2022-2023学年湖北省襄阳市樊城区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖北省襄阳市樊城区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共37页。试卷主要包含了依据所标数据，如图等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖北省襄阳市樊城区八年级（下）期中数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B． C．1，2，2 D．5，12，13
2．如图，在平面直角坐标系中▱OABC的顶点O，A，B的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则点C的坐标是（　　）

A．（﹣2，2） B．（﹣2，3） C．（﹣3，3） D．（﹣3，2）
3．菱形的两条对角线的长分别是4cm和6cm，则菱形的面积是（　　）
A．10cm2 B．12cm2 C．24cm2 D．48cm2
4．如图，正方形ABCD的边长为4，N为AD上一点，连接BN，AM⊥BN于点M，连接CM，若AM＝2，则△BCM的面积为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
5．如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按A→B→C→D的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为ts，△PAD的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．当点P运动到BC的中点时，△PAD的面积为（　　）

A．7 B．7.5 C．8 D．8.6
6．已知四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件能判断四边形ABCD是平行四边形（　　）
A．OA＝OC，AC＝BD
B．OB＝OA，OD＝OC
C．AB∥CD，AD＝BC
D．∠ABC+∠BAD＝180°，∠BCD＝∠BAD
7．依据所标数据（度为所在角的度数，数字为所在边的长度），下列平行四边形不一定是菱形的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图（单位：cm），等腰直角△EFG以2cm/s的速度沿直线l向正方形移动，直到EF与BC重合，当运动时间为xs时，△EFG与正方形ABCD重叠部分的面积为ycm2，下列图象中能反映y与x的函数关系的是（　　）

A．
B．
C．
D．
9．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，点P是DF的中点，连接AP，EP．若AP＝AD，BE＝BF，则∠BEP的度数为（　　）

A．60° B．65° C．75° D．80°
10．如图，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴上，点M，N分别在OA，AB上，△CMN是等边三角形，连接AC，交MN于点G．若AM＝4，则点G的坐标为（　　）

A．（3，2） B．（，2） C．（2，2） D．（，2）
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
11．如图，点E是正方形ABCD中BC延长线上一点，连接AE，点F是AE的中点，连接DF，若AB＝4，DF＝，则AE的长为 　 　．

12．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，P是斜边AB上的动点，连接CP，AD⊥CP于点D，连接BD．则BD的最小值是 　 　．

13．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：与直线 交于点A1，过A1作x轴的垂线，垂足为B1，过B1作l2的平行线交l1于A2，过A2作x轴的垂线，垂足为B2，过B2作l2的平行线交l1于A3，过A3作x轴的垂线，垂足为B3…按此规律，则点A2023的纵坐标为 　 　．

14．在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）为端点的线段的中点坐标为．在直角坐标系中，有A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与A，B，C构成平行四边形的顶点，则点D的坐标为 　 　．
15．如图，△ABC中，AD是角平分线，AE是中线，CP⊥AD于P，AB＝6，AC＝4，则PE的长为 　 　．

三．解答题（共8小题，满分70分）
16．如图，O为矩形ABCD的对角线AC的中点，过O作EF⊥AC分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB＝6，BC＝12，求菱形AFCE的面积．

17．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝AD，连接BF，CF．
（1）求证：EF平行且等于BC；
（2）求证：四边形BCEF是矩形；
（3）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EC的长．

18．计算：
（1）；
（2）．
19．已知，，求xy（x﹣y）的值．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x﹣2与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线CD：y＝kx+b（k≠0）交于点P，OC＝OD＝4OA．
（1）求直线CD的解析式；
（2）连接OP、BC，若直线AB上存在一点Q，使得S△PQC＝S四边形OBCP，求点Q的坐标；
（3）将直线CD向下平移1个单位长度得到直线，直线l与x轴交于点E，点N为直线l上的一点，在平面直角坐标系中，是否存在点M，使以点O，E，N，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

21．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点B（﹣5，0），与y轴交于点A，直线y＝﹣x+4过点A，与x轴交于点C，点P是x轴上方一个动点．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）若点P在线段AB上，且S△APC＝S△AOB，求点P的坐标；
（3）当S△PBC＝S△AOB时，动点M从点B出发，先运动到点P，再从点P运动到点C后停止运动．点M的运动速度始终为每秒1个单位长度，运动的总时间为t（秒），请直接写出t的最小值．

22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B．当x＞3时，y＜0；当x＜3时，y＞0．
（1）求k，b的关系式（用含b的代数式表示k）；
（2）若∠ABO＝60°．
①求直线l1的解析式；
②若直线l2：y＝mx+m与直线l1相交，且两条直线所夹的锐角为45°，求m的值．
23．如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为，求点M的坐标；
②连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．


参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B． C．1，2，2 D．5，12，13
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
解：A、因为22+32≠42，不能构成直角三角形，此选项不符合题意；
B、因为（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，此选项不符合题意；
C、因为12+22≠22，不能构成直角三角形，此选项不符合题意；
D、因为52+122＝132，能构成直角三角形，此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
2．如图，在平面直角坐标系中▱OABC的顶点O，A，B的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则点C的坐标是（　　）

A．（﹣2，2） B．（﹣2，3） C．（﹣3，3） D．（﹣3，2）
【分析】根据坐标与图形性质以及平行四边形的性质求解即可．
解：∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC＝OA，BC∥OA，即BC∥x轴，
∵O，A，B的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），
∴BC＝OA＝5，点C与点B的纵坐标相等，都为3，
∴点C的横坐标为2﹣5＝﹣3，
∴点C的坐标为（﹣3，3），
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形，熟练掌握坐标与图形的性质是解答的关键．
3．菱形的两条对角线的长分别是4cm和6cm，则菱形的面积是（　　）
A．10cm2 B．12cm2 C．24cm2 D．48cm2
【分析】根据菱形的面积公式即可求解．
解：∵菱形的两条对角线的长分别为4cm和6cm，
∴面积为＝12（cm2），
故选：B．
【点评】本题主要考查菱形的面积，解题的关键是熟知菱形的面积等于对角线乘积的一半．
4．如图，正方形ABCD的边长为4，N为AD上一点，连接BN，AM⊥BN于点M，连接CM，若AM＝2，则△BCM的面积为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】作ME⊥BC于点E，根据勾股定理求得BM＝＝2，由sin∠ABM＝＝，得∠ABM＝30°，则∠MBC＝60°，所以EM＝BM•sin60°＝3，即可求得△BCM的面积为6．
解：作ME⊥BC于点E，则∠BEM＝90°，
∵AM⊥BN于点M，
∴∠AMB＝90°，
∵四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，
∵AM＝2，
∴sin∠ABM＝＝＝，BM＝＝＝2，
∴∠ABM＝30°，
∴∠MBC＝∠ABC﹣∠ABM＝60°，
∴EM＝BM•sin60°＝2×＝3，
∴S△BCM＝BC•EM＝×4×3＝6，
∴△BCM的面积为6，
故选：B．

【点评】此题重点考查正方形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、三角形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线并且求得∠ABM＝30°是解题的关键．
5．如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按A→B→C→D的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为ts，△PAD的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．当点P运动到BC的中点时，△PAD的面积为（　　）

A．7 B．7.5 C．8 D．8.6
【分析】首先结合图形和函数图象判断出CD的长和AD的长，进而可得AB的长，从而可得E点坐标，然后再计算出当5＜t≤10时直线解析式，然后再代入t的值计算出s即可．
解：根据题意得：四边形ABCD是梯形，
当点P从C运动到D处需要2秒，则CD＝2，△ADP面积为4，
则AD＝4，
根据图象可得当点P运动到B点时，△ADP面积为10，
则AB＝5，则运动时间为5秒，
∴E（5，10），
设当5＜t≤10时，函数解析式为s＝kt+b，
∴，
解得，
∴当5＜t≤10时，函数解析式为S＝﹣t+16，
当P运动到BC中点时时间t＝7.5，
则S＝7，
故选：A．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象、三角形面积公式，利用数形结合的思想方法是解决问题的关键．
6．已知四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件能判断四边形ABCD是平行四边形（　　）
A．OA＝OC，AC＝BD
B．OB＝OA，OD＝OC
C．AB∥CD，AD＝BC
D．∠ABC+∠BAD＝180°，∠BCD＝∠BAD
【分析】由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
解：A、由OA＝OC，AC＝BD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由OB＝OA，OD＝OC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C，由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵∠ABC+∠BAD＝180°，∠BCD＝∠BAD，
∴AD∥BC，∠ABC+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定，掌握平行四边形的判定是解题的关键．
7．依据所标数据（度为所在角的度数，数字为所在边的长度），下列平行四边形不一定是菱形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据菱形的判定解答即可．
解：A．平行四边形的一个角为60°，不能确定边的长度，不一定是菱形，该选项符合题意；
∵四边形是平行四边形，
B．因为32+42＝52，对角线相互垂直，因为对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以该选项正确，不符合题意；
∴对边相等，故B不一定是菱形；
C．平行四边形对边平行，又邻边相等，所以平行四边形的四边相等，一定是菱形，所以该选项正确，不符合题意；
D．由图可知平行边四形的邻边相等，所以平行四边形的四边相等，一定是菱形，所以该选项正确，不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，解答本题的关键是根据菱形的判定方法解答．
8．如图（单位：cm），等腰直角△EFG以2cm/s的速度沿直线l向正方形移动，直到EF与BC重合，当运动时间为xs时，△EFG与正方形ABCD重叠部分的面积为ycm2，下列图象中能反映y与x的函数关系的是（　　）

A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出x≤5时与5≤x≤10时的函数解析式，然后根据相应的函数图象找出符合条件的选项即可
解：如图1，当x≤5时，重叠部分为三角形，面积y＝•2x•2x＝2x2，
如图2，当5≤x≤10时，重叠部分为梯形，面积y＝×10×10﹣（2x﹣10）2＝﹣2（x﹣5）2+50，
∴图象为两段二次函数图象，
纵观各选项，只有C选项符合．
故选：C．

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，判断出重叠部分的形状并求出相应的函数关系式是解题的关键．
9．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，点P是DF的中点，连接AP，EP．若AP＝AD，BE＝BF，则∠BEP的度数为（　　）

A．60° B．65° C．75° D．80°
【分析】如图，过点A作AH⊥DF于H，连接DE、CP、BP、EF，由正方形性质可得：∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得：CP＝DP＝PF，进而可证得△BCP≌△ADP（SAS），可推出△ABP是等边三角形，得出：∠BAP＝60°，∠DAP＝90°﹣60°＝30°，再由等腰三角形性质可得∠DAH＝∠FDC＝15°，再证明△DEA≌△DFC（SAS），推出△DEF是等边三角形，得出∠FEP＝∠DEF＝30°，再由△BEF是等腰直角三角形，得出∠BEF＝45°，即可求得答案．
解：如图，过点A作AH⊥DF于H，连接DE、CP、BP、EF，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∵点P是DF的中点，
∴CP＝DP＝PF，
∴∠DFC＝∠BCP，
∴∠BCP＝∠ADF，
∴△BCP≌△ADP（SAS），
∴AP＝BP，
∵AP＝AD，
∴AP＝AB＝BP，
∴△ABP是等边三角形，
∴∠BAP＝60°，
∴∠DAP＝90°﹣60°＝30°，
∵AD＝AP，AH⊥DP，
∴∠DAH＝∠PAH＝15°，
∵∠ADH+∠DAH＝90°，∠ADH+∠FDC＝90°，
∴∠DAH＝∠FDC＝15°，
∵BE＝BF，
∴AB﹣BE＝BC﹣BF，
即AE＝CF，
∴△DEA≌△DFC（SAS），
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF＝15°，
∴∠EDF＝90°﹣15°﹣15°＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠DEF＝60°，
∵点P是DF的中点，
∴∠FEP＝∠DEF＝30°，
∵BE＝BF，∠EBF＝90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴∠BEF＝45°，
∴∠BEP＝∠BEF+∠FEP＝45°+30°＝75°．
故选：C．

【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键，是一道常见的中考数学选择题压轴题．
10．如图，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴上，点M，N分别在OA，AB上，△CMN是等边三角形，连接AC，交MN于点G．若AM＝4，则点G的坐标为（　　）

A．（3，2） B．（，2） C．（2，2） D．（，2）
【分析】如图，过点G作GH⊥OA于H，利用正方形性质和等边三角形性质可证得Rt△CBN≌Rt△COM（HL），得出BN＝OM，推出AN＝AM＝4，利用等腰直角三角形性质和等边三角形性质即可求得答案．
解：如图，过点G作GH⊥OA于H，

∵四边形ABCO是正方形，
∴∠OAB＝∠ABC＝∠COA＝90°，∠CAO＝∠CAB＝45°，CB＝CO＝AB＝AO，
∵△CMN是等边三角形，
∴CM＝CN，
∴Rt△CBN≌Rt△COM（HL），
∴BN＝OM，
∴AB﹣BN＝AO﹣OM，
即AN＝AM＝4，
∴MN＝4，∠AMN＝∠ANM＝45°，
∴∠AGM＝∠AGN＝90°，
∴MG＝NG＝AG＝2，
∵△CMN是等边三角形，MG＝NG＝2，
∴CG＝MG＝2，
∴AC＝AG+CG＝2+2，
∴OA＝AC•cos∠CAO＝（2+2）cos45°＝2+2，
∵△AMG是等腰直角三角形，GH⊥OA，
∴GH＝AH＝AM＝2，
∴OH＝OA﹣AH＝2+2﹣2＝2，
∴点G的坐标为（2，2）．
故选：B．

【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，知识点较多，综合性强，是常考题型，熟练掌握相关性质是解题关键．
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
11．如图，点E是正方形ABCD中BC延长线上一点，连接AE，点F是AE的中点，连接DF，若AB＝4，DF＝，则AE的长为 　2　．

【分析】根据正方形的性质得出AB＝BC＝CD，进而利用AAS证明△AFG与△EFH全等，进而利用全等三角形的性质和勾股定理解答即可．
解：过F作GH⊥AD分别交AD、BC于G，H，则四边形GDCH为矩形，
∴CH＝GD，CD＝GH，∠FGA＝∠FHE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝4，∠B＝90°，
∵F是AE的中点，
∴AF＝EF，
在△AFG与△EFH中，
，
∴△AFG≌△EFH（AAS），
∴AG＝EH，GF＝HF＝GH＝2，
在Rt△GDF中，DG＝，
∴AG＝EH＝3，CH＝DG＝1，
∴CE＝2，
∴BE＝6，
在Rt△ABE中，AE＝，
故答案为：2．

【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的四边相等和勾股定理解答．
12．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，P是斜边AB上的动点，连接CP，AD⊥CP于点D，连接BD．则BD的最小值是 　2　．

【分析】取AC中点M，连接MD，MB，由直角三角形的性质求出DM的长，由勾股定理求出BM的长，由三角形的三边关系即可求出BD的最小值．
解：取AC中点M，连接MD，MB，
∵AD⊥CP，
∴∠ADC＝90°，
∴MD＝AC＝×6＝3，
∵CM＝AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，
∴MB＝＝＝5，
∵BD≥MB﹣MD＝5﹣3＝2，
∴BD的最小值是2．
故答案为：2．

【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，三角形三边的关系，勾股定理，关键是通过作辅助线构造△BDM，应用三角形的三边关系定理求BD的最小值．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：与直线 交于点A1，过A1作x轴的垂线，垂足为B1，过B1作l2的平行线交l1于A2，过A2作x轴的垂线，垂足为B2，过B2作l2的平行线交l1于A3，过A3作x轴的垂线，垂足为B3…按此规律，则点A2023的纵坐标为 　（）2023　．

【分析】联立直线l1与直线l2的表达式并解得：x＝，y＝，故A1（，），依次求出：点A2的纵坐标为、A3的纵坐标为，即可求解．
解：联立直线l1与直线l2的表达式并解得：x＝，y＝，故A1（，）；
则点B1（，0），则直线B1A2的表达式为：y＝x+b，
将点B1坐标代入上式并解得：直线B1A2的表达式为：y3＝x﹣，
将表达式y3与直线l1的表达式联立并解得：x＝，y＝，即点A2的纵坐标为；
同理可得A3的纵坐标为，
…按此规律，则点A2023的纵坐标为（）2023，
故答案为：（）2023．
【点评】本题考查了两直线的交点，要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与二元一次方程组之间的内在联系．
14．在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）为端点的线段的中点坐标为．在直角坐标系中，有A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与A，B，C构成平行四边形的顶点，则点D的坐标为 　（1，﹣1）或（5，3）或（﹣3，5）　．
【分析】分三种情况：①当AB为对角线时，②当BC为对角线时，③当AC为对角线时，分别由平行四边形的判定以及中点坐标公式即可得出结论．
解：如图，分三种情况：

①当AB为对角线，AD∥BC，AC∥BD时，
∵A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4），
∴把B向左平移2个单位，再向下平移2个单位，得D点坐标为（1，﹣1），
②当BC为对角线，AB∥CD'，AC∥BD'时，
∵A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4），D（1，﹣1），
∴由线段中点坐标公式得：D'的坐标为（5，3）；
③当AC为对角线，AB∥CD''，AD''∥BC时，
∴由线段中点坐标公式得D''的坐标为（﹣3，5）；
综上所述，符合要求的点D的坐标为（1，﹣1）或（5，3）或（﹣3，5），
故答案为：（1，﹣1）或（5，3）或（﹣3，5）．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、坐标与图形性质以及分类讨论等知识，熟练掌握平行四边形的判定和中点坐标公式是解题的关键．
15．如图，△ABC中，AD是角平分线，AE是中线，CP⊥AD于P，AB＝6，AC＝4，则PE的长为 　1　．

【分析】延长CP交AB于点F，证明P为CF的中点，进而根据三角形中位线的性质即可求解．
解：如图所示，延长CP交AB于点F，

∵△ABC中，AD是角平分线，
∴∠CAP＝∠FAP，
∵CP⊥AD，
∴∠APC＝∠APF，
又∵AP＝AP，
∴△APC≌△APF（AAS），
∴PC＝PF，AC＝AF＝4，
则FB＝AB﹣AF＝AB﹣AC＝2，
又AE是中线，则EC＝EB，
∴PE是△BCF的中位线，
∴，
故答案为：1．
【点评】本题考查了中位线的性质与判定，掌握三角形中位线的性质与判定是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分70分）
16．如图，O为矩形ABCD的对角线AC的中点，过O作EF⊥AC分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB＝6，BC＝12，求菱形AFCE的面积．

【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，然后由四边形ABCD是矩形，根据菱形的判定定理即可得到结论；
（2）由勾股定理可求BE，AC的长，由直角三角形的性质可求解．
【解答】（1）证明：∵点O是AC的中点，EF⊥AC，
∴EF是AC的垂直平分线，
∴FA＝FC，EA＝EC，OA＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠ECO．
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
∴AE＝CF，
∴AE＝CE＝CF＝AF，
∴四边形AECF为菱形．
（2）解：设AE＝CE＝x，则BF＝12﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°．
在Rt△ABE中，由勾股定理得，AB2+BE2＝AE2，
即62+（12﹣x）2＝x2，
解得，x＝7.5，
即AE＝7.5，
∴DE＝BF＝4.5，
∴菱形AFCE的面积＝矩形ABCD的面积﹣△ABF的面积﹣△CDE的面积＝6×12﹣2×＝45．

【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，证得△AOF≌△COE是关键．
17．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝AD，连接BF，CF．
（1）求证：EF平行且等于BC；
（2）求证：四边形BCEF是矩形；
（3）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EC的长．

【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，再由EF＝DA，得EF＝BC，EF∥BC；
（2）证得四边形BCEF是平行四边形，再证∠CEF＝90°，即可得出结论；
（2）由勾股定理的逆定理证△CDF是直角三角形，∠DCF＝90°，再由面积法求出CE＝，然后由矩形的性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵EF＝DA，
∴EF＝BC，EF∥BC，
即EF平行且等于BC；
（2）证明：由（1）知，EF＝BC，EF∥BC；
∴四边形BCEF是平行四边形，
又∵CE⊥AD，
∴∠CEF＝90°，
∴平行四边形BCEF是矩形；
（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，
∵CF＝4，DF＝5，
∴CD2+CF2＝DF2，
∴△CDF是直角三角形，∠DCF＝90°，
∴△CDF的面积＝DF×CE＝CF×CD，
∴CE＝＝＝，
由（1）得：EF＝BC，四边形BCEF是矩形，
∴∠FBC＝90°，BF＝CE＝．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
18．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化为最简二次根式，再利用二次根式加减法的运算法则计算求解；
（2）利用二次根式乘除法的运算法则计算即可．
解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝
＝
＝1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
19．已知，，求xy（x﹣y）的值．
【分析】先求xy、x﹣y的值，再整体代入计算即可．
解：∵，，
∴xy＝（+1）（﹣1）＝3﹣1＝2，x﹣y＝（+1）﹣（﹣1）＝2，
∴xy（x﹣y）＝2×2＝4．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，掌握运算法则是解题的关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x﹣2与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线CD：y＝kx+b（k≠0）交于点P，OC＝OD＝4OA．
（1）求直线CD的解析式；
（2）连接OP、BC，若直线AB上存在一点Q，使得S△PQC＝S四边形OBCP，求点Q的坐标；
（3）将直线CD向下平移1个单位长度得到直线，直线l与x轴交于点E，点N为直线l上的一点，在平面直角坐标系中，是否存在点M，使以点O，E，N，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）先求出OA，然后求出点C和点D的坐标，利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）先求出点B和点P的坐标，然后求出四边形OBCP的面积，然后分类讨论：当点Q在点B的下方时；当点Q在点P的上方时；分别求出三角形PQC的面积，即可求出点Q的坐标；
（3）先求出直线l为y＝﹣x+3，然后得到OE＝3，然后分情况进行分析：当OE＝3作为矩形OEMN的边时；当OE＝3作为矩形OEMN的对角线时；分别求出两种情况的点M的坐标即可．
解：（1）∵直线y＝2x﹣2与x轴、y轴分别交于点A、点B，
∴令y＝0，则x＝1，
∴点A为（1，0），
∴OA＝1，
∵OC＝OD＝4OA＝4，
∴点C为（4，0），点D为（0，4），
设直线CD的解析式为y＝kx+b；
∴，
∴，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+4；
（2）解：在y＝2x﹣2中，令x＝0，则y＝﹣2，
∴点B为（0，﹣2），
∵，
解得，
∴点P的坐标为（2，2）；
∴；
∵点Q在直线AB上，则设点Q为（x，2x﹣2），则
当点Q在点B的下方时，如图：
∵AC＝3，点P的坐标为（2，2），
∴，
∵S△PQC＝S四边形OBCP，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴点Q的坐标为；
当点Q在点P的上方时，如图：
，
∴，
∴
解得：，
∴，
∴点Q的坐标为；
综合上述，点Q的坐标为或；
（3）解：∵直线CD向下平移1个单位长度得到直线l，
∴直线l为y＝﹣x+3，
令y＝0，则x＝3，
∴点E的坐标为（3，0），
即OE＝3；
当OE＝3作为矩形OEMN的边时，如图：

∴点N的坐标为（0，3），
∴点M的坐标为（3，3）；
当OE＝3作为矩形OEMN的对角线时，如图：

∴点F的坐标为，
∵tan∠OEN＝|﹣1|＝1，
∴∠OEN＝45°，
∵ON⊥NE，
∴△ONE是等腰直角三角形，
∴ON＝NE，
∴四边形ONEM是正方形，
∴MN⊥OE，MN＝OE，
∴，
∴点M的坐标为；
综合上述，则点M的坐标为（3，3）或；

【点评】本题考查了矩形的性质，一次函数的图象和性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出图形，从而运用分类讨论的思想进行解题．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点B（﹣5，0），与y轴交于点A，直线y＝﹣x+4过点A，与x轴交于点C，点P是x轴上方一个动点．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）若点P在线段AB上，且S△APC＝S△AOB，求点P的坐标；
（3）当S△PBC＝S△AOB时，动点M从点B出发，先运动到点P，再从点P运动到点C后停止运动．点M的运动速度始终为每秒1个单位长度，运动的总时间为t（秒），请直接写出t的最小值．

【分析】（1）先根据直线过点A，求出点A坐标，再利用待定系数法求直线AB的函数表达式即可；
（2）设点P坐标为（p，p+4），先求出点C坐标，再求出△AOB的面积，表示出△APC的面积，根据S△APC＝S△AOB，列方程求解即可；
（3）根据S△PBC＝S△AOB，点P是x轴上方的一个动点，可知点P在直线y＝上运动，作点B关于直线y＝的对称点B′，连接CB′，交直线y＝于点P，连接BP，则BP+CP的最小值即为CB′的长，求出CB′的长度，进一步可得t的最小值．
解：（1）∵点A在y轴上，直线过点A，
∴点A坐标为（0，4），
将点A（0，4）和点B（﹣5，0）代入直线y＝kx+b，
得，
解得，
∴直线AB的函数表达式为；

（2）设点P坐标为（p，p+4），
令＝0，得x＝3，
∴点C坐标为（3，0），
∵点A（0，4），点B（﹣5，0），
∴OA＝4，OB＝5，BC＝8，
∴＝＝10，
∵点P在线段AB上，
∴S△APC＝S△ABC﹣S△BPC＝，
∵S△APC＝S△AOB，
∴＝10，
解得p＝，
∴点P坐标为（，）；

（3）设点P纵坐标为Py，
∵S△PBC＝S△AOB，点P是x轴上方的一个动点，
∴点P与点A纵坐标相同，
∴×8Py＝10，
解得Py＝，
作点B关于直线y＝的对称点B′，连接CB′，交直线y＝于点P，连接BP，

则BP+CP的最小值即为CB′的长，
∵点B坐标为（﹣5，0），
∴点B′坐标为（﹣5，5），
∴CB′＝＝，
∵点M的运动速度始终为每秒1个单位长度，
∴÷1＝（s），
∴t的最小值为．

【点评】本题考查了一次函数的综合题，涉及待定系数法求解析式，轴对称的性质，三角形面积等，本题综合性较强，熟练三角形求面积的方法是解题的关键．
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B．当x＞3时，y＜0；当x＜3时，y＞0．
（1）求k，b的关系式（用含b的代数式表示k）；
（2）若∠ABO＝60°．
①求直线l1的解析式；
②若直线l2：y＝mx+m与直线l1相交，且两条直线所夹的锐角为45°，求m的值．
【分析】（1）根据当x＞3时，y＜0；当x＜3时，y＞0，可得当x＝3时，y＝0，即A（3，0），即可得k，b的关系式为k＝﹣；
（2）①由A（3，0），∠ABO＝60°，可得B（0，），用待定系数法即可得直线l1的解析式为y＝﹣x+；②设直线l2与x轴交于D，连接BD，直线l1与直线l2交于C，分两种情况：当C在y轴左侧时，过C作CH⊥y轴于H，由y＝mx+m可得D（﹣1，0），即可得BD2+AB2＝AD2，故∠ABD＝90°＝∠DBC，从而△BCD是等腰直角三角形，由∠CBH＝∠ABO＝60°，可得C（﹣，+1），代入y＝mx+m得m＝﹣2﹣；当C在y轴右侧时，过C作CK⊥x轴于K，由△BDC是等腰直角三角形，有AC＝AB﹣BC＝2﹣2，而∠ABO＝60°，即可得C（，﹣1），代入y＝mx+m得m＝2﹣．
解：（1）∵当x＞3时，y＜0；当x＜3时，y＞0，
∴当x＝3时，y＝0，即A（3，0），
∴3k+b＝0，
∴k＝﹣，
∴k，b的关系式为k＝﹣；
（2）①如图：

由（1）知，A（3，0），
∵∠ABO＝60°，
∴∠BAO＝30°，
∴OB＝＝＝，
∴B（0，），
把A（3，0），B（0，）代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴直线l1的解析式为y＝﹣x+；
②设直线l2与x轴交于D，连接BD，直线l1与直线l2交于C，
当C在y轴左侧时，过C作CH⊥y轴于H，如图：

在y＝mx+m中，令y＝0得x＝﹣1，
∴D（﹣1，0），
∵A（3，0），B（0，），
∴AD＝4，AB＝2，BD＝2，
∴BD2+AB2＝AD2，
∴∠ABD＝90°＝∠DBC，
∵∠ACD＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BC＝BD＝2，
在Rt△BCH中，∠CBH＝∠ABO＝60°，
∴∠BCH＝30°，
∴BH＝BC＝1，CH＝BH＝，
∴C（﹣，+1），
把C（﹣，+1）代入y＝mx+m得：
﹣m+m＝+1，
解得m＝﹣2﹣；
当C在y轴右侧时，过C作CK⊥x轴于K，如图：

∵∠BCD＝45°，∠DBC＝90°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴BC＝BD＝2，
∵AB＝2，
∴AC＝AB﹣BC＝2﹣2，
∵∠ABO＝60°，
∴∠BAO＝30°，
在Rt△ACK中，
CK＝AC＝﹣1，AK＝CK＝3﹣，
∴OK＝OA﹣AK＝3﹣（3﹣）＝，
∴C（，﹣1），
把C（，﹣1）代入y＝mx+m得：
m+m＝﹣1，
解得m＝2﹣，
综上所述，两条直线所夹的锐角为45°，m的值为﹣2﹣或2﹣．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形的性质及应用，含30°角的直角三角形三边关系等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
23．如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为，求点M的坐标；
②连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．
【分析】（1）分别求出A、B、C三点坐标，用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）①设M（m，0），则P（m，m+2），Q（m，﹣m+2），求出PQ＝|m|，再由S△PQB＝×|m|×|m|＝，求出m的值后即可求M点坐标；
②分两种情况讨论：当点M在线段AO上时，利用角的关系推导出∠MBC＝90°，再由勾股定理得m2+4+20＝（4﹣m）2，求出m的值即可求点P的坐标；当点M在线段OC上时，同理可求P点的另一个坐标．
解：（1）在中，令x＝0得y＝2，
∴B（0，2），
令y＝0得x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），
∵点C与点A关于y轴对称，
∴C（4，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线BC的函数解析式为y＝﹣x+2；
（2）①设M（m，0），
∵PQ⊥x轴，
∴P（m，m+2），Q（m，﹣m+2），
∴PQ＝|m+2+m﹣2|＝|m|，
∴S△PQB＝×|m|×|m|＝，
解得m＝±，
∴M的坐标为（，0）或（﹣，0）；
②∵点M在线段AC上运动，
∴﹣4≤m≤4，
当点M在线段AO上时，如图：

∵点C与点A关于y轴对称，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BMP＝∠BAC，
∴∠BMP＝∠BCA，
∵∠BMP+∠BMC＝90°，
∴∠BMC+∠BCA＝90°，
∴∠MBC＝90°，
∴BM2+BC2＝MC2，
∴MC2＝（4﹣m）2，BM2＝m2+4，BC2＝20，
∴m2+4+20＝（4﹣m）2，
解得m＝﹣1，
∴P（﹣1，）；
当点M在线段OC上时，如图：

同理可得P（1，），
综上所述：点P的坐标为（﹣1，）或（1，）．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，勾股定理及应用等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．