2022-2023学年湖北省襄阳市樊城区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省襄阳市樊城区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B.  C. ，， D. ，，

2.  如图，在平面直角坐标系中▱的顶点，，的坐标分别是，，，则点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  菱形的两条对角线的长分别是和，则菱形的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，正方形的边长为，为上一点，连接，于点，连接，若，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度，按的顺序在边上匀速运动，设点的运动时间为，的面积为，关于的函数图象如图所示当点运动到的中点时，的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知四边形的对角线交于点，下列哪组条件能判断四边形是平行四边形(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

7.  依据所标数据度为所在角的度数，数字为所在边的长度，下列平行四边形不一定是菱形的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图单位：，等腰直角以的速度沿直线向正方形移动，直到与重合，当运动时间为时，与正方形重叠部分的面积为，下列图象中能反映与的函数关系的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，在正方形中，点，分别在边，上，点是的中点，连接，若，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，正方形的边，分别在轴，轴上，点，分别在，上，是等边三角形，连接，交于点若，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

11.  如图，点是正方形中延长线上一点，连接，点是的中点，连接，若，，则的长为______ ．

12.  如图，在中，，，，是斜边上的动点，连接，于点，连接则的最小值是______ ．

13.  如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线交于点，过作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为按此规律，则点的纵坐标为______ ．

14.  在平面直角坐标系中，以任意两点，为端点的线段的中点坐标为在直角坐标系中，有，，三点，另有一点与，，构成平行四边形的顶点，则点的坐标为______ ．

15.  如图，中，是角平分线，是中线，于，，，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
如图，为矩形的对角线的中点，过作分别交，于点，．
求证：四边形是菱形；
若，，求菱形的面积．

17.  本小题分
如图，在平行四边形中，于点，延长至点，使得，连接，．
求证：平行且等于；
求证：四边形是矩形；
若，，，求的长．

18.  本小题分
计算：
；
．

19.  本小题分
已知，，求的值．

20.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，与直线：交于点，．
求直线的解析式；
连接、，若直线上存在一点，使得，求点的坐标；
将直线向下平移个单位长度得到直线，直线与轴交于点，点为直线上的一点，在平面直角坐标系中，是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线过点，与轴交于点，点是轴上方一个动点．
求直线的函数表达式；
若点在线段上，且，求点的坐标；
当时，动点从点出发，先运动到点，再从点运动到点后停止运动点的运动速度始终为每秒个单位长度，运动的总时间为秒，请直接写出的最小值．

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点当时，；当时，．
求，的关系式用含的代数式表示；
若．
求直线的解析式；
若直线：与直线相交，且两条直线所夹的锐角为，求的值．

23.  本小题分
如图，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称．
求直线的函数解析式；
设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点．
若的面积为，求点的坐标；
连接，如图，若，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、因为，不能构成直角三角形，此选项不符合题意；
B、因为，不能构成直角三角形，此选项不符合题意；
C、因为，不能构成直角三角形，此选项不符合题意；
D、因为，能构成直角三角形，此选项符合题意．
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 

2.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，即轴，
，，的坐标分别是，，，
，点与点的纵坐标相等，都为，
点的横坐标为，
点的坐标为，
故选：．
根据坐标与图形性质以及平行四边形的性质求解即可．
本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形，熟练掌握坐标与图形的性质是解答的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：菱形的两条对角线的长分别为和，
面积为，
故选：．
根据菱形的面积公式即可求解．
本题主要考查菱形的面积，解题的关键是熟知菱形的面积等于对角线乘积的一半．
 

4.【答案】 

【解析】解：作于点，则，
于点，
，
四边形是边长为的正方形，
，，
，
，，
，
，
，
，
的面积为，
故选：．
作于点，根据勾股定理求得，由，得，则，所以，即可求得的面积为．
此题重点考查正方形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、三角形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线并且求得是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意得：四边形是梯形，
当点从运动到处需要秒，则，面积为，
则，
根据图象可得当点运动到点时，面积为，
则，则运动时间为秒，
，
设当时，函数解析式为，
，
解得，
当时，函数解析式为，
当运动到中点时时间，
则，
故选：．
首先结合图形和函数图象判断出的长和的长，进而可得的长，从而可得点坐标，然后再计算出当时直线解析式，然后再代入的值计算出即可．
本题主要考查了动点问题的函数图象、三角形面积公式，利用数形结合的思想方法是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、由，，不能判定四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由，，不能判定四边形是平行四边形，故选项B不符合题意；
，由，，不能判定四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、，，
，，
，
四边形是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：．
由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定，掌握平行四边形的判定是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：平行四边形的一个角为，不能确定边的长度，不一定是菱形，该选项符合题意；
四边形是平行四边形，
B.因为，对角线相互垂直，因为对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以该选项正确，不符合题意；
对边相等，故B不一定是菱形；
C.平行四边形对边平行，又邻边相等，所以平行四边形的四边相等，一定是菱形，所以该选项正确，不符合题意；
D.由图可知平行边四形的邻边相等，所以平行四边形的四边相等，一定是菱形，所以该选项正确，不符合题意；
故选：．
根据菱形的判定解答即可．
此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，解答本题的关键是根据菱形的判定方法解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，当时，重叠部分为三角形，面积，
如图，当时，重叠部分为梯形，面积，
图象为两段二次函数图象，
纵观各选项，只有选项符合．
故选：．
分别求出时与时的函数解析式，然后根据相应的函数图象找出符合条件的选项即可
本题考查了动点问题的函数图象，判断出重叠部分的形状并求出相应的函数关系式是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，连接、、、，

四边形是正方形，
，，，
，
点是的中点，
，
，
，
≌，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
即，
≌，
，，
，
是等边三角形，
，
点是的中点，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
．
故选：．
如图，过点作于，连接、、、，由正方形性质可得：，，，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得：，进而可证得≌，可推出是等边三角形，得出：，，再由等腰三角形性质可得，再证明≌，推出是等边三角形，得出，再由是等腰直角三角形，得出，即可求得答案．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键，是一道常见的中考数学选择题压轴题．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，

四边形是正方形，
，，，
是等边三角形，
，
≌，
，
，
即，
，，
，
，
是等边三角形，，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
点的坐标为．
故选：．
如图，过点作于，利用正方形性质和等边三角形性质可证得≌，得出，推出，利用等腰直角三角形性质和等边三角形性质即可求得答案．
本题考查了正方形的性质，等边三角形性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，知识点较多，综合性强，是常考题型，熟练掌握相关性质是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：过作分别交、于，，则四边形为矩形，
，，，
四边形是正方形，
，，
是的中点，
，
在与中，
，
≌，
，，
在中，，
，，
，
，
在中，，
故答案为：．
根据正方形的性质得出，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质和勾股定理解答即可．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的四边相等和勾股定理解答．
 

12.【答案】 

【解析】解：取中点，连接，，
，
，
，
，，，
，
，
的最小值是．
故答案为：．
取中点，连接，，由直角三角形的性质求出的长，由勾股定理求出的长，由三角形的三边关系即可求出的最小值．
本题考查直角三角形斜边的中线，三角形三边的关系，勾股定理，关键是通过作辅助线构造，应用三角形的三边关系定理求的最小值．
 

13.【答案】 

【解析】解：联立直线与直线的表达式并解得：，，故A；
则点，则直线的表达式为：，
将点坐标代入上式并解得：直线的表达式为：，
将表达式与直线的表达式联立并解得：，，即点的纵坐标为；
同理可得的纵坐标为，
按此规律，则点的纵坐标为，
故答案为：．
联立直线与直线的表达式并解得：，，故A，依次求出：点的纵坐标为、的纵坐标为，即可求解．
本题考查了两直线的交点，要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与二元一次方程组之间的内在联系．
 

14.【答案】或或 

【解析】解：如图，分三种情况：

当为对角线，，时，
，，，
把向左平移个单位，再向下平移个单位，得点坐标为，
当为对角线，，时，
，，，，
由线段中点坐标公式得：的坐标为；
当为对角线，，时，
由线段中点坐标公式得的坐标为；
综上所述，符合要求的点的坐标为或或，
故答案为：或或．
分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别由平行四边形的判定以及中点坐标公式即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、坐标与图形性质以及分类讨论等知识，熟练掌握平行四边形的判定和中点坐标公式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图所示，延长交于点，

中，是角平分线，
，
，
，
又，
≌，
，，
则，
又是中线，则，
是的中位线，
，
故答案为：．
延长交于点，证明为的中点，进而根据三角形中位线的性质即可求解．
本题考查了中位线的性质与判定，掌握三角形中位线的性质与判定是解题的关键．
 

16.【答案】证明：点是的中点，，
是的垂直平分线，
，，，
四边形是矩形，
，
．
在和中，
，
≌，
，
，
四边形为菱形．
解：设，则，
四边形是矩形，
．
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，，
即，
，
菱形的面积矩形的面积的面积的面积． 

【解析】根据线段垂直平分线的性质，可得，，，然后由四边形是矩形，易证得≌，则可得，继而证得结论；
由勾股定理可求，的长，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，证得≌是关键．
 

17.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
即平行且等于；
证明：由知，，；
四边形是平行四边形，
又，
，
平行四边形是矩形；
解：四边形是平行四边形，
，
，，
，
是直角三角形，，
的面积，
，
由得：，四边形是矩形，
，． 

【解析】由平行四边形的性质得，，再由，得，；
证得四边形是平行四边形，再证，即可得出结论；
由勾股定理的逆定理证是直角三角形，，再由面积法求出，然后由矩形的性质求解即可．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】先化为最简二次根式，再利用二次根式加减法的运算法则计算求解；
利用二次根式乘除法的运算法则计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
 

19.【答案】解：，，
，，
． 

【解析】先求、的值，再整体代入计算即可．
本题考查了二次根式的化简求值，掌握运算法则是解题的关键．
 

20.【答案】解：直线与轴、轴分别交于点、点，
令，则，
点为，
，
，
点为，点为，
设直线的解析式为；
，
，
直线的解析式为；
解：在中，令，则，
点为，
，
解得，
点的坐标为；
；
点在直线上，则设点为，则
当点在点的下方时，如图：
，点的坐标为，
，
，
，
，
解得：，
，
点的坐标为；
当点在点的上方时，如图：
，
，

解得：，
，
点的坐标为；
综合上述，点的坐标为或；
解：直线向下平移个单位长度得到直线，
直线为，
令，则，
点的坐标为，
即；
当作为矩形的边时，如图：

点的坐标为，
点的坐标为；
当作为矩形的对角线时，如图：

点的坐标为，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形是正方形，
，，
，
点的坐标为；
综合上述，则点的坐标为或； 

【解析】先求出，然后求出点和点的坐标，利用待定系数法，即可求出解析式；
先求出点和点的坐标，然后求出四边形的面积，然后分类讨论：当点在点的下方时；当点在点的上方时；分别求出三角形的面积，即可求出点的坐标；
先求出直线为，然后得到，然后分情况进行分析：当作为矩形的边时；当作为矩形的对角线时；分别求出两种情况的点的坐标即可．
本题考查了矩形的性质，一次函数的图象和性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出图形，从而运用分类讨论的思想进行解题．
 

21.【答案】解：点在轴上，直线过点，
点坐标为，
将点和点代入直线，
得，
解得，
直线的函数表达式为；

设点坐标为，
令，得，
点坐标为，
点，点，
，，，
，
点在线段上，
，
，
，
解得，
点坐标为；

设点纵坐标为，
，点是轴上方的一个动点，
点与点纵坐标相同，
，
解得，
作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，连接，

则的最小值即为的长，
点坐标为，
点坐标为，
，
点的运动速度始终为每秒个单位长度，
，
的最小值为． 

【解析】先根据直线过点，求出点坐标，再利用待定系数法求直线的函数表达式即可；
设点坐标为，先求出点坐标，再求出的面积，表示出的面积，根据，列方程求解即可；
根据，点是轴上方的一个动点，可知点在直线上运动，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，连接，则的最小值即为的长，求出的长度，进一步可得的最小值．
本题考查了一次函数的综合题，涉及待定系数法求解析式，轴对称的性质，三角形面积等，本题综合性较强，熟练三角形求面积的方法是解题的关键．
 

22.【答案】解：当时，；当时，，
当时，，即，
，
，
，的关系式为；
如图：

由知，，
，
，
，
，
把，代入得：
，
解得，
直线的解析式为；
设直线与轴交于，连接，直线与直线交于，
当在轴左侧时，过作轴于，如图：

在中，令得，
，
，，
，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
，
，，
，
把代入得：
，
解得；
当在轴右侧时，过作轴于，如图：

，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
在中，
，，
，
，
把代入得：
，
解得，
综上所述，两条直线所夹的锐角为，的值为或． 

【解析】根据当时，；当时，，可得当时，，即，即可得，的关系式为；
由，，可得，用待定系数法即可得直线的解析式为；设直线与轴交于，连接，直线与直线交于，分两种情况：当在轴左侧时，过作轴于，由可得，即可得，故，从而是等腰直角三角形，由，可得，代入得；当在轴右侧时，过作轴于，由是等腰直角三角形，有，而，即可得，代入得．
本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形的性质及应用，含角的直角三角形三边关系等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
 

23.【答案】解：在中，令得，
，
令得，
，
点与点关于轴对称，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的函数解析式为；
设，
轴，
，，
，
，
解得，
的坐标为或；
点在线段上运动，
，
当点在线段上时，如图：

点与点关于轴对称，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
解得，
；
当点在线段上时，如图：

同理可得，
综上所述：点的坐标为或 

【解析】分别求出、、三点坐标，用待定系数法求函数的解析式即可；
设，则，，求出，再由，求出的值后即可求点坐标；
分两种情况讨论：当点在线段上时，利用角的关系推导出，再由勾股定理得，求出的值即可求点的坐标；当点在线段上时，同理可求点的另一个坐标．
本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，勾股定理及应用等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．