2022-2023学年湖北省襄阳市谷城县石花镇八年级（下）期中数学试卷（含解析）

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2022-2023学年湖北省襄阳市谷城县石花镇八年级（下）期中数学试卷
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式是最简二次根式的是(    )
A. 8 B. a3 C. 12 D. 6
2. 下列运算中，正确的是(    )
A. 27÷ 3=3 B. 8=4 2
C. (−3)2=−3 D. 2 3+4 2=6 5
3. 能使等式 xx−2= x x−2成立的x的取值范围是(    )
A. x≠2 B. x≥0 C. x>2 D. x≥2
4. 若三角形的三边分别为a，b，c，则下面四种情况中，构成直角三角形的是(    )
A. a=2，b=3，c=4 B. a=12，b=5，c=13
C. a=4，b=5，c=6 D. a=7，b=18，c=17
5. 下列命题中正确的是(    )
A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
C. 对角线垂直的平行四边形是正方形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形
6. 顺次连接矩形四边中点所得的四边形是(    )
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形
7. 如图，直线l上有三个正方形A，B，C.若正方形A，C的面积分别为8和15，则正方形B的面积为(    )


A. 6 B. 7 C. 23 D. 120
8. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若EF=6cm，则AC的长是(    )
A. 6cm
B. 12cm
C. 24cm
D. 48cm
9. 如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且DE⊥AB，若BD=2 3，则DE的长为(    )
A. 3
B. 2 3
C. 3 3
D. 4
10. 如图，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF.给出下列结论：①PD= 2EF；②AP=EF；③∠PFE=∠BAP；④AP⊥EF.其中结论正确的个数是(    )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 化简 35= ______ ； 4x2y3= ______ ．
12. 已知 x−1+ 1−x=y+4，则yx的值为______ ．
13. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ (a−b)2的结果是______．


14. 如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，且，若AC=8，BD=6，则DE的长等于______ ．


15. 如图，正方形ABCD的面积是4，E是AB的中点，P是对角线AC上的动点，PE+PB的最小值是______ ．


16. 如图，已知矩形ABCD，AB=8，AD=4，E为CD边上一点，CE=5，点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA边向终点A运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒，则当t的值为______时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算下列各题．
(1) 12× 24÷(−2 3)；
(2)( 24+ 0.5)−( 18− 6)．
18. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(x+y)(x−y)+y(x+2y)−(x−y)2，其中x=2+ 5，y=2− 5．
19. (本小题6.0分)
如图，在▱ABCD中，E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，连结BE、DF．
求证：BE=DF．

20. (本小题8.0分)
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，∠1=30°，BD=6．
(1)求∠ABC的度数；
(2)求AC的长．

21. (本小题6.0分)
学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．请你设法帮小明算出旗杆的高度．

22. (本小题6.0分)
如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，AD=1，且∠ABC=90°，试求∠A的度数．

23. (本小题10.0分)
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O.过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．
(1)求证：四边形OCED是矩形；
(2)若CE=1，DE=2，则菱形ABCD的面积是______．

24. (本小题10.0分)
如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．
(1)求证∠DPE=∠ABC；
(2)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变(如图②)，若∠ABC=58°，求∠DPE的度数．

25. (本小题12.0分)
在正方形ABCD中，E是边CD上一点(点E不与点C、D重合)，连结BE．

【感知】如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F.易证△ABF≌△BCE.(不需要证明)
【探究】如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G．
(1)求证：BE=FG．
(2)连结CM，若CM=1，则FG的长为______．
【应用】如图③，取BE的中点M，连结CM.过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG、MG.若CM=3，则四边形GMCE的面积为______．
答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：A、 8=2 2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、 a3=a a，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、 12= 22，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、 6是最简二次根式，故本选项符合题意．
故选：D．
先根据二次根式的性质进行化简，再根据最简二次根式的定义逐项判断即可．
本题考查了二次根式的性质及最简二次根式的定义，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的每个因数都是整数，因式都是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．

2.【答案】A 
【解析】解：A、 27÷3=3，所以A选项正确；
B、原式=2 2，所以B选项错误；
C、原式=3，所以C选项错误；
D、2 3与4 2不能合并，所以D选项错误．
故选：A．
根据二次根式的除法法则对A进行判断2；根据二次根式的性质对B、C进行判断；根据二次根式的加法法则对D进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

3.【答案】C 
【解析】解：由题意可得，x≥0x−2>0，解之得x>2．
故选：C．
本题需注意的是，被开方数为非负数，且分式的分母不能为0，列不等式组求出x的取值范围．
二次根式的被开方数是非负数，分母不为0，是本题确定取值范围的主要依据．

4.【答案】B 
【解析】解：A、22+32≠42，故不是直角三角形，故本项错误；
B、52+122=132，故是直角三角形，正确；
C、42+52=41≠62，故不是直角三角形，故本项错误；
D、72+172≠182，故不是直角三角形，故本项错误．
故选B．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．

5.【答案】B 
【解析】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项正确；
C、对角线垂直的平行四边形可能是菱形，故选项错误；
D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．
故选：B．
分析：
利用特殊四边形的判定定理对选项逐一判断后即可得到正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记特殊的四边形的判定定理，难度不大，属于基础题．

6.【答案】B 
【解析】解：连接AC、BD，
在△ABD中，
∵AH=HD，AE=EB
∴EH=12BD，
同理FG=12BD，HG=12AC，EF=12AC，
又∵在矩形ABCD中，AC=BD，
∴EH=HG=GF=FE，
∴四边形EFGH为菱形．
故选：B．
因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．
本题考查了矩形的性质、菱形的判定、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．

7.【答案】C 
【解析】解：如图，

由于A、B、C都是正方形，所以DF=FH，∠DFH=90°，
∵∠DFE+∠HFG=∠EDF+∠DFE=90°，即∠EDF=∠HFG，
在△DEF和△FGH中，
∠EDF=∠HFG∠DEF=∠HGFDF=HF，
∴△DEF≌△FGH(AAS)，
∴DE=FG，EF=HG，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：DF2=DE2+EF2=DE2+HG2，
即SB=SA+SC=8+15=23，
故选：C．
运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠EDF=∠HFG，然后证明△DEF≌△FGH，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．
此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，关键是证明△DEF≌△FGH．

8.【答案】C 
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC=OD=OB，
∵点E，F分别是AO，AD的中点，
∴OD=2EF=12cm，
∴AC=DB=2OD=24cm，
故选：C．
根据三角形的中位线定理求出OD，再根据计算的性质求出AC即可．
本题考查矩形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

9.【答案】A 
【解析】解：∵E为AB的中点，DE⊥AB，
∴AD=DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∴AD=DB=AB，
∴△ABD为等边三角形．
∴∠ADB=∠ABD=60°，
∵BD=2 3，
∴DE=BD⋅sin∠ABD=2 3× 32=3．
故选：A．
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，再根据菱形的四条边都相等可得AB=AD，然后求出AB=AD=BD，从而得到△ABD是等边三角形，再利用三角函数可得答案．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键．

10.【答案】C 
【解析】解：如图，延长FP交AB与G，连PC，延长AP交EF与H，

在正方形ABCD中，PE⊥BC，PF⊥CD，∠DBC=45°，
∴GF//BC，
∴∠DPF=∠DBC=45°，
∴∠DPF=∠DBC=45°，
∴∠PDF=∠DPF=45°，
∴PF=EC=DF，
在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，
∴DP= 2EC，
故①错误，不符合题意；
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD=90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴PC=EF，
∵正方形为轴对称图形，
∴AP=PC，
∴AP=EF，
故②正确，符合题意；
∵BD平分∠ABC，PG⊥AB，PE⊥BC，
∴PG=PE，
∵AP=EF，∠AGP=∠EPF=90°，
∴△AGP≌△FPE(SAS)，
∴∠BAP=∠PFE，
故③正确，符合题意；
∵∠AGP=90°，
∴∠BAP+∠APG=90°，
∵∠APG=∠HPF，
∴∠PFH+∠HPF=90°，
∴AP⊥EF，
故④正确，符合题意．
故选：C．
根据正方形的对角线平分对角的性质，得△PDF是等腰直角三角形，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得DP= 2EC，由题意可知，四边形PECF为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明AP=EF，证明∠PFH+∠HPF=90°，则AP⊥EF．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．

11.【答案】 155 2xy y(x≥0)−2xy y(x<0) 
【解析】解： 35= 3×55×5= 155； 4x2y3=2y|x| y，
当x≥0时， 4x2y3=2y|x| y=2xy y，
当x<0时， 4x2y3=2y|x| y=−2xy y，
故答案为： 155；2xy y(x≥0)−2xy y(x<0)．
根据二次根式的性质化简即可．
本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的非负性是解答此题的关键．

12.【答案】−4 
【解析】解：依题意得，x=1，
则y+4=0，即y=−4，
则yx=(−4)1=−4．
故答案是：−4．
根据二次根式的被开方数是非负数求得x的值，继而得到y的值，则易求yx的值．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

13.【答案】b−2a 
【解析】解：由数轴可得：a<0,a−b<0，
则原式=−a−(a−b)=b−2a．
故答案为：b−2a．
直接利用数轴得出a<0,a−b<0，进而化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各项符号是解题关键．

14.【答案】245 
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AC=8，BD=6，
∴菱形ABCD的面积为12AC×BD=12×8×6=24；
∴AO=3，BO=4，
∴AB= AO2+BO2=5，
∴AB⋅DE=5DE=24，
∴DE=245，
故答案为：245．
由菱形面积公式即可得出答案．
本题考查了菱形的性质；熟记菱形面积公式是解题的关键．

15.【答案】 5 
【解析】解：连接DE，交AC于点P，连接BD，
∵点B与点D关于AC对称，
∴DE的长即为PE+PB的最小值，
∵正方形ABCD的面积是4，
∴AB=2，
∵E是BC的中点，
∴CE=1，
在Rt△CDE中，DE= CD2+CE2= 22+12= 5，
故答案为： 5．
由于点B与点D关于AC对称，如果连接DE，交AC于点P，那PE+PB的值最小．在Rt△CDE中，由勾股定理先计算出DE的长度，即为PE+PB的最小值．
本题考查了轴对称−最短路线问题和正方形的性质，根据两点之间线段最短确定点P的位置是解题的关键．

16.【答案】2或236 
【解析】解：根据题意得：BP=t，
∵四边形ABCD是矩形，AB=8，AD=4，
∴CD=AB=8，BC=AD=4，
∴AP=8−t，DE=DC−CE=8−5=3，
由勾股定理得：AE= 32+42=5，
过E作EF⊥AB于F，

则∠EFA=∠EFB=90°，
∵∠C=∠B=90°，
∴四边形BCEF是矩形，
∴BF=CE=5，BC=EF=4，
∴PF=5−t，
由勾股定理得：PE2=EF2+PF2=42+(5−t)2，
①当AE=PE时，52=42+(5−t)2，
解得：t=2，t=8，
∵t=8不符合题意，舍去；
②当AP=PE时，(8−t)2=42+(5−t)2，
解得：t=236，
即当t的值为2或236时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形，
故答案为：2或236．
根据矩形的性质得出CD=AB=8，BC=AD=4，求出AP=8−t，DE=3，由勾股定理求出AE=5，PE2=EF2+PF2=42+(5−t)2，分为两种情况：①当AE=PE时，②当AP=PE时，求出即可．
本题考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的判定，勾股定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．

17.【答案】解：(1) 12× 24÷(−2 3)
= 12×24÷(−2 3)
=2 3÷(−2 3)
=−1；
(2)( 24+ 0.5)−( 18− 6)
=2 6+ 22− 24+ 6
=3 6+ 24． 
【解析】(1)运用二次根式的乘除法法则进行计算即可；
(2)先将二次根式化简，然后再按照二次根式的加减混合运算的顺序和法则进行计算．
本题主要考查二次根式加减乘除混合运算，掌握二次根式混合运算顺序和法则是解题的关键．

18.【答案】解：(x+y)(x−y)+y(x+2y)−(x−y)2
=x2−y2+xy+2y2−x2+2xy−y2
=3xy，
当x=2+ 5，y=2− 5时，
原式=3×(2+ 5)(2− 5)=−3． 
【解析】根据平方差公式、单项式乘多项式和完全平方公式进行展开，然后进行合并化简，最后再将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查了整式的混合运算—化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序以及乘法公式是解答本题的关键．

19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵AE=CF，
∴DE=BF，DE//BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE=DF． 
【解析】根据平行四边形性质得出AD//BC，AD=BC，求出DE=BF，DE//BF，得出四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形DEBF是平行四边形是解决问题的关键．

20.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DCB=2∠1=2×30°=60°，CD//AB，
∴∠ABC=180°−∠DCB=120°；
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OD=12BD=3，
∴∠DOC=90°，
∵∠1=30°，
∴CD=2OD=6，
∴OC= CD2−OD2= 62−32=3 3，
∴AC=2OC=6 3． 
【解析】(1)根据菱形的性质得到∠DCB=2∠1=2×30°=60°，CD//AB，根据平行线的性质即可得到结论；
(2)根据菱形的性质得到AC⊥BD，OD=12BD=3，求得∠DOC=90°，根据直角三角形的性质得到CD=2OD=6，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理；熟练掌握菱形的性质，求出AC是解决问题的关键．

21.【答案】解：设旗杆的高为x米，则绳子长为x+1米，
由勾股定理得，(x+1)2=x2+52，解得，x=12米．
答：旗杆的高度是12米． 
【解析】根据旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设出旗杆的高度，再利用勾股定理解答即可．
本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．

22.【答案】解：
连接AC，∵AB=BC=2，且∠ABC=90°，
∴AC=2 2且∠CAB=45°，
又∵AD=1，CD=3，
∴AD2+AC2=CD2
∴∠CAD=90°，
∴∠A=∠CAD+∠CAB=135°． 
【解析】连接AC，根据勾股定理求出A的C，再△ADC中利用勾股定理逆定理得到∠CAD=90°，进而求出∠A的度数．
本题考查了勾股定理和其逆定理的运用，解题的关键是连接AC，构造直角三角形．

23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD=90°．
∵CE//OD，DE//OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∠COD=90°，
∴平行四边形OCED是矩形；

(2)4 
【解析】(1)见答案
(2)由(1)知，平行四边形OCED是矩形，则CE=OD=1，DE=OC=2．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC=2OC=4，BD=2OD=2，
∴菱形ABCD的面积为：12AC⋅BD=12×4×2=4．
故答案是：4．
(1)欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；
(2)由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．
考查了矩形的判定与性质，菱形的性质．此题中，矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明有一内角为直角．

24.【答案】(1)证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，
在△BCP和△DCP中，
BC=DC∠BCP=∠DCPPC=PC，
∴△BCP≌△DCP(SAS)；
∴∠CBP=∠CDP，
∵PE=PB，
∴∠CBP=∠E，
∵∠1=∠2(对顶角相等)，
∴180°−∠1−∠CDP=180°−∠2−∠E，
即∠DPE=∠DCE，
∵AB//CD，
∴∠DCE=∠ABC，
∴∠DPE=∠ABC；

(2)解：与(1)同理可得：∠DPE=∠ABC，
∵∠ABC=58°，
∴∠DPE=58°． 
【解析】(1)根据正方形的四条边都相等可得BC=DC，对角线平分一组对角可得∠BCP=∠DCP，然后利用“边角边”证明即可；根据全等三角形对应角相等可得∠CBP=∠CDP，根据等边对等角可得∠CBP=∠E，然后求出∠DPE=∠DCE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，从而得证；
(2)根据(1)的结论解答．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出∠BCP=∠DCP是解题的关键．

25.【答案】感知：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BCE=∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠BAF=∠CBE，
在△ABF和△BCE中，∠BAF=∠CBEAB=BC∠ABC=∠BCE=90°，
∴△ABF≌△BCE(ASA)；

探究：(1)如图②，

过点G作GP⊥BC于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°，
∴四边形ABPG是矩形，
∴PG=AB，∴PG=BC，
同感知的方法得，∠PGF=∠CBE，
在△PGF和△CBE中，∠PGF=∠CBEPG=BC∠FPG=∠ECB=90°，
∴△PGF≌△CBE(ASA)，
∴BE=FG；
(2)2；9  ． 
【解析】
解：感知：见答案；
探究：(1)见答案；
(2)由(1)知，FG=BE，
连接CM，
∵∠BCE=90°，点M是BE的中点，
∴BE=2CM=2，
∴FG=2，
故答案为：2．

应用：同探究(2)得，BE=2ME=2CM=6，
∴ME=3，
同探究(1)得，CG=BE=6，
∵BE⊥CG，
∴S四边形CEGM=12CG×ME=12×6×3=9，
故答案为：9．
【分析】
感知：利用同角的余角相等判断出∠BAF=∠CBE，即可得出结论；
探究：(1)判断出PG=BC，同感知的方法判断出△PGF≌CBE，即可得出结论；
(2)利用直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，
应用：借助感知得出结论和直角三角形斜边的中线是斜边的一半即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出CG=BE是解本题的关键．