湖北省襄阳市谷城县石花镇2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷 (含答案)

这是一份湖北省襄阳市谷城县石花镇2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷 (含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖北省襄阳市谷城县石花镇八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm
C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm
2．下列四个标志是关于安全警示的标志，在这些标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．已知三角形的三边的长依次为5，7，x，则x的取值范围是（　　）
A．5＜x＜7 B．2＜x＜7 C．5＜x＜12 D．2＜x＜12
4．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是带③去，能配到与原来形状、大小一样的玻璃的理由是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
5．如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC＝BD，BC，AD相交于点E，下列说法错误的是（　　）

A．AD＝BC B．∠DAB＝∠CBA C．△ACE≌△BDE D．AC＝CE
6．如图，∠1＝∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加一个条件是（　　）

A．AB＝AC B．BE＝EC C．AE＝AE D．∠C＝∠BAE
7．等腰三角形的周长为16，其一边长为6，那么它的底边长为（　　）
A．4或6 B．4 C．6 D．5
8．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，且CD⊥AB，垂足为D，若AB＝a，则BD等于（　　）
A． B． C． D．无法确定．
9．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（　　）

A．40° B．45° C．50° D．60°
10．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．如图∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD等于 　 　°．

12．一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形是 　 　边形．
13．如图，在△ABC中，CD是角平分线交AB于D，DE∥BC交AC于E，若DE＝3cm，AE＝3cm，则AC等于 　 　cm．

14．AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝3，AC＝5，则AD的取值范围是 　 　．
15．如图，将一张长方形纸片ABCD按图中那样折叠，若AE＝5，AB＝12，BE＝13，则重叠部分（阴影）的面积是 　 　．

16．在锐角△ABC中，AB＝AC，AB垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠B＝　 　．
三、解答题（共72分）
17．在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，求∠A，∠B，∠C的度数．
18．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，求这个多边形对角线的条数．
19．如图，△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝80°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．

20．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是10cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，求DE的长．

21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）连接BD，若AD＝5，BE＝2，求△BDE的面积．

22．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）连接CE，求证AD垂直平分CE．
（3）若AB＝10，AF＝6，求CF的长．

23．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．
（1）求证：BE＝AD；
（2）求∠BPQ的度数；
（3）若PQ＝3，PE＝1，求AD的长．

24．已知：如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，点D是直线BC上一点，连接AD，以AD为边作等边△ADE，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC的中点时，CE＝　 　；
（2）如图2，当点D在BC的延长线上时，求证：△ABD≌△ACE．
（3）在（2）的条件下探索AC，CD，CE三条线段的长度有何关系？并说明理由．

25．如图1，已知点P（2，2），点A在x轴正半轴上运动，点B在y轴负半轴上运动，且PA＝PB．
（1）求证：PA⊥PB；
（2）若点A（8，0），则点B的坐标为 　 　；
（3）如图2，若点B在y轴正半轴上运动，其他条件不变，求OA+OB的值．



参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm
C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm
【分析】结合“三角形中较短的两边之和大于第三边”，分别套入四个选项中的三边长，即可得出结论．
解：A、∵5+4＝9，9＝9，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
B、8+8＝16，16＞15，
∴该三边能组成三角形，故此选项正确；
C、5+5＝10，10＝10，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
D、6+7＝13，13＜14，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是：用较短的两边长相加与第三边作比较．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合三角形三边关系，代入数据来验证即可．
2．下列四个标志是关于安全警示的标志，在这些标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴可得答案．
解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
3．已知三角形的三边的长依次为5，7，x，则x的取值范围是（　　）
A．5＜x＜7 B．2＜x＜7 C．5＜x＜12 D．2＜x＜12
【分析】在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
解：5+7＝12，7﹣5＝2，
∴2＜x＜12．故选D．
【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
4．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是带③去，能配到与原来形状、大小一样的玻璃的理由是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形．
解：根据三角形全等的判定方法，根据角边角可确定一个全等三角形，
只有第三块玻璃包括了两角和它们的夹边，只有带③去才能配一块完全一样的玻璃，是符合题意的．
故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时要根据已知条件进行选择运用．
5．如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC＝BD，BC，AD相交于点E，下列说法错误的是（　　）

A．AD＝BC B．∠DAB＝∠CBA C．△ACE≌△BDE D．AC＝CE
【分析】可证明Rt△ABC≌Rt△BAD，可得出∠BAD＝∠ABC，根据等角对等边得出AE＝BE，进而得出△ACE≌△BDE．
【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴∠BAD＝∠ABC，AD＝BC，
∴AE＝BE，
又∵∠C＝∠D＝90°，∠AEC＝∠BED，
∴△ACE≌△BDE．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
6．如图，∠1＝∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加一个条件是（　　）

A．AB＝AC B．BE＝EC C．AE＝AE D．∠C＝∠BAE
【分析】根据题意，易得∠AEB＝∠AEC，又AE公共，所以根据全等三角形的判定方法容易寻找添加条件．
解：∵∠1＝∠2，
∴∠AEB＝∠AEC，
又AE公共边，
当AB＝AC时，无法证明△ABE≌△ACE，故A不符合题意；
当BE＝EC时，利用SAS证明△ABE≌△ACE，故B符合题意；
当AE＝AE时，无法证明△ABE≌△ACE，故C不符合题意；
当∠C＝∠BAE时，无法证明△ABE≌△ACE，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
7．等腰三角形的周长为16，其一边长为6，那么它的底边长为（　　）
A．4或6 B．4 C．6 D．5
【分析】此题分为两种情况：6是等腰三角形的底边或6是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
解：当腰为6时，则底边4，此时三边满足三角形三边关系；
当底边为6时，则另两边长为5、5，此时三边满足三角形三边关系；
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，解题的关键是能够分类讨论，难度不大．
8．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，且CD⊥AB，垂足为D，若AB＝a，则BD等于（　　）
A． B． C． D．无法确定．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠A、∠B、∠ACB度数，求出∠BCD度数，根据含30°角直角三角形性质求出BC、BD即可．
解：
∵在△ABC中，∠A：∠B：∠BCA＝1：2：3，∠A+∠B+∠BCA＝180°，
∴∠B＝60°，∠A＝30°，∠BCA＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD＝30°＝∠A，
∵AB＝a，
∴BC＝AB＝a，BD＝BC＝a，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和含30°角直角三角形性质，能灵活运用含30°角直角三角形性质进行计算是解此题的关键．
9．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（　　）

A．40° B．45° C．50° D．60°
【分析】利用等腰三角形的性质和基本作图得到CG⊥AB，则CG平分∠ACB，利用∠A＝∠B和三角形内角和计算出∠ACB，从而得到∠BCG的度数．
解：由作法得CG⊥AB，
∵AC＝BC，
∴CG平分∠ACB，∠A＝∠B，
∵∠ACB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BCG＝∠ACB＝50°．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了等腰三角形的性质．
10．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝CM+MD+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．
故选：C．

【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．如图∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD等于 　50　°．

【分析】根据三角形外角性质求出∠ACD，根据角平分线定义求出即可．
解：∵∠A＝60°，∠B＝40°，
∴∠ACD＝∠A+∠B＝100°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACD＝50°，
故答案为：50．
【点评】本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，能熟记三角形外角性质的内容是解此题的关键．
12．一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形是 　十二　边形．
【分析】根据多边形的内角和定理：180°•（n﹣2）求解即可．
解：由题意可得：180°•（n﹣2）＝150°•n，
解得n＝12．
故多边形是十二边形．
【点评】主要考查了多边形的内角和定理．n边形的内角和为：180°•（n﹣2）．此类题型直接根据内角和公式计算可得．
13．如图，在△ABC中，CD是角平分线交AB于D，DE∥BC交AC于E，若DE＝3cm，AE＝3cm，则AC等于 　6　cm．

【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得△EDC是等腰三角形，从而可得ED＝EC＝3cm，然后进行计算即可解答．
解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB，
∴∠EDC＝∠ACD，
∴ED＝EC＝3cm，
∵AE＝3cm，
∴AC＝AE+CD＝6cm，
故答案为：6．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可得等腰三角形是解题的关键．
14．AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝3，AC＝5，则AD的取值范围是 　1＜AD＜4　．
【分析】延长AD到E，使DE＝AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解．
解：如图，延长AD到E，使DE＝AD，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB＝3，
∵AC＝5，
∴5﹣3＜AE＜5+3，
即2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4，
故答案为：1＜AD＜4．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
15．如图，将一张长方形纸片ABCD按图中那样折叠，若AE＝5，AB＝12，BE＝13，则重叠部分（阴影）的面积是 　78　．

【分析】根据折叠的性质得到∠CBD＝∠EBD，根据AD∥BC可得∠CBD＝∠EDB，易得ED＝EB，然后根据三角形的面积公式进行计算即可．
解：∵长方形纸片ABCD按图中那样折叠，
∴∠CBD＝∠EBD，AD∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴ED＝EB，
∵AE＝5，AB＝12，BE＝13，
∴DE＝13，
∴重叠部分的面积＝DE•AB＝13×12＝78．
故答案为：78．
【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，三角形的面积公式，解决本题的关键是掌握折叠的性质．
16．在锐角△ABC中，AB＝AC，AB垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠B＝　70°　．
【分析】根据题意画出图形，求出∠BAC的度数，求出∠B＝∠ACB，根据三角形内角和定理求出即可．
解：如图1，当点D在线段AC上时，

∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠DEA＝90°，
∵∠EDA＝50°，
∴∠A＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠B＝70°．
故答案为：70°．
【点评】本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的应用，关键是求出∠BAC的度数和得出∠B＝∠ACB．
三、解答题（共72分）
17．在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，求∠A，∠B，∠C的度数．
【分析】根据三角形的内角和定理可知，∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝100°，根据∠C＝2∠B＝100°，即可求出∠B＝50°，进而求出∠A＝30°．
解：∵∠A+∠B＝80°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝100°，
∵∠C＝2∠B，
∴∠C＝2∠B＝100°，
∴∠B＝50°，
∴∠A＝30°．
即∠A，∠B，∠C的度数分别为30°，50°，100°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用内角和定理列出等式解题．
18．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，求这个多边形对角线的条数．
【分析】由n边形的对角线条数是，即可求解．
解：设这个多边形的边数是n，
由题意得：（n﹣2）×180°＝360°×2+180°，
∴n＝7，
∴这个多边形对角线的条数是＝＝14．
【点评】本题考查多边形的有关知识，关键是掌握n边形的对角线条数是．
19．如图，△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝80°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．

【分析】利用角平分线定义可得∠BAE＝∠CAE＝∠CAB＝40°，∠ABO＝∠ABC＝20°，再由三角形的高可得∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°，即可得出∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝40°﹣30°＝10°，运用三角形内角和定理即可求得∠BOA．
解：∵AE平分∠CAB，∠CAB＝80°，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠CAB＝40°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝40°﹣30°＝10°，
∵∠CAB＝80°，∠C＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣（∠CAB+∠C）＝180°﹣（80°+60°）＝40°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠ABC＝20°，
∴∠BOA＝180°﹣（∠ABO+∠BAE）＝180°﹣（20°+40°）＝120°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形的高．关键是利用角平分线的性质解出∠BAE、∠CAE、∠ABO，再运用三角形内角和定理求出∠BOA．
20．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是10cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，求DE的长．

【分析】利用角平分线的性质可得DE＝DF，然后根据△ABC的面积＝△ABD的面积+△ADC的面积，进行计算即可解答．
解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵△ABC的面积是10cm2，
∴△ABD的面积+△ADC的面积＝10，AB＝6cm，AC＝4cm，
∴AB•DE+AC•DF＝10，
∴3DE+2DF＝10，
∴5DE＝10，
∴DE＝2cm，
∴DE的长为2cm．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）连接BD，若AD＝5，BE＝2，求△BDE的面积．

【分析】（1）求出∠BEC＝∠CDA＝90°，∠BCE＝∠CAD，根据全等三角形的判定定理AAS推出即可；
（2）根据全等三角形的性质及线段的和差得出DE＝3，BE＝2，根据三角形面积公式求解即可．
【解答】（1）证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠BEC＝∠CDA＝90°，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°
∴∠BCE＝∠CAD，
在△BEC和△CDA中，
，
∴△BEC≌△CDA（AAS）；
（2）解：如图，

∵△BEC≌△CDA，AD＝5，BE＝2，
∴CE＝AD＝5，BE＝CD＝2，
∴DE＝CE﹣CD＝3，
∴△BDE的面积＝DE•BE＝×3×2＝3．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用AAS证明△BEC≌△CDA是解题的关键．
22．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）连接CE，求证AD垂直平分CE．
（3）若AB＝10，AF＝6，求CF的长．

【分析】（1）利用角平分线的性质可得DC＝DE，再利用“HL”证明Rt△DCF≌Rt△DEB，即可证明CF＝EB；
（2）利用“HL“证明Rt△ACD≌Rt△AED，可得AC＝AE，所以点A在CE的垂直平分线上，根据DC＝DE，可得点D在CE的垂直平分线上，进而可以解决问题；
（3）设CF＝BE＝x，则AE＝AB﹣BE＝10﹣x＝AC＝AF+FC＝6+x，即可建立方程求解．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝90°，
又AD平分∠BAC，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），
∴CF＝EB．
（2）证明：在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE．
∴点A在CE的垂直平分线上，
∵DC＝DE，
∴点D在CE的垂直平分线上，
∴AD垂直平分CE；
（3）解：设CF＝BE＝x，

∵AB＝10，AF＝6，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣x，AC＝AF+FC＝6+x，
∵AE＝AC，
∴10﹣x＝6+x，
解得：x＝8．
∴CF＝8．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，在图形中找到正确的全等三角形以及熟悉以上性质与判定是关键．
23．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．
（1）求证：BE＝AD；
（2）求∠BPQ的度数；
（3）若PQ＝3，PE＝1，求AD的长．

【分析】（1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得∠BPQ＝60°；
（3）利用（2）的结果求得∠PBQ＝30°，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到2PQ＝BP＝6，则易求BE＝BP+PE＝7．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°，
在△AEB与△CDA中，
，
∴△AEB≌△CDA（SAS），
∴BE＝AD；

（2）解：由（1）知，△AEB≌△CDA，则∠ABE＝∠CAD，
∴∠BAD+∠ABD＝∠BAD+∠CAD＝∠BAC＝60°，
∴∠BPQ＝∠BAD+∠ABD＝60°；

（3）解：如图，由（2）知∠BPQ＝60°．
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝30°，
∴PQ＝BP＝3，
∴BP＝6
∴BE＝BP+PE＝7，即AD＝7．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
24．已知：如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，点D是直线BC上一点，连接AD，以AD为边作等边△ADE，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC的中点时，CE＝　3　；
（2）如图2，当点D在BC的延长线上时，求证：△ABD≌△ACE．
（3）在（2）的条件下探索AC，CD，CE三条线段的长度有何关系？并说明理由．

【分析】（1）证明△ABD≌△ACE（SAS），即可求解；
（2）由△ABC和△ADE都是等边三角形，则∠BAC＝∠DAE＝60°，得到∠BAD＝∠CAE，进而求解；
（3）由△ABD≌△ACE，得到BD＝CE，进而求解．
【解答】（1）解：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°．
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
在等边三角形中，
∵D是BC的中点，则CE＝BD＝BC＝AB＝3，
故答案为：3；

（2）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°．
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；

（3）解：AC、CD、CE之间存在的数量关系是：AC＝CE﹣CD．
由（2）知△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
∴CE﹣CD＝BD﹣CD＝BC＝AC，
∴AC＝CE﹣CD．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
25．如图1，已知点P（2，2），点A在x轴正半轴上运动，点B在y轴负半轴上运动，且PA＝PB．
（1）求证：PA⊥PB；
（2）若点A（8，0），则点B的坐标为 　（0，﹣4）　；
（3）如图2，若点B在y轴正半轴上运动，其他条件不变，求OA+OB的值．

【分析】（1）过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，根据点P的坐标可得PE＝PF＝2，然后利用“HL”证明Rt△APE和Rt△BPF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠APE＝∠BPF，然后求出∠APB＝∠EPF＝90°，即可证明结论；
（2）求出AE的长度，再根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，然后求出OB，再写出点B的坐标即可；
（3）过点P作PG⊥x轴于G，作PH⊥y轴于H，证明Rt△APG≌Rt△BPH（HL），得AG＝BH，而AG＝OA﹣OG＝OA﹣2，BH＝OH﹣OB＝2﹣OB，即得OA﹣2＝2﹣OB，从而OA+OB＝4．
【解答】（1）证明：过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，如图：

∵P（2，2），
∴PE＝PF＝2，
在Rt△APE和Rt△BPF中，
，
∴Rt△APE≌Rt△BPF（HL），
∴∠APE＝∠BPF，
∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝∠BPF+∠BPE＝∠EPF＝90°，
∴PA⊥PB；
（2）解：∵∠PFO＝∠FOE＝∠PEO＝90°，PE＝PF，
∴四边形OEPF是正方形，
∴OE＝OF＝2，
∵A（8，0），
∴OA＝8，
∴AE＝OA﹣OE＝8﹣2＝6，
由（1）知Rt△APE≌Rt△BPF，
∴AE＝BF＝6，
∴OB＝BF﹣OF＝6﹣2＝4，
∴点B的坐标为（0，﹣4）；
故答案为：（0，﹣4）；
（3）解：过点P作PG⊥x轴于G，作PH⊥y轴于H，如图：

∵P（2，2），
∴PG＝PF＝2，
在Rt△APG和Rt△BPH中，

∴Rt△APG≌Rt△BPH（HL），
∴AG＝BH，
∵AG＝OA﹣OG＝OA﹣2，BH＝OH﹣OB＝2﹣OB，
∴OA﹣2＝2﹣OB，
∴OA+OB＝4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，熟练掌握三角形全等的判断方法是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形．