2022-2023学年山东省济南市高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年山东省济南市高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知函数f(x)=lnx−2x，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
2.为弘扬中华优秀传统文化，济南市公开招募“泉润非遗”志愿者.现从所有报名的志愿者中，随机选取300人进行调查，其中青年人、中年人、老年人三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段志愿者的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列关于样本数据的分析正确的是( )
A. 老年男性志愿者人数为90
B. 青年女性志愿者人数为72
C. 老年女性志愿者人数大于中年女性志愿者人数
D. 中年男性志愿者人数大于青年男性志愿者人数
3.一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，则不同的停放方法数为( )
A. 70B. 256C. 1680D. 4096
4.袋子里有6个大小相同的球，其中2个黑球，4个白球，有放回的取3次，每次随机取1个，设此过程中取到黑球的次数为ξ，则P(ξ=1)=( )
A. 110B. 13C. 49D. 35
5.已知(x+m)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+……+a5(x+1)5，且i=05ai=32，则实数m=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
6.已知f(x)是定义在R上的函数，f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)+f(x)>0，f(1)=1e，则f(lnx)<1x的解集是( )
A. (0,1)B. (0,e)C. (1,+∞)D. (e,+∞)
7.将三项式展开，得到下列等式：
(x2+x+1)0=1；
(x2+x+1)1=x2+x+1；
(x2+x+1)2=x4+2x3+3x2+2x+1；
(x2+x+1)3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1；
……
观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角：
若关于x的多项式(x2+ax−3)(x2+x+1)5的展开式中，x8的系数为30，则实数a=( )
A. 1B. −1C. 2D. −2
8.已知函数f(x)=x2−2ax+a2+(e2x+2−2a)2，若存在x0，使得f(x0)≤95成立，则x0a=( )
A. 2B. 5C. −2D. −5
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数f(x)=x3−3x−2，则( )
A. f(x)在区间(−1,1)上单调递增B. f(x)有两个极值点
C. f(x)有三个零点D. 直线y=−4是曲线y=f(x)的切线
10.已知离散型随机变量X的分布列为
则下列说法正确的是( )
A. t=1或−12B. E(X)=18C. D(X)=5564D. D(8X+9)=64
11.为调查某地区植被覆盖面积x(单位：公顷)和野生动物数量y的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取20个区块，得到样本数据(xi,yi)(i=1,2,…，20)，经计算得：i=120xi=60，i=120yi=1200，i=120(xi−x−)2=80，i=120(xi−x−)(yi−y−)=640.该小组利用这组数据分别建立了y关于x的线性回归方程l1：y =b1 x+a1 和x关于y的线性回归方程l2：x =b2 y+a2 ，并把这两条拟合直线画在同一平面直角坐标系xOy下，横坐标x，纵坐标y的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量y一致.则下列说法正确的是( )
附：y关于x的线性回归方程y =a +b x中，b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2，a =y−−b x−，r=i=1n(xi−x−)(yi−y−) i=1n(xi−x−)2i=1n(yi−y−)2.
A. bi =8B. b1 ⋅b2 >1C. l1经过点(3,60)D. l2经过点(3,60)
12.记两个函数f(x)=Atanx,x∈(−π2,π2)，g(x)=xα的图象的公共点个数是φ(A,α)，则( )
A. φ(1,−1)=1B. φ(1,1)=1C. φ(1,2)=1D. φ(2,12)=2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知An2=90，则Cn+2n的值为______.
14.已知随机变量X∼N(μ,σ2)，若P(X<2)=0.2，P(x<3)=0.5，则P(X<4)的值为______.
15.已知函数f(x)=x(lnx+a)在(1,+∞)上单调递增，则a的最小值为______.
16.为研究某新型番茄品种，科学家对大量该品种果实颜色进行了统计，发现果皮为黄色的番茄约占38.果皮为黄色的番茄中，果肉为红色的约占815；果肉不是红色的番茄中，果皮为黄色的约占730.根据上述数据，估计该新型番茄果肉为红色的概率值为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射升空，备受关注的“天宫课堂”将继续授课.为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，以下是调查的部分数据：
已知从这200名学生中随机抽取1人，抽到喜欢“天宫课堂”的学生的概率为1320.
(1)请将上面的2×2列联表补充完整；
(2)根据以上数据，依据小概率值α=0.010的独立性检验，能否认为该校学生是否喜欢“天宫课堂”与性别有关联？
附：
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
18.(本小题12分)
已知2Cn1+22Cn2+23Cn3+⋯+2nCnn=728.
(1)求n的值；
(2)求(x+12 x)n的二项展开式中的常数项.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=12x2−(a+1)x+alnx.
(1)若f(x)在x=2处取得极值，求实数a的值；
(2)讨论f(x)的单调性.
20.(本小题12分)
某学校举办知识竞赛，规则是：比赛共三轮，每名选手只有通过上一轮才能进入下一轮，每轮比赛有两次挑战机会，若第一次挑战成功则直接进入下一轮，第一次不成功可以再挑战一次，若成功同样进入下一轮，两次均未成功，选手比赛终止.已知每次挑战是否成功相互独立.
(1)若选手甲第一轮每次挑战成功的概率为45，第二轮每次挑战成功的概率为34，求选手甲可以进入第三轮的概率；
(2)已知共有2000名选手参加竞赛，竞赛采用计分制，选手得分X∼N(212,σ2)，其中270分以上的选手有46名，学校决定对得分高的前317名选手进行表彰，若选手乙的得分为231分，问乙能否获得表彰.
附：若随机变量X∼N(μ,σ²)，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.683；P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954；P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997.
21.(本小题12分)
为提高科技原创能力，抢占科技创新制高点，某企业锐意创新，开发了一款新产品，并进行大量试产.
(1)现从试产的新产品中取出6件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件是次品，需对6件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了X次，求随机变量X的分布列与期望；
(2)设每件新产品为次品的概率都为p(022.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex−1+ax2，其中a∈R.
(1)若f(x)存在唯一的极值点，求a的取值范围；
(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，求证：x12+x22>2(a+1)+e.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：函数f(x)=lnx−2x，可得f′(x)=1x−2，所以f′(1)=1−2=−1，
因此曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为−1；
故选：B.
求导，求出f′(1)=−1+2=1即为切线斜率，然后求出切线方程即可；
本题考查了利用导数研究函数的切线斜率的求法，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：根据饼状图老年志愿者占比10%，则人数为10%×300=30<90，故A错，
青年志愿者占比60%，则人数为300×60%=180人，而女性占比40%，则青年女性志愿者人数为180×40%=72，故B正确；
老年女性志愿者人数为30×70%=21人，中年女性人数为300×30%×30%=27人，则C错误；
中年男性志愿者人数为300×30%×70%=63人，青年男性志愿者人数为300×60%×60%=108，则D错误．
故选：B.
根据统计图表可依次判断．
本题考查统计相关知识，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，
则不同的停放方法数为A84=8×7×6×5=1680.
故选：C.
由排列、组合及简单计数问题，结合排列数的运算求解即可．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了排列数的运算，属基础题．
4.【答案】C
【解析】解：由题意可知ξ=1表示三次中，有且只有一次取到黑球，另外两次取到白球，
每一次取到黑球的概率为24+2=13，则取到白球的概率为23，
所以P(ξ=1)=C31×13×(23)2=49.
故选：C.
先确定ξ=1表示三次中，有且只有一次取到黑球，再求出每一次取到黑球的概率，进而求解即可．
本题主要考查古典概型和离散型随机变量的分布列和方差，属于中档题．
5.【答案】D
【解析】解：已知(x+m)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+……+a5(x+1)5，且i=05ai=32，
则令x=0，可得i=05ai=m5=32，解得m=2.
故选：D.
令x=0，即可求解m的值．
本题主要考查二项式定理，考查赋值法的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：记g(x)=exf(x)，则g′(x)=exf(x)+exf′(x)=ex[f′(x)+f(x)]，
因为f′(x)+f(x)>0，所以g′(x)>0，所以g(x)在R上单调递增，
由f(lnx)<1x知x>0，所以原不等式等价于xf(lnx)<1，
又因为f(1)=1e，所以g(1)=ef(1)=1，
所以原不等式等价于elnxf(lnx)所以lnx<1，解得0故选：B.
根据条件的结构特征构造函数g(x)=exf(x)，利用导数判断其单调性，然后将不等式变形成g(x1)本题考查了导数的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：由题意可得：(x2+x+1)5=x10+5x9+15x8+30x7+45x6+51x5+45x4+30x3+15x2+10x+1，
则(x2+ax−3)(x2+x+1)5的展开式中，x8的系数为1×45+a×30+(−3)×15=30a，
又x8的系数为30，
则30a=30，
即a=1.
故选：A.
由题意可得：(x2+x+1)5=x10+5x9+15x8+30x7+45x6+51x5+45x4+30x3+15x2+10x+1，然后结合二项式定理求解即可．
本题考查了二项式定理，重点考查了归纳推理，属中档题．
8.【答案】D
【解析】解：已知函数f(x)=x2−2ax+a2+(e2x+2−2a)2=(x−a)2+(e2x+2−2a)2，
此时函数f(x)可以看作是动点M(x,e2x+2)与动点N(a,2a)之间距离的平方，
因为动点M在函数g(x)=e2x+2的图象上，动点N在直线y=2x上，
要求问题转化成求直线上的动点到曲线的最小距离，
易知g′(x)=2e2x+2，y′=2，
此时2e2x+2=2，
解得x=−1，
则点(−1,1)到直线y=2x的最小距离d=3 5，
所以f(x)≥d2=95，
若存在x0，使得f(x0)≤95成立，
此时f(x0)=95，
即直线MN与直线y=2x垂直，点N恰好为垂足，
因为kMN=2a−1a−(−1)=2a−1a+1，
所以2a−1a+1×2=−1，
解得a=15，
则x0a=−115=−5.
故选：D.
由题意，函数f(x)可以看作是动点M(x,e2x+2)与动点N(a,2a)之间距离的平方，因为动点M在函数g(x)=e2x+2的图象上，动点N在直线y=2x上，此时问题转化成求直线上的动点到曲线的最小距离，利用点到直线的距离公式再按部就班进行求解即可．
本题考查利用导数求曲线上过某点切线的斜率，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
9.【答案】BD
【解析】解：已知f(x)=x3−3x−2，函数定义域为R，
可得f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)，
当x<−1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当−1当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x=−1时，函数f(x)取得极大值，极大值f(−1)=0，
当x=1时，函数f(x)取得极小值，极小值f(1)=−4，
当x→−∞时，f(x)→−∞；当x→+∞时，f(x)→+∞，
作出函数f(x)图象如下所示：
所以函数f(x)在区间(−1,1)上单调递减，故选项A错误；
函数f(x)有两个极值点，别分为x=−1，x=1，故选项B正确；
函数f(x)存在两个零点，故选项C错误；
不妨设切点为(x0,f(x0))，
则曲线y=f(x)在切点处的切线方程为y−(x03−3x0−2)=(3x02−3)(x−x0)，
即y=(3x02−3)x−2x03−2，
若直线y=−4是曲线y=f(x)的切线，
此时3x02−3=0−2x03−2=−4，
解得x0=1，符合题意，
则直线y=−4是曲线y=f(x)的切线，故选项D正确．
故选：BD.
由题意，对函数f(x)进行求导，利用导数得到函数f(x)的单调性，作出函数f(x)图象，利用数形结合即可判断选项A、B、C，设切点为(x0,f(x0))，求出曲线y=f(x)在切点处的切线方程，若直线y=−4是曲线y=f(x)的切线，列出等式求出切点坐标，进而即可判断选项D.
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理和运算能力．
10.【答案】BC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由X的分布列，有38+2t2−32t−38+12t=1，解可得t=1或−12，
又由0<2t2−32t−38<10<12t<1，则t=1，A错误；
对于B，由A的结论，t=1，
则离散型随机变量X的分布列为
则E(X)=(−1)×38+0×18+1×12=18，B正确；
对于C，D(X)=(−1−18)2×38+(0−18)2×18+(1−18)2×12=5564，C正确；
对于D，D(8X+9)=64D(x)=55，D错误．
故选：BC.
根据题意，由分布列的性质可得有38+2t2−32t−38+12t=1，由此求出t的值，可得A错误，进而求出E(x)、D(X)可得B、C正确，再分析D(8x+9)的值，可得D错误，综合可得答案．
本题考查随机变量的分布列，涉及期望、方差的计算，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于选项A，b1=i=120(xi−x−)(yi−y−)i=120(xi−x−)2=64080=8，即选项A正确；
对于选项B，因为b2=i=120(xi−x−)(yi−y−)i=120(yi−y−)2，
所以b1⋅b2=r2≤1，即选项B错误；
对于选项C和D，由题意知，x−=120i=120xi=3，y−=120i=120yi=60，
所以线性回归方程l1和l2均经过样本中心点(3,60)，即选项C和D正确．
故选：ACD.
根据参考数据与公式计算b1的值，可判断A；由回归系数的计算公式，可知b1⋅b2=r2≤1，从而判断B；计算样本中心点(x−,y−)，即可判断选项C和D.
本题考查线性回归方程，理解回归系数的求法，样本中心点的含义与求法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
12.【答案】BCD
【解析】解：对于A，当A=1，α=−1时，f(x)=tanx，x∈(−π2,π2)，g(x)=x−1，
在同一坐标系中作出y=f(x)与y=g(x)的图象，如图所示：
由此可得两函数有2个交点，所φ(1,−1)=2，故A错误；
对于B，当A=1，α=1时，f(x)=tanx，x∈(−π2,π2)，g(x)=x，
在同一坐标系中作出y=f(x)与y=g(x)的图象，如图所示：
由此可得两函数有1个交点，所φ(1,1)=1，故B正确；
对于C，当A=1，α=2时，f(x)=tanx，x∈(−π2,π2)，g(x)=x2，
在同一坐标系中作出y=f(x)与y=g(x)的图象，如图所示：
由此可得两函数有1个交点，所φ(1,2)=1，故C正确；
对于D，当A=2，α=12时，f(x)=2tanx，x∈(−π2,π2)，g(x)=x12= x，
在同一坐标系中作出y=f(x)与y=g(x)的图象，如图所示：
由此可得两函数有2个交点，所φ(2,12)=2，故D正确．
故选：BCD.
对每一选项，作出y=f(x)与y=g(x)的图象，由两函数图象的交点个数即可判断．
本题考查了正切函数的图象、幂函数的图象、转化思想、数形结合思想，属于中档题．
13.【答案】66
【解析】解：因为An2=90，即n(n−1)=90，且n∈N+，
则n=10，
则C1210=C122=66.
故答案为：66.
根据排列数与组合数相关运算可解．
本题考查排列组合数公式，属于基础题．
14.【答案】0.8
【解析】解：因为随机变量X∼N(μ,σ2)，若P(X<2)=0.2，P(X<3)=0.5，
则对称轴为μ=3，
则P(2则P(X<4)=0.5+0.3=0.8.
故答案为：0.8.
根据正态分布曲线的对称性可解．
本题考查正态分布曲线的对称性，属于中档题．
15.【答案】−1
【解析】解：因为函数f(x)=x(lnx+a)在(1,+∞)上单调递增，
所以f′(x)=lnx+a+1≥0在(1,+∞)上恒成立，
即a≥−lnx−1在(1,+∞)上恒成立，
令g(x)=−lnx−1，因为g(x)在(1,+∞)上单调递减，
所以g(x)所以a≥−1，即a的最小值为−1.
故答案为：−1.
由题意可得以f′(x)=lnx+a+1≥在(1,+∞)上恒成立，即a≥−lnx−1在(1,+∞)上恒成立，令g(x)=−lnx−1，求出g(x)的范围，即可求解a的最小值．
本题这样考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】14
【解析】【分析】
本题考查对立事件的概率，属于基础题.
首先计算黄皮非红肉的番茄的概率，再根据果肉不是红色的番茄中果皮为黄色的占比，求出非红肉番茄的概率，进而求出红肉番茄的概率．
【解答】
解：黄皮非红肉的番茄的概率为P1=38×(1−815)=38×715=740，
设新型番茄中果肉非红色的概率为p2，
因为果肉不是红色的番茄中，果皮为黄色的约占730，
所以730=P1P2，解得P2=307P1=307×740=34，
因此新型番茄中果肉为红色的概率为1−P2=1−34=14.
故答案为：14.
17.【答案】解：(1)由题意可得：
(2)零假设为H6：喜欢天宫课堂与性别之间无关联，
x²=200×(75×45−55×25)2100×100×130×70≈8.791>6.635，
根据小概率值α=0.010的独立性检验，我们推断H6不成立，即认为喜欢天宫课堂与性别有关系，
故依据小概率值α=0.010的独立性检验，能认为该校学生喜欢“天宫课堂”与性别有关联．
【解析】(1)根据题意可补充2×2列联表；
(2)利用独立性检验相关知识可解．
本题考查独立性检验思想，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为2Cn1+22Cn2+23Cn3+⋯+2nCnn=728=(1+2)n−1，
解得n=6；
(2)由(1)知，n=6，
∴(x+12 x)n的通项公式为Tr+1=C6rx6−r(12 x)r=C6r⋅(12)rx6−32r，r=0，1，…，6，
令6−32r=0，解得r=4，
∴展开式中的常数项为T5=(12)4C64=1516，
故二项展开式中的常数项为1516.
【解析】(1)根据二项式定理可解；
(2)求出二项式展开式的通项公式，然后令x的指数为0，由此即可求解．
本题考查二项式定理相关知识，属于基础题．
19.【答案】解：(1)依题意，f′(x)=x−(a+1)+ax，
则f′(2)=2−(a+1)+a2=0，
解得：a=2，
经检验，符合题意．
(2)函数定义域为(0,+∞)，因为f(x)=x−(a+1)+ax=(x−a)(x−1)x，
所以，当a=1时f′(x)=(x−1)2x≥0，f(x)在(0,+∞)单调递增；
当a≤0时，若0若x>1，f′(x)>0，f(x)在(1,+∞)递增；
当0若01，f′(x)>0，f(x)在(0,a)和(1,+∞)递增；
当a>1时，若1若0a，f′(x)>0，f(x)在(0,1)和(a,+∞)单调递增；
综上，当a≤0时，f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增；
当0当a=1时，f(x)在(0,+∞)单调递增；
当a>1时，f(x)在(1,a)单调递减，在(0,1)和(a,+∞)单调递增．
【解析】(1)代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
(2)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．
本题考查了函数的单调性，极值考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．
20.【答案】解：(1)设Bi：第i次通过第二关，Ai：第i次通过第一关，甲可以进入第三关的概率为P，
由题意知P=(P(A1)+P(A1−A2))⋅(P(B1)+P(B1−B2))=(45+15×45)(34+14×34)=910.
(2)∵选手得分X∼N(212,σ2)，
∴对称轴为μ=212，
∵3172000=0.1585%，且P(X>μ+σ)=1−P(μ−σ≤X≤μ+σ)2=1−，
∴462000=0.023%，且(X>μ+2σ)=1−P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)2=1−0.9542≈0.023，
∴μ+2σ=270，则σ=270−2122=29，
∴前317名参赛者的最低得分高于μ+σ=241，而乙的得分为231分，所以乙无法获得奖励．
【解析】(1)根据全概率公式可解；
(2)利用正态分布曲线的对称性可解．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了正态分布曲线的对称性，属于中档题．
21.【答案】解：(1)根据题意可知X的取值可能为2，3，4，5，
则可以得到：P(x=2)=C22C62=115，P(x=3)=C2C41C42×14=215，P(x=4)=C2C42C43⋅13+C44C64=415，P(x=5)=C4C21C64=815，
则X的分布列为：
所以E(x)=2×115+3×215+4×415+5×815=6415.
(2)由题意可得f(p)=C502p2(1−p)48(0所以f′(p)=C502[2p(1−p)48−48p2(1−p)47]=C502⋅2p⋅(1−p)47⋅(1−25p)，
令f′(p)=0，解的P=125，
因为当00，所以f(p)为单调增函数；
因为当125所以，当p=125时，f(p)取得最大值．
【解析】(1)根据X的取值分别为2，3，4，5，求得X的分布列，进而求解即可；
(2)根据题意求出f(p)的表达式，再根据求导，判断单调性即可求解．
本题主要考查离散型随机变量的分布列和方差，属于中档题．
22.【答案】解：(1)已知f(x)=ex−1+ax2，其中a∈R，函数定义域为R，
可得f′(x)=ex+2ax，
不妨设g(x)=f′(x)，函数定义域为R，
可得g′(x)=ex+2a，
当a>0时，g′(x)>0，
所以函数g(x)在R上单调递增，
即函数f′(x)在R上单调递增，
又f′(−1a)<0，f′(0)=1>0，
所以f′(x)在R上存在唯一变号零点，
即函数f(x)存在唯一的极值点，符合题意；
当a=0时，
易知函数f(x)=ex−1在R上单调递增，
此时函数f(x)无极值点，不符合题意；
当a<0时，
令g′(x)=0，
解得x=ln(−2a)，
因为g′(x)为增函数，
所以当x当x>ln(−2a)时，f′(x)单调递增，
又f′(ln(−2a))=−2a[1−ln(−2a)]，
当ln(−2a)≤1，即−e2≤a<0时，
易知f′(ln(−2a))≥0，
所以f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增，
此时函数f(x)无极值点，不符合题意；
当ln(−2a)>1，即a<−e2时，
易知f′(ln(−2a))<0，
又f′(0)=1>0，
f′(−2a)=e−2a−4a2=(e−a−2a)(e−a+2a)>(e−a−2a)[e(−a)+2a]=−a(e−a−2a)(e−2)>0，
此时f′(x)在R上存在两个变号零点，
即函数f(x)在R上存在两个极值点，不符合题意，
综上，满足条件的a的取值范围为(0,+∞)；
(2)证明：若f(x)存在两个极值点x1，x2，
由(1)知，只有当a<−e2且x1，x2均为正数时满足条件，
此时2a+e<0，x12+x222>(x1+x22)2，
即x12+x22>(x1+x2)22，
要证x12+x22>2(a+1)+e，
需证(x1+x2)22>2，
即证x1+x2>2，
因为f′(x1)=ex1+2ax1=0，f′(x2)=ex2+2ax2，
所以ex1x1=ex2x2，
对等式两边同时取对数，可得lnex1x1=lnex2x2，
此时x1−lnx1=x2−lnx2，
即x1−x2lnx1−lnx2=1，
下证x1+x22>x1−x2lnx1−lnx2，
不妨设x2>x1，
令x2x1=t，t>1，
此时需证1+t2>1−t−lnt，
即证lnt>2(t−1)t+1，
不妨设h(t)=lnt−2(t−1)t+1，函数定义域为(1,+∞)，
可得h′(t)=1t−4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2>0，
所以函数h(t)在定义域上单调递增，
此时h(t)>h(1)=0，
所以当t>1时，lnt>2(t−1)t+1恒成立，
即x1+x22>x1−x2lnx1−lnx2成立，
可得x1+x22>x1−x2lnx1−lnx2=1，
即x1+x2>2，
故x12+x22>2(a+1)+e.
【解析】(1)由题意，对函数f(x)进行求导，构造函数g(x)=f′(x)，对函数g(x)进行求导，分别讨论当a>0，a=0和a<0这三种情况，结合导数的几何意义进行求解即可．
(2)结合(1)中信息可知只有当a<−e2且x1，x2均为正数时满足条件，整理得x12+x22>(x1+x2)22，将求证x12+x22>2(a+1)+e，转化成求证x1+x2>2，利用对数的运算性质可得x1−x2lnx1−lnx2=1，再证x1+x22>x1−x2lnx1−lnx2，利用换元法，令x2x1=t，t>1，构造函数h(t)=lnt−2(t−1)t+1，对函数h(t)进行求导，利用导数得到函数的单调性，进而即可求证．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．X
−1
0
1
P
38
2t2−32t−38
12t
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合计
男生
75
女生
45
合计
200
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
−1
0
1
P
38
18
12
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不喜欢天宫课堂
合计
男生
75
25
100
女生
55
45
100
合计
130
70
200
X
2
3
4
5
P
115
215
415
815