减函数，从而判断．
本题考查了导数的综合应用及函数的单调性的应用，构造函数g(x)=f(x)ex是难点，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：令y=f(x)=sinx+12sin2x+13sin3x，
则f′(x)=csx+cs2x+cs3x=csx+cs2x+cs2xcsx−sin2xsinx
=csx(1−2sin2x)+cs2x(1+csx)=(1+2csx)cs2x，
当x∈[0,π]时，由f′(x)=0，解得x=π4,2π3,3π4，
当x∈(0,π4)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(π4,2π3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(2π3,3π4)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(3π4,π)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以当x=2π3时，f(x)取极小值，当x=π4和x=3π4时，f(x)取极大值，
由于f(0)=0,f(π4)=2 23+12,f(2π3)= 34,f(3π4)=2 23−12>0,f(π)=0，
可得f(π4)>f(3π4)，当x∈(0,π)时，f(x)>0，
结合图象，只有C选项满足．
故选：C.
利用导数研究函数的单调性与极值，与选项中的图象比较即可得出答案．
本题主要考查函数图象的判断，考查导数的应用，考查逻辑推理能力，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：因为数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，
故an=2n(1≤n≤31,n∈N*)，所以Sn=2(1−2n)1−2=2n+1−2.
由an+12+256≥(Sn+2)(t+5)，得22n+2+256≥(t+5)⋅2n+1，
整理得t≤2562n+1+2n+1−5对任意1≤n≤31，且n∈N*恒成立，
又2562n+1+2n+1−5≥2 2562n+1⋅2n+1−5=27，
当且仅当2n+1=16，即n=3时等号成立，
所以t≤27，即实数t的最大值为27.
故选：D.
根据题意可得，数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，从而得到Sn，然后将t分离出来，再结合基本不等式即可得到结果．
本题考查数列与不等式的结合，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：由题意数列{an}的首项a1=1，且满足an+1=2an+1，则a2=3，a3=7，
则a2a1≠a3a2，故数列{an}不是等比数列，A错误；
由an+1=2an+1得an+1+1=2(an+1)，an+1≠0，否则与a1=1矛盾，
则an+1+1an+1=2，则数列{an+1}是等比数列，B正确；
由B分析知数列{an+1}是等比数列，首项为a1+1=2，公比为q=2，
则an+1=2×2n−1，所以an=2n−1，C正确；
数列{an}的前n项的和为(21−1)+(22−1)+⋯+(2n−1)=2(1−2n)1−2−n=2n+1−n−2，D错误．
故选：BC.
计算数列前三项可判断A；利用an+1+1=2(an+1)，构造等比数列，可判断B，C；结合C的结果以及等比数列前n项和公式可判断D.
本题主要考查数列的递推式，考查转化能力，属于中档题．
10.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
由中位数定义判断A；由频率分布直方图判断B；利用极差的定义能判断C；由频率分布直方图及二项分布能判断D.
【解答】
解：对于A，由中位数的定义得：现场教师评委7个有效评分与9个原始评分的中位数相同，故A正确；
对于B，估计全校有4000×0.3=1200名学生的网络评分在区间[8,9)内，故B正确；
对于C，在去掉最高分和最低分之前，9名教师评委原始评分的极差一定大于或等于9.6−8.9=0.7，故C错误；
对于D，由频率分布直方图得频率不小于9分的频率为0.5，
从学生观众中随机抽取10人，用频率估计概率，X表示评分不小于9分的人数，
则E(X)=10×0.5=5，故D正确．
故选ABD.
11.【答案】BCD
【解析】解：对于A，由已知得AD⊥AB，
若AD⊥BP，又AB∩BP=B，∴AD⊥平面BAP，而AP⊂平面BAP，得AD⊥AP，此时显然不成立，故A错误；
对于B，在三棱锥P−ABD中，AB⊥面APD，则AB是三棱锥B−PAD的高，
当点P是半圆弧AD的中点时，三棱锥B−PAD的底面积S△PAD取得最大值，
∴三棱锥P−ABD的体积取得最大值为13×4×12×4×42=163，故B正确；
对于C，当λ=12时，则P为线段AD的中点，
以AD的中点E为原点，分别以EP，EA为x，y轴，建立空间直角坐标系，
则P(2,0,0)，B(0,2,4)，E(0,0,0)，A(0,2,0)，
可得PB=(−2,2,4)，EA=(0,2,0)，
则cs=PB⋅EA|PB||EA|=42 6×2= 66，
故异面直线PB与AD所成角的余弦值为 66，故C正确；
对于D，取BD的中点O，过点P作PH⊥AD于点H，连接BH，
由题意知，AB⊥平面ADP，则PH⊥AB，
又∵PH⊥AD，AD∩AB=A，∴PH⊥平面ABCD，
可得BH为PB在平面ABCD内的射影，则∠PBH为直线PB与平面ABCD所成的角，
设AH=x，则0在Rt△APD中，PH2=AH⋅DH=x⋅(4−x)，PD2=DH⋅AD=4(4−x)，
∴PB2=BD2−PD2=(4 2)2−4(4−x)=16+4x，
故sin2∠PBH=PH2PB2=x(4−x)16+4x=−14(x2−4xx+4)，
令t=x+4，则x=t−4，且4可得x2−4xx+4=(t−4)2−4(t−4)t=t+32t−12≥2 t⋅32t−12=8 2−12，
当且仅当t=32t，即t=4 2时取等号，
则sin∠PBH≤ 2−1，即直线PB与平面ABCD所成最大角的正弦值为 2−1，
此时AH=4 2−4,PH2=(4 2−4)×(8−4 2)，
∴AP= AH2+PH2= (4 2−4)2+(4 2−4)(6−4 2)=4 2−1，
连接OH，OP，∵PH⊥平面ABCD，HO⊂平面ABCD，∴PH⊥HO，
∵ABCD为正方形，∴∠OAH=45∘，
在△OHA中，可得OH2=AH2+OA2−2AH⋅OHcs∠OAH=72−48 2，
在Rt△OPH中，可得OP2=PH2+OH2=16 2×( 2−1)2+72−48 2=8，
则OP=2 2，∵OA=OB=OP=OD=12BD=2 2，
∴点O为四棱锥P−ABCD外接球的球心，
∵DP⊥AP，由S△ADP=12AD×PH=12AP×DP，解得DP=4 2−1×42，
∴球心O到面PAB的距离d=12DP=2 2−1×42，
设截面半径为r，则有r2=(2 2)2−d2=8−4( 2−1)× 2=4 2，
∴截面面积为4 2π，故D正确．
故选：BCD.
利用线面垂直的性质即可判断选项A；根据棱锥的体积计算公式判断选项B；建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式判断选项C；利用线面垂直的性质以及勾股定理和基本不等式即可判断选项D.
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的应用，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，综合性强，难度较大．
12.【答案】ABD
【解析】解：A选项，由f(c+x)+f(c−x)=2d两边求导得f′(c+x)−f′(c−x)=0，即f′(x)关于x=c对称，故A正确；
B选项，由f(a+x)为偶函数，知f(a+x)=f(a−x)⇒f(−x)=f(2a+x)，
又f(c+x)+f(c−x)=2d⇒f(−x)=2d−f(2c+x)，
则f(2a+x)=2d−f(2c+x)⇒f(x)=2d−f(x+2|c−a|)f(x+2|c−a|)=2d−f(x+4|c−a|)⇒f(x)=f(x+4|c−a|)，
即f(x)的一个周期为4|c−a|，则f(2x)的一个周期为2|c−a|，故B正确；
C选项，注意到当c=d时，f(c+x)+f(c−x)=2c⇒f(x)+f(2c−x)=2c.
则f(f(c+x))+f(2c−f(c+x))=f(f(c+x))+f(f(c−x))=2c，
即此时f(f(x))关于(c,c)，即(c,d)对称，故C错误；
D选项，由f(a+x)为偶函数，知f(x)关于x=a对称，即f(a+x)=f(a−x)，
则f(f(a+x))=f(f(a−x))，即f(f(x))关于x=a对称，故D正确．
故选：ABD.
A选项，对f(c+x)+f(c−x)=2d两边求导可判断选项正误；B选项，由①②可知f(x)的一个周期为4|c−a|，即可判断选项正误；C选项，验证f(f(c+x))+f(f(c−x))是否等于2d即可判断选项正误；D选项，验证f(f(a+x))=f(f(a−x))是否成立可判断选项正误．
本题主要考查了抽象函数的应用，考查了函数的奇偶性、周期性和对称性，属于中档题．
13.【答案】104
【解析】解：在等差数列{an}中，满足a7−a5+8=a9，即a9+a5=a7+8，
由等差数列的性质，可得a9+a5=2a7，所以2a7=a7+8，可得a7=8，
又由S13=13(a1+a13)2=13×2a72=104.
故答案为：104.
根据题意，利用等差数列的性质，得到a7=8，再由等差数列的求和公式，即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
14.【答案】53
【解析】解：∵X∼N(1,σ2)，P(X≤a)+P(X≤a−12)=1，
∴a+a−122=1，
解得a=53.
故答案为：53.
根据正态分布曲线的对称性可得a+a−122=1，从而求出a的值．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
15.【答案】12011
【解析】解：令x=0，则a0=e0=1，
∵e2x=a0+a1x+a2x2+…+anxn+…，
∴(e2x)′=2e2x=a1+2a2x+…+nanxn−1+(n+1)an+1xn+…，
∴2an=(n+1)an+1，
∴an+1an=2n+1，∴an+1nan=2n(n+1)=2(1n−1n+1)，
∴n=110an+1nan=2(1−12+12−13+⋅⋅⋅+110−111)=2011.
故答案为：1；2011.
令x=0，可得到a0=1，先求导数对比得到2an=(n+1)an+1，再把数列裂项求和即可．
本题主要考查导数的基本运算，数列裂项求和的应用，属于中档题．
16.【答案】 3a(2 213a,2 3a)
【解析】解：取BD的中点O，在翻折的过程中，
由直角三角形ABD与直角三角形BCD，可得AO=OB=OC=OD，
∴BD为三棱锥A−BCD的外接球O的直径，
又BD= AB2+AD2=2 3a，
∴三棱锥与A−BCD的外接球O的半径为 3a，
过M，N分别向BD作垂线，垂足分别为H，K，
由平面几何知识可得A，C到BD的距离为2 63a，∴MH=NK= 63a，
∴DH=BK=2 33a，∴HK=2 33a，
∵MN=MH+HK+KN，
∴MN2=MH2+HK2+KN2+2MH⋅HK+2MH⋅KN+2HK⋅KN=69a2+129a2+69a2+2× 63a× 63acsθ，
∵0<θ<180∘，
∴129a2∵OM=ON，MN最长时，O到直线MN的距离最小，
当MN=2a时，直线NM过球心，∴MN<2 3a，
MN最小时，O到直线MN的距离最大，当MN=2 63时，
球心到直线的距离为 63a，MN>2 3a2−( 63a)2=2 213a，
∴直线MN被球O截得的线段长的取值范围是(2 213a,2 3a).
故答案为： 3a；(2 213a,2 3a).
取BD的中点O，可得AO=OB=OC=OD，可求三棱锥A−BCD的外接球O的半径，过M，N分别向BD作垂线，垂足分别为H，K，进而可得2 63a本题考查空间几何体的外接球问题，考查运算求解能力，属中档题．
17.【答案】(1)证明：依题意，由an+12−2an+1=an2+2an，
可得an+12−an2=2an+1+2an，
化简整理，得(an+1+an)(an+1−an−2)=0，
∵an>0，n∈N*，∴an+1+an>0，
∴an+1−an−2=0，即an+1−an=2，
∵a1=1，
∴数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．
(2)解：方案一：选择条件①
由(1)可得，an=1+2⋅(n−1)=2n−1，n∈N*，
设等比数列{bn}的公比为q(q>0)，
则S3=b1+b2+b3=1+q+q2=7，
整理，得q2+q−6=0，
解得q=−3(舍去)，或q=2，
∴bn=1⋅2n−1=2n−1，n∈N*，
∴anbn=(2n−1)⋅2n−1，n∈N*，
∴Tn=a1b1+a2b2+⋅⋅⋅+anbn=1⋅20+3⋅21+5⋅22+⋅⋅⋅+(2n−1)⋅2n−1，
2Tn=1⋅21+3⋅22+⋅⋅⋅+(2n−3)⋅2n−1+(2n−1)⋅2n，
两式相减，
可得−Tn=1⋅20+2⋅21+2⋅22+⋅⋅⋅+2⋅2n−1−(2n−1)⋅2n
=1+2⋅21−2n1−2−(2n−1)⋅2n，
=−(2n−3)⋅2n−3，
∴Tn=(2n−3)⋅2n+3.
方案二：选择条件②
由(1)可得，an=1+2⋅(n−1)=2n−1，n∈N*，
b4=(a1+a2)b2=(1+3)b2=4b2，
设等比数列{bn}的公比为q(q>0)，
则q2=b4b2=4，
解得q=−2(舍去)，或q=2，
∴bn=1⋅2n−1=2n−1，n∈N*，
∴anbn=(2n−1)⋅2n−1，n∈N*，
∴Tn=a1b1+a2b2+⋅⋅⋅+anbn=1⋅20+3⋅21+5⋅22+⋅⋅⋅+(2n−1)⋅2n−1，
2Tn=1⋅21+3⋅22+⋅⋅⋅+(2n−3)⋅2n−1+(2n−1)⋅2n，
两式相减，
可得−Tn=1⋅20+2⋅21+2⋅22+⋅⋅⋅+2⋅2n−1−(2n−1)⋅2n
=1+2⋅21−2n1−2−(2n−1)⋅2n，
=−(2n−3)⋅2n−3，
∴Tn=(2n−3)⋅2n+3.
方案三：选择条件③
由(1)可得，an=1+2⋅(n−1)=2n−1，n∈N*，
设等比数列{bn}的公比为q(q>0)，
则b2⋅b4=1⋅q⋅1⋅q3=q4=16，
解得q=−2(舍去)，或q=2，
∴bn=1⋅2n−1=2n−1，n∈N*，
∴anbn=(2n−1)⋅2n−1，n∈N*，
∴Tn=a1b1+a2b2+⋅⋅⋅+anbn=1⋅20+3⋅21+5⋅22+⋅⋅⋅+(2n−1)⋅2n−1，
2Tn=1⋅21+3⋅22+⋅⋅⋅+(2n−3)⋅2n−1+(2n−1)⋅2n，
两式相减，
可得−Tn=1⋅20+2⋅21+2⋅22+⋅⋅⋅+2⋅2n−1−(2n−1)⋅2n
=1+2⋅21−2n1−2−(2n−1)⋅2n，
=−(2n−3)⋅2n−3，
∴Tn=(2n−3)⋅2n+3.
【解析】(1)根据题干中的递推公式进行转化，进一步推导即可发现数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，从而证得结论成立；
(2)在选择条件①②③的情况下，先根据第(1)题的结果计算出数列{an}的通项公式，再设等比数列{bn}的公比为q(q>0)，根据已知条件列出关于公比q的方程，解出q的值，即可计算出等比数列{bn}的通项公式，进一步计算出数列{anbn}的通项公式，最后运用错位相减法即可计算出前n项和Tn.
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，错位相减法，等差数列与等比数列的通项公式的应用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
18.【答案】解：(1)
χ2=200(40×30−80×50)290×110×120×80=4900297≈16.498>10.828.
∴有99.9%的把握认为“强国医生”的使用次数与性别有关；
(2)由y =â⋅b x，得lgy =lg(â⋅b x)=lgâ+lgb x=lgâ+xlgb ，
设z =lgy ，则z =lgâ+xlgb .
i=17xi2=140，x−=4，
lgb =i=17xizi−7x−z−i=17xi2−7x−2=51.8−7×4×1.6140−7×42=0.25，lga =1.6−14×4=0.6，
∴b =100.25,a =100.6.
∴y关于x的回归方程为y =100.6×100.25x=3.98×100.25x，
把x=12代入回归方程，得y =3.98×103=3980，
∴“强国医生”上线第12天，使用该服务的女性约有3980人．
【解析】(1)由题意填写表格，求出X2的值，结合临界值表得结论；
(2)利用最小二乘法结合对数的运算性质求解．
本题考查独立性检验与线性回归方程的求法，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD，且AB⊥AD，
故建系如图：
则A(0,0,0)，B(0,2,0)，D(4,0,0)，P(0,0,4)，F(2,0,2)，E(0,2,2)，C(4,4,0)，
所以BP=(0,−2,4),BC=(4,2,0),AF=(2,0,2)，
设平面BPC的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅BP=−2y+4z=0m⋅BC=4x+2y=0，取m=(1,−2,−1)，
所以AF⋅m=2×1+0×(−2)+2×(−1)=0，故AF⊥m，
又AF⊄平面PBC，所以AF//平面PBC；
(2)由(1)得DP=(−4,0,4),DC=(0,4,0),BE=(0,0,2)，
设平面PCD的法向量为n=(a,b,c)，
则−4a+4b=04b=0，取n=(1,0,1)，
所以csn⋅BE=n⋅BE|n||BE|=2 2×2= 22，
设直线BE与平面PCD所成的角为θ，
则sinθ= 22，又θ∈[0,π2]，
所以θ=π4.
【解析】(1)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法证明线面平行；
(2)求出平面的法向量后利用线面角的向量公式直接求解即可．
本题考查线面平行的证明，向量法求解线面角问题，化归转化思想，属中档题．
20.【答案】解：(1)设一件产品是一等品为事件A，则一件产品不是一等品为事件A−，
则P(A)=0.5,P(A−)=0.5，
又2件产品至少有1件为一等品事件为AA+AA−+A−A，
其概率P=P(AA)+C21P(A)P(A−)=0.52+2×0.5×0.5=0.75；
(2)设一件产品为一等品为事件A，二等品为事件B，次品为事件C，
则P(A)=0.5，P(B)=0.4，P(C)=0.1，
则ξ可取的值为1.6，1.4，0.5，1.2，0.3，−0.6，
P(ξ=−0.6)=[P(C)]2=0.01,P(ξ=0.3)=C21P(B)P(C)=2×0.4×0.1=0.08，
P(ξ=0.5)=C21P(A)P(C)=2×0.5×0.1=0.1，P(ξ=1.2)=[P(B)]2=0.16，
P(ξ=1.4)=C21P(A)P(B)=2×0.5×0.4=0.4，P(ξ=1.6)=[P(A)]2=0.25，
所以ξ分布列为：
所以E(ξ)=−0.6×0.01+0.3×0.08+0.5×0.1+1.2×0.16+1.4×0.4+1.6×0.25=1.22(万元)；
(3)由(2)可知，每件产品的平均利润为1.22÷2=0.61(万元)，则增加n件产品，利润增加为0.61n万元)，
成本也相应提高n−lnn(万元)，所以净利润=0.61n−n+lnn=lnn−0.39n，n∈(N*)，
设f(x)=lnx−0.39x，则f′(x)=1x−0.39，
当x<10039 时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当x>10039 时，f′(x)<0，f(x)是减函数，
所以x=10039取得最大值，又2<10039<3，∵x只能取整数，
∴x=2或x=3时f(x)可能为最大值，
f(2)=ln2−0.39×2≈0.69−0.78=−0.09<0，f(3)=ln3−3×0.39≈1.1−1.17=−0.07<0，
即在f(x)取得最大值时也是亏本的，所以不应增加产量．
【解析】(1)根据独立事件乘法公式计算；
(2)先分析ξ的可取值，再按步骤写出分布列，根据数学期望公式求解；
(3)分析当产品的数量增加n件时的净利润，根据净利润决策．
本题考查独立事件的积事件的概率乘法公式的应用，对立事件的概率公式的应用，离散型随机变量的分布列与期望的求解，函数思想，化归转化思想，属中档题．
21.【答案】解：(1)f′(x)=alnx+a−2，
因为f(x)在x=1处取得极值，
所以f′(1)=aln1+a−2=0，得a=2，
则x∈[1,2]时，f′(x)=2lnx≥0，f(x)在区间[1,2]上单调递增，
所以f(1)=−2≤f(x)≤f(2)=4ln2−4，
所以f(x)在区间[1,2]上的值域为[−2,4ln2−4].
(2)h(x)的定义域为(0,+∞)，
函数h(x)=alnx−x2有一个零点⇔alnx=x2有一个实数根，
⇔y=alnx与y=x2有一个交点．
当a<0时，由图可知满足题意；
当a=0时，h(x)=−x2在(0,+∞)上无零点；
当a>0时，令h′(x)=ax−2x=a−2x2x>0，得0令h′(x)=a−2x2x<0，得x> a2，
所以，当x= a2时，h(x)有最大值h( a2)=aln a2−( a2)2=a2(lna2−1)，
因为函数h(x)=alnx−x2有一个零点，
所以a2(lna2−1)=0，解得a=2e.
综上， a的取值范围为(−∞,0)∪{2e}.
【解析】(1)求导，利用导数判断f(x)在区间[1,2]上的单调性，然后由单调性可得值域；
(2)当a<0时，将问题转化为两个函数的交点问题可得；当a=0时，直接判断可知；当a>0时，利用导数求极值，通过极值结合问题分析可解．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，函数的零点，考查了分类讨论思想和数形结合思想，属中档题．
22.【答案】解：(1)证明：如图1，取AB中点O，连接PO，CO，
因为PA=PB= 2，AB=2，所以PO⊥AB，PO=1，BO=1.
又因为ABCD是菱形，∠ABC=60∘，所以CO⊥AB，CO= 3.
因为PC=2，所以PC2=PO2+CO2，所以PO⊥CO，
又因为AB⊂平面ABCD，CO⊂平面ABCD，AB∩CO=O，
所以PO⊥平面ABCD，
因为AD//BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，
所以AD//平面PBC，
所以VD−PBC=VA−PBC=VP−ABC=13PO⋅S△ABC=13×1× 34×4= 33，
因为VM−PBC= 36=12VD−PBC，
所以点M到平面PBC的距离是点D到平面PBC的距离的12，
所以PM=MD；
(2)在平面ABCD内，过C作EF//BD交AD延长线于点E，交AB延长线于点F，
因为ABCD是菱形，所以AD=DE.
如图4，在平面PAD内，作PP1//AE交EM的延长线于点P1，设EP1交AP于点Q.
所以，四边形EDP1P是平行四边形，PP1=DE，PP1//DE.
所以△QPP1∽△QAE，所以PQAQ=PP1AE=12，
所以点Q是线段PA上靠近P的三等分点．
如图5，在平面PAB内，作QT//PO，交AB于T，
因为PO⊥平面ABCD，所以QT⊥平面ABCD，所以QT⊥BC，
因为PO=1，QT=23PO=23，
在平面ABCD内，作TN⊥BC，交BC于点N，连接QN，过A作AK//TN交BC于K，
在△ABK中，AB=2，∠ABK=60∘，所以AK= 32AB= 3，
所以TN=23AK=23 3，
因为QT⊥BC，TN⊥BC，QT∩TN=T，且两直线在平面内，所以BC⊥平面QTN，
因为QN⊂平面QTN，所以BC⊥QN.
所以∠QNT是二面角A−BC−Q的平面角．
在Rt△QTN中，tan∠QNT=QTNT= 33，所以cs∠QNT= 32.
所以平面BCQ与平面ABCD夹角的余弦值是 32.
【解析】(1)取AB中点O，连接PO，CO.推导得到PO⊥平面ABCD，AD//平面PBC，根据体积即可得出答案；
(2)通过作图，作出二面角的平面角，构造直角三角形，即可得出答案．
本题考查线面垂直的判定定理，二面角的求解，化归转化思想，属中档题．教师评委
A
B
C
D
E
F
G
有效评分
9.6
9.1
9.4
8.9
9.2
9.3
9.5
男
女
总计
使用次数多
40
使用次数少
30
总计
90
200
x
1
2
3
4
5
6
7
y
6
11
21
34
66
100
195
P(x2≥k0)
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
y−
z−
i=17xizi
i=17xiyi
100.6
61.9
1.6
51.8
2522
3.98
等级
一等
二等
三等
利润(万元/每件)
0.8
0.6
−0.3
男
女
总计
使用次数多
40
80
120
使用次数少
50
30
80
总计
90
110
200
ξ
−0.6
0.3
0.5
1.2
1.4
1.6
P
0.01
0.08
0.1
0.16
0.4
0.25