2023-2024学年湖北省襄阳市谷城县石花镇九年级上学期期中数学试卷（含解析）

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A．1或﹣4B．﹣1或﹣4C．﹣1或4D．1或4
2．（3分）一元二次方程x2﹣4x+4＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
3．（3分）解一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0，用配方法可变形为（ ）
A．（x+4）2＝11B．（x﹣4）2＝11C．（x+4）2＝21D．（x﹣4）2＝21
4．（3分）若二次函数y＝x2+mx的对称轴是直线x＝3，则关于x的方程x2+mx＝7的解为（ ）
A．x1＝0，x2＝6B．x1＝1，x2＝7
C．x1＝1，x2＝﹣7D．x1＝﹣1，x2＝7
5．（3分）如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，5）（ ）
A．（2，5）B．（5，2）C．（2，﹣5）D．（5，﹣2）
6．（3分）如所示图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向右平移3个单位，再向上平移5个单位，得到新抛物线的函数解析式为（ ）
A．y＝x2+3B．y＝（x﹣6）2+3
C．y＝x2﹣7D．y＝（x﹣6）2﹣7
8．（3分）在坐标系中，▱ABCD的对角线交于原点O，若A（﹣2，3）（ ）
A．（3，﹣2）B．（2，﹣3）C．（﹣3，2）D．（﹣2，﹣3）
9．（3分）如图，将Rt△ABC（其中∠B＝35°，∠C＝90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A．55°B．70°C．125°D．145°
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：
①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二.填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则2m2﹣4m＝ ．
12．（3分）有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给 个人．
13．（3分）若点M（a﹣1，﹣4）与点N（﹣3，1﹣b）关于原点中心对称，则（a+b）2023＝ ．
14．（3分）汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t（秒）的函数关系是s＝15t﹣6t2，汽车从刹车到停下来所用时间是 秒．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，使CC′∥AB，则旋转角的度数为 度．
16．（3分）关于x的函数y＝ax2﹣2x+1与x轴有唯一交点，则a的值是 ．
三.解答题（共8题，72分）
17．（8分）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2＝0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根x1、x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝﹣4，求k的值​．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，﹣4）（0，﹣4）、C（1，﹣1）
（1）画出△ABC绕O点逆时针旋转90°后的图形△A1B1C1，并写出C1的坐标；
（2）将（1）中所得△A1B1C1先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，则C2（ ， ）
（3）若△A2B2C2可以看作△ABC绕某点旋转得来，则旋转中心的坐标为 ．
20．（8分）新农村建设有效促进了乡村旅游业的发展，某镇2018年实现旅游收入1500万元，到2020年该项收入达到2160万元，每年旅游收入的年增长率相同．
（1）求旅游收入的年增长率；
（2）若该镇旅游收入的年增长率保持不变，预计2021年旅游收入达到多少万元？
21．（8分）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，连接DE，过点A作AG∥CF交DE于点G．
（1）将△ADG绕点D逆时针旋转，使得AD与CD重合，记此时点G的对应点为点G′，求点G′与旋转前的图中点F之间的距离；
（2）猜想线段CF、AG、FG之间满足的等量关系，并证明．
​
22．（10分）某商场销售一种成本为每件20元的商品，销售过程中发现，每月销售量y（件）（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500．
（1）设商场销售该种商品每月获得利润为w（元），写出w与x之间的函数关系式；
（2）如果商场想要销售该种商品每月获得2000元的利润，那么每月成本至少多少元？
（3）为了保护环境，政府部门要求用更加环保的新产品替代该种商品，商场若销售新产品，新产品为每件22元，同时对商场的销售量每月不小于150件的商场，试求定价多少时，新产品每月可获得销售利润最大？并求最大利润．
23．（10分）（1）探究发现：下面是一道例题及其解答过程，请补充完整：
如图1，在等边△ABC内部有一点P，若∠APB＝150°．
求证：AP2+BP2＝CP2．
证明：将△APC绕A逆时针旋转60°得到△AOB，连接PO．
∴∠PAO＝60°，PA＝AO，PC＝ ．
∴△APO为等边三角形．
∵∠APO＝60°，PA＝PO．
∵∠APB＝150°，
∴∠BPO＝90°，
∴OP2+PB2＝ ．即PA2+PB2＝PC2．
（2）类比延伸：如图2，在等腰△ABC中，∠BAC＝90°，若∠APB＝135°，试判断线段PA，PC之间的数量关系，并证明；
（3）联想拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝120°，点P在直线AB的上方，且∠APB＝60°（kPA）2+PB2＝PC2，请直接写出k的值．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+3经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线向下平移m个单位，若与直线BC有两个交点，求m的取值范围；
（3）若点P是第一象限抛物线上的一点，PF⊥轴于F，交直线BC于点E，求点P的横坐标n的取值范围．
2023-2024学年湖北省襄阳市谷城县石花镇九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共30分）.
1．【答案】A
【解答】解：∵x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2＝3的一个根，
∴（﹣2）2+a×（﹣2）﹣a3＝0，即a2+5a﹣4＝0，
整理，得（a+6）（a﹣1）＝0，
解得 a7＝﹣4，a2＝4．
即a的值是1或﹣4．
故选：A．
2．【答案】B
【解答】解：在方程x2﹣4x+7＝0中，
Δ＝（﹣4）7﹣4×1×8＝0，
∴该方程有两个相等的实数根．
故选：B．
3．【答案】D
【解答】解：∵x2﹣8x＝6，
∴x2﹣8x+16＝8+16，即（x﹣4）2＝21，
故选：D．
4．【答案】D
【解答】解：∵二次函数y＝x2+mx的对称轴是直线x＝3，
∴﹣＝3，
∴关于x的方程x2+mx＝2可化为x2﹣6x﹣5＝0，即（x+1）（x﹣4）＝01＝﹣2，x2＝7．
故选：D．
5．【答案】B
【解答】解：∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，
∴△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′＝90°，
∴AO＝A′O．
作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，
∴∠ACO＝∠A′C′O＝90°．
∵∠COC′＝90°，
∴∠AOA′﹣∠COA′＝∠COC′﹣∠COA′，
∴∠AOC＝∠A′OC′．
在△ACO和△A′C′O中，
，
∴△ACO≌△A′C′O（AAS），
∴AC＝A′C′，CO＝C′O．
∵A（﹣2，5），
∴AC＝3，CO＝5，
∴A′C′＝2，OC′＝7，
∴A′（5，2）．
故选：B．
6．【答案】A
【解答】解：选项B、C、D的图形不都能找到一个点，所以不是中心对称图形．
选项A的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合．
故选：A．
7．【答案】B
【解答】解：将抛物线y＝（x﹣3）2﹣6向右平移3个单位，再向上平移5个单位3﹣2+5，即y＝（x﹣8）2+3；
故选：B．
8．【答案】B
【解答】解：
如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线交于原点O，
∴点A与点C关于原点O对称，
∵点A（﹣2，3），
∴点C（3，﹣3），
故选：B．
9．【答案】C
【解答】解：∵∠B＝35°，∠C＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣35°＝55°，
∵点C、A、B1在同一条直线上，
∴∠BAB′＝180°﹣∠BAC＝180°﹣55°＝125°，
∴旋转角等于125°．
故选：C．
10．【答案】B
【解答】解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∴ac＜7，结论①正确；
②∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝5，
∴b＝﹣2a，
∵抛物线经过点（﹣1，6），
∴a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝4，即3a+c＝0；
③∵抛物线与x轴由两个交点，
∴b8﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，结论③正确；
④∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x＝7，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小；
故选：B．
二.填空题（每小题3分，共18分）
11．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵m是关于x的方程x2﹣2x﹣6＝0的一个根，
∴m2﹣8m﹣3＝0，
∴m7﹣2m＝3，
∴7m2﹣4m＝5，
故答案为：6．
12．【答案】见试题解答内容
【解答】解：设每轮传染中平均每个人传染了x人．
依题意得1+x+x（1+x）＝100，
∴x5+2x﹣99＝0，
∴x＝2或x＝﹣11（不合题意，舍去）．
所以，每轮传染中平均一个人传染给9个人．
故填空答案：9．
13．【答案】1．
【解答】解：∵点M（a﹣1，﹣4）与点N（﹣7，
∴a﹣1＝3，3﹣b＝4，
解得a＝4，b＝﹣3，
所以（a+b）2023＝[4+（﹣3）]2023＝22023＝1．
故答案为：1．
14．【答案】1，25．
【解答】解：∵s＝15t﹣6t2，
＝﹣7（t﹣1.25）2+4.375，
∵﹣6＜0，
∴当t＝7.5秒时，s取得最大值．
故答案为：1.25．
15．【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，∵CC′∥AB，
∴∠ACC′＝∠CAB＝65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC＝AC′，
∴∠CAC′＝180°﹣2∠ACC′＝180°﹣2×65°＝50°，
∴∠CAC′＝∠BAB′＝50°
故答案为：50．
16．【答案】1或0．
【解答】解：①函数为二次函数，y＝ax2﹣2x+8（a≠0），
∴Δ＝4﹣8a＝0，
∴a＝1，
②函数为一次函数，
∴a＝5，
∴a的值为1或0；
故答案为3或0．
三.解答题（共8题，72分）
17．【答案】（1）a＜3；
（2）a的值为﹣1，另一根为﹣3．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＝22﹣4×4×（a﹣2）＝12﹣4a＞6，
解得：a＜3，
则a的取值范围是a＜3；
（2）设方程的另一根为x2，由根与系数的关系得：
，
解得：，
∴a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．
18．【答案】（1）k＜；
（2）k＝﹣．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+3k﹣4＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝72﹣4（4k﹣4）＞0，
解得：k＜；
（2）∵x1、x2是方程x2+2x+4k﹣4＝0的实数根，
∴x6+x2＝﹣2，x8x2＝2k﹣6，
∵（x1﹣1）（x5﹣1）＝﹣4，
∴x8x2﹣（x1+x6）+1＝﹣4，
∴8k﹣4+2+6＝﹣4，
解得k＝﹣．
19．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）△A1B1C2如图所示，C1（1，8）；
（2）△A2B2C2如图所示；
故答案为：﹣3，3．
（3）如图所示，旋转中心为P（﹣7．
故答案为：（﹣3，﹣1）．
20．【答案】（1）20%；
（2）2592万元．
【解答】解：（1）设旅游收入的年增长率为x，
依题意得：1500（1+x）2＝2160，
解得：x2＝0.2＝20%，x3＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：旅游收入的年增长率为20%．
（2）2160×（3+20%）＝2592（万元）．
答：预计2021年旅游收入达到2592万元．
21．【答案】（1）3；
（2）CF＝AG+FG．证明见解析．
【解答】解：（1）如图，连接FG'，
在正方形ABCD中，AD＝DC，
∵CF⊥DE，
∴∠CFD＝∠CFG＝90°，
∵AG∥CF，
∴∠AGD＝∠CFG＝90°，
∴∠AGD＝∠CFD，
又∵∠ADG+∠CDE＝∠ADC＝90°，
∠DCF+∠CDE＝90°，
∴∠ADG＝∠DCF，
由旋转可知，∠ADG＝∠CDG'＝∠DCF，
∴CF∥DG'，
∴∠G'CF＝90°，
∴四边形DFCG'是矩形，
∴FG'＝CD＝3；
（2）CF＝AG+FG．
证明：由（1）可知∠ADG＝∠DCF，
在△DCF和△ADG中，
，
∴△DCF≌△ADG（AAS），
∴DF＝AG，CF＝DG，
∴CF＝DG＝DF+FG＝AG+FG．
22．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意，得：w＝（x﹣20）•y，
＝（x﹣20）•（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000，
（2）由题意，得：﹣10x2+700x﹣10000＝2000，
解这个方程得：x8＝30，x2＝40，
当x＝30时，成本为20×（﹣10×30+500）＝4000元
当x＝40时，成本为20×（﹣10×40+500）＝2000元
答：想要每月获得2000元的利润，每月成本至少2000元．
（3）①当销售量每月不小于150件时，即﹣10x+500≥150，
解得：x≤35，
由题意，得：
w＝（x﹣22+3）•y
＝（x﹣19）•（﹣10x+500）
＝﹣10x6+690x﹣9500
＝﹣10（x﹣34.5）2+2402.5
∴当定价34.5元时，新产品每月可获得销售利润最大值是2402.5元．
②销售量每月小于150时，﹣10x+500＜150，
解得x＞35，
由题意w＝（x﹣22）（﹣10x+500）＝﹣10（x﹣36）8+1960，
∵﹣10＜0，
∴x＝36时，w的最大值为1960，
∵2402.5＞1960，
∴当定价34.6元时，新产品每月可获得销售利润最大值是2402.5元．
23．【答案】（1）OB，OB2；
（2）2PA2+PB2＝PC2，证明见解析；
（3）k＝±．
【解答】解：（1）证明：将△APC绕A逆时针旋转60°得到△AOB，连接PO．
∴∠PAO＝60°，PA＝AO．
∴△APO为等边三角形．
∵∠APO＝60°，PA＝PO．
∵∠APB＝150°，
∴∠BPO＝90°，
∴OP2+PB2＝OB7．即PA2+PB2＝PC2．
故答案为：OB，OB2；
（2）关系式为：2PA8+PB2＝PC2．
证明：如图8：将△APC绕A点逆时针旋转90°，得到△AP′B，
则△APP′为等腰直角三角形，
∴∠APP′＝45°，PP′＝，PC＝P′B，
∵∠APB＝135°，
∴∠BPP′＝90°，
∴P′P2+BP4＝P′B2，
∴2PA5+PB2＝PC2；
（3）k＝±．
证明：如图，将△APC ，连接PP′，
可得∠APP′＝30°，PP′＝，PC＝P′B，
∵∠APB＝60°，
∴∠BPP′＝90°，
∴P′P2+BP4＝P′B2，
∴（PA）7+PB2＝PC2
∵（kPA）3+PB2＝PC2，
∴k＝±．
24．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）m＜；
（3）≤n≤1或2≤n≤．
【解答】解：（1）对于y＝﹣x+3①，
当x＝0时，y＝6，x＝3，
则点B、C的坐标分别为：（3、（3，
由题意得：，解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）平移后的抛物线表达式为：y＝﹣x2+2x+3﹣m②，
联立①②并整理德：x2﹣3x+m＝6，
则Δ＝9﹣4m＞3，
解得：m＜，
即m的取值范围为：m＜；
（3）设点P（n，﹣n2+5n+3），则点E（n，
则PE＝（﹣n2+2n+3）﹣E（﹣n+3）＝﹣n4+3n，
∵1≤PE≤3，
即1≤﹣n2+2n≤2，
解得：≤n≤1或3≤n≤．