2023九年级数学下册第二十七章相似演练新版新人教版

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本章中考演练
一、选择题
1．[2015·石家庄模拟] 已知＝，则的值是(　　)
A. B. C. D.
[解析] D　先设出b＝5k，则a＝13k，再把a，b的值代入，∴＝＝＝.
2．[2015·嘉兴] 如图27－Y－1，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F.AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则的值为(　　)
A. B．2 C. D.
[答案] D

图27－Y－1 　　　图27－Y－2
3．[2015·成都] 如图27－Y－2，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，BD＝3，AE＝4，则EC的长为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
[解析] B　根据平行线段的比例关系，知＝，即＝，EC＝2.故选B.
4．[2015·永州] 如图27－Y－3，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是(　　)
A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC
C．AB2＝AD·AC D.＝
[解析] D　在△ADB和△ABC中，∠A是它们的公共角，当∠ABD＝∠ACB或∠ADB＝∠ABC或＝时，△ADB∽△ABC，而不是＝.故选D.

图27－Y－3 　　　　图27－Y－4
5．[2015·铜仁] 如图27－Y－4，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE∶CE＝3∶1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为(　　)
A．3∶4 B．9∶16
C．9∶1 D．3∶1
[解析] B　∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴△DFE∽△BFA.∵DE∶EC＝3∶1，∴DE∶DC＝3∶4，∴DE∶AB＝3∶4，∴S△DFE∶S△BFA＝9∶16.
6．[2014·白银] 如图27－Y－5，在边长为1的正方形ABCD中，点E在CB的延长线上，连接ED交AB于点F，AF＝x(0.2≤x≤0.8)，EC＝y.则在下面的函数图象中，大致能反映y与x之间函数关系的是(　　)

图27－Y－5

图27－Y－6
[解析] C　根据题意，知BF＝1－x，BE＝y－1，且△EFB∽△EDC，
则＝，即＝，所以y＝(0.2≤x≤0.8)，该函数图象是位于第一象限的双曲线的一部分．选项A，D的图象都是直线的一部分，选项B的图象是抛物线的一部分，选项C的图象是双曲线的一部分．故选C.
7．[2014·毕节] 如图27－Y－7，在△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD∶DE＝3∶5，AE＝8，BD＝4，则DC的长等于(　　)
A. B. C. D.
[解析] A　∵∠C＝∠E，∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC∽△BDE，∴＝.
∵AD∶DE＝3∶5，AE＝8，
∴AD＝3，DE＝5.
又∵BD＝4，
∴＝，
∴DC＝.故选A.

图27－Y－7 　　　图27－Y－8
二、填空题
8．[2015·秦皇岛模拟] 如图27－Y－8，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线EC，BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形____________(用相似符号连接)．
[答案] 答案不唯一，如△ABF∽△DBE或△ACE∽△DCF或△EDB∽△FDC等
[解析] ∵锐角三角形ABC的边AB和AC上的高CE和BF相交于点D，
∴∠AEC＝∠BEC＝∠AFB＝∠CFB＝90°.
∵∠ABF＝∠DBE，∠ACE＝∠DCF，
∴△ABF∽△DBE，△ACE∽△DCF.
∵∠EDB＝∠FDC，
∴△EDB∽△FDC.
∴△ABF∽△DBE∽△DCF∽△ACE.
9．[2014·遵义] “今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图27－Y－9，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过点A，则FH＝________里．

图27－Y－9
[答案] 1.05
[解析] ∵EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过点A，
∴FA∥EG，EA∥FH，
∴∠AEG＝∠HFA＝90°，∠EAG＝∠FHA，
∴△GEA∽△AFH，
∴＝.
∵AB＝9里，AD＝7里，EG＝15里，
∴AF＝3.5里，AE＝4.5里，
∴＝，∴FH＝1.05里．
10．[2015·自贡] －副三角板叠放在一起如图27－Y－10，则△AOB与△DOC的面积之比为________．
[答案] 1∶3
[解析] 首先设BC＝x，根据题意可得∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝BC，∠D＝30°，即可求得CD与AB的长．因为△AOB∽△COD，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△AOB与△DOC的面积之比．

图27－Y－10　 　　图27－Y－11
11．[2014·孝感] 如图27－Y－11，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y＝(x>0)经过斜边OA的中点C，与另一条直角边交于点D.若S△OCD＝9，则S△OBD的值为________．
[答案] 6

图27－Y－12
[解析] 如图，过点C作CE⊥x轴，垂足为E.
∵在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，
∴CE∥AB.
∵C为Rt△OAB的斜边OA的中点，
∴CE为Rt△OAB的中位线，
∴△OEC∽△OBA，且＝.
∵双曲线所对应的函数解析式是y＝，
∴S△BOD＝S△COE＝k，
∴S△AOB＝4S△COE＝2k.
由S△AOB－S△BOD＝S△OAD＝2S△DOC＝18，得2k－k＝18，解得k＝12，
∴S△BOD＝k＝6.
故答案为6.
三、解答题
12．[2014·岳阳] 如图27－Y－13，矩形ABCD为台球桌面，AD＝260 cm，AB＝130 cm.球目前在点E的位置，AE＝60 cm.如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到点D的位置．
(1)求证：△BEF∽△CDF；
(2)求CF的长．

图27－Y－13
解：(1)证明：由题意，得∠EFG＝∠DFG.
∵∠EFG＋∠BFE＝90°，∠DFG＋∠CFD＝90°，
∴∠BFE＝∠CFD.
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴△BEF∽△CDF.
(2)∵△BEF∽△CDF，
∴＝，即＝，
∴CF＝169 cm.
13．[2015·黄冈] 已知：如图27－Y－14，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P.
(1)求证：∠BCP＝∠BAN；
(2)求证：＝.

图27－Y－14
[解析] (1)由AC为⊙O直径，得到∠NAC＋∠ACN＝90°，由AB＝AC，得到∠BAN＝∠CAN，根据PC是⊙O的切线，得到∠ACN＋∠PCB＝90°.
(2)由等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，根据圆内接四边形的性质得到∠PBC＝∠AMN，证出△BPC∽△MNA，从而证得＝.
证明：(1)∵AC为⊙O直径，
∴∠ANC＝90°，
∴∠NAC＋∠ACN＝90°.
∵AB＝AC，∴∠BAN＝∠CAN.
∵PC是⊙O的切线，
∴∠ACP＝90°，
∴∠ACN＋∠PCB＝90°，
∴∠BCP＝∠CAN，
∴∠BCP＝∠BAN.
(2)∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠PBC＋∠ABC＝∠AMN＋∠ACN＝180°，
∴∠PBC＝∠AMN.
由(1)知∠BCP＝∠BAN，
∴△BPC∽△MNA，
∴＝.
14．[2013·绍兴] 若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形．如图27－Y－15①，矩形ABCD中，BC＝2AB，则称矩形ABCD为方形．
(1)设a，b是方形的一组邻边，写出a，b的值(一组即可)．
(2)在△ABC中，将AB，AC分别五等分，连接两边对应的等分点，以这些连接线为一边作矩形，使得这些矩形的边B1C1，B2C2，B3C3，B4C4的对边分别在B2C2，B3C3，B4C4，BC上，如图②所示．
①若BC＝25，BC边上的高为20，判断以B4C4为一边的矩形是不是方形，为什么？
②若以B3C3为一边的矩形为方形，求BC与BC边上的高之比．

图27－Y－15
解：(1)答案不唯一，如a＝3，b＝6.
(2)①以B4C4为一边的矩形不是方形．
理由：由题意，可知＝，
∴B4C4＝25×＝20.
∵20÷4＝5≠2，∴此矩形不是方形．
②设BC边上的高为h，
由题意可知，＝.
若B3C3＝2×h，则＝；
若B3C3＝×h，则＝.
综上所述，若以B3C3为一边的矩形为方形，则BC与BC边上的高之比为或.
15．[2013·苏州] 如图27－Y－16，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长，交边AB于点E，连接BP并延长，交边AD于点F，交CD的延长线于点G.
(1)求证：△APB≌△APD.
(2)已知DF∶FA＝1∶2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y.
①求y与x之间的函数解析式；
②当x＝6时，求线段FG的长．

图27－Y－16
解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC平分∠DAB，
∴∠DAP＝∠BAP.
在△APB和△APD中，
∴△APB≌△APD.
(2)①∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△AFP∽△CBP，∴＝.
∵DF∶FA＝1∶2，
∴AF∶BC＝2∶3，
∴FP∶BP＝2∶3.
由(1)知PB＝PD＝x.
又∵PF＝y，
∴＝，∴y＝x.
即y与x之间的函数解析式为y＝x.
②当x＝6时，y＝×6＝4.
∴FB＝FP＋PB＝10.
∵DG∥AB，
∴△DFG∽△AFB，
∴＝，
∴＝，
∴FG＝×10＝5.
∴线段FG的长为5.