高中人教A版 (2019)9.2 用样本估计总体教案

总体百分位数的估计教学设计

一、教学内容分析

 内容 本节课选自人教A版《普通高中教科书·数学 （必 修）》第二册第九章“统计”中第二单元“用样本估计 总体”中的第二节“总体百分位数的估计”，主要内容 是：研究百分位数的定义；一组数据的第p百分位数的 计算步骤；由样本数据的百分位数估计总体数据的百 分位数，以及百分位数在实际生活中的应用。让体会用统计工具解决统计问 题. 学生经历数据分析的基本过程，并运用所学知识和方法进一步解决实际问题，体会样本估计总体的统计思想，发展数据分析素养。

二、教学目标分析

（1知识与技能：结合实例，理解百分位数的定义，学会计算一组数据的第p百分位数，发展数据分析素养。

（2过程与方法：掌握用样本百分位数估计总体百分位数的方法，体会样本估计总体的统计思想，提高分析问题和 解决问题的能力。

（3情感态度与价值观：通过具体实例，体会百分位数在实际生活中的应用. 引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界。

三、教学重难点

教学重点：学会分析数据并用样本百分位数估计总体百分位数。

教学难点：百分位数的统计含义，以及统计图、表中百分位数的计算方法。

四、学生学情分析

一方面，学生在初中已经了解了一组从小到大排列的数据最中间位置的数是中位数，并通过本章前面的学习，已体会到样本估计总体的统计思想；另一方 面，本节课的授课对象具有良好的知识基础和较强的学习能力，具备小组合作探究的能力。另一方面百分位数 的定义表述为了使得对任何一组数据都存在任意的百分位数，但是却不易理解。百分位数的定义中所有的 不等关系都是带有等号的，即用“小于等于”“大于等 于”“至少有”描述，学生在理解上可能会存在一定的 困难。

五、教法学法分析

教法：在课堂教学中，以问题链为抓手推进教学活动。结合具体案例，由问题驱动统计概念和方法的学习，利用学生熟悉的生活实例作为引入，引导学生探究和思考百分位数的新知。教师 采用“类比—探究—归纳”的方式，启发并引导学将生自主探究和小组合作讨论相结合。

学法：在学习过程中，开展小组合作探究活动。在课堂教学中鼓励学生善于发现、勇于探索，通过小组合作交流，共同探究，展示成果，提高学生分析问题和解决问题的能力。在教学过程中，教师以学生为主体，引导学生经历思考、分析、交流、归纳、总结的过程，提高学生的数学学习能力。

六、教学过程设计

1. 创设情境，引入新知 师：同学们，你们知道家里每月用多少吨水吗？ 你们知道家里的水费按照什么标准收取吗？我国是世 界上严重缺水的国家之一，虽然我们平时打开水龙头 用水很方便，但是一定要注意节约用水. 某市政府为 了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施 阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准a， 用水量不超过a的部分按平价收费，用水量超过a的部 分按议价收费。那么该如何确定一个比较合理的标准，使大 部分居民用户的水费支出不受影响呢？

引出本节课的课题， 并板书“9.2.2 总体百分位数的估计”

问题1：如果该市政府希望使80%的居民用户生活 用水支出不受影响，根据前面100户居民用户的月均用 水量数据，你能给市政府提出确定居民用户月均用水 量标准的建议吗？

追问：如何理解使80%的居民用户生活用水支出 不受影响？

就是要寻找一个 数a，使全市居民用户月均用水量中不超过a的占80%，超 过a的占20%. 如何确定这个数a呢？

思考1：如何寻找全市居民用户月均用水量的标准 a呢？（通过样本数据对a的值进行估计.）

思考2：在前面的100个样本数据中，怎么去找这个数a呢？在我们以往的学习过程中遇到过类似的问题 吗？（中位数）

思考3：100户居民用户月均用水量数据的中位数怎么找？

2. 独思共议，探究新知

师：中位数是有50%的数据不超过这个数，50%的数据超过这个数。中位数又称为第5百分位数，或者 50%分位数. 对于前面问题中要找的数a，即有80%的数据不超过这个数，20%的数据超过这个数，数a称为第8百分位数，或者80%分位数。进一步，你能归纳第 p百分位数的定义吗

预设：学生可能不会想到百分位数定义中的“至 少”。教师举例：1，2，2，4，5，中位数50%分位数为 2，小于等于2的有60%，大于等于2的有80%，引导学 生得到百分位数定义中“至少”的概念。

百分位数定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小 于或等于这个值，且至少有(100 - p)%的数据大于或等 于这个值。

思考4：100个样本数据的第80百分位数怎么找？ 师生活动：类比100个数据的中位数的求解过程，学生得到第80百分位数的计算方法，即取第80个和第 81个数据的平均数为第80百分位数。

追问：这种方式求得的第80百分位数是合理的吗？

师生活动：学生小组讨论这种方法的合理性，并 由学生解释. 可以先将100组数据从小到大进行排列， 得 到 第 80个 和 第 81个 数 据 分 别 为13.6和13.8. 区 间 (13.6,13.8)内的任意一个数，都能把样本数据分成符合 要求的两部分，所以选取这两个数的平均数13.7作为这组数据的第80百分位数是符合定义的。

师：我们得到样本数据的第80百分位数为13.7， 根据统计中样本估计总体的思想，可以估计全市居民 月均用水量的第80百分位数为13.7左右。为了实际操作 中的方便，可以建议政府把月均用水量标准定为14t。你 认为14t这个标准，一定能够保证80%的居民用水不超 标吗？

师生活动：教师引导，学生思考后做出回答。不 一定，尽管这组数据中80%的居民用水量不超过14t，但 是因为它来自样本观测数据，只是总体80%分位数的一个估计值，抽样方法和样本的随机性都可能导致样 本百分位数估计总体百分位数产生误差。

思考5：若这组数据共99个，则这组数据的中位数 怎么求？第80百分位数呢？

师生活动：学生回答99个数据的中位数。教师引导学生类比中位数的求解过程，得到99个数据的第80百分位数。

思考6：你会计算一组n个数据的第p百分位数吗？

 师生活动：教师板书“2. 求一组n个数据的第p百分 位数的步骤”。学生小组讨论，合作探究归纳得到一组 n个数据的第p百分位数的计算步骤，并由学生分享结果，教师规范语言。 计算一组n个数据的第p百分位数的步骤如下。

 第一步，按照从小到大排列原始数据。

 第二步，计算i = n · p%。

第三步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为 j，则第p百分位数为第 j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i + 1)项数据的平均数。

师：根据百分位数的定义和求法，思考第0百分位 数和第100百分位数分别是一组数据中的哪个数？ 师生活动：学生思考得到第0百分位数是一组数据 中最小的数，第100百分位数是一组数据中最大的数。

师生活动：教师引导给出结论. 在实际应用中， 除了中位数外，常用的百分位数还有第25百分位数和 第75百分位数。这三个百分位数把一组由小到大排列 的数据分成四等份，因此称为四分位数。 其中第25百 分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分 位数也称为第三四分位数或上四分位数。另外，第1百 分位数，第5百分位数，第95百分位数和第99百分位数 在统计中也经常被使用。

3.新知应用课本例题处理

例1 根据树人中学高一年级女生身高的样本数 据，估计树人中学高一年级女生的第25，50，75百分 位数。

163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0 162.5 154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0 155.0 148.0 172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0

把27名女生的样本数据按从小到大排序，可得148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.5 157.0 157.0 158.0 158.0 159.0 161.0 161.0 162.0 162.5 162.5 163.0 163.0 164.0 164.0 164.0 165.0 170.0 171.0 172.0 172.0.

由25% × 27 = 6.75，50% × 27 = 13.5， 75% × 27 = 20.25，可知样本数据的第25，50，75百分 位数为第7，14，21项数据，分别为155.5，161.0， 164.0。

据此可以估计树人中学高一年级女生的第25， 50，75百分位数分别为155.5，161.0和164.0。

追问：你认为这样估计得到的总体百分位数会有 很大的误差吗？

例2

根据下表，估计月均用水量样本数据的80%分 位数和95%分位数

解：根据频率分布表，月均用水量在13.2t以下的 居民用户所占比例为23% + 32% + 13% + 9% = 77%，在 16.2t以下的居民用户所占的比例为77% + 9% = 86%.

 因 此 ， 80% 分 位 数 一 定 位 于 [13.2,16.2) 内 . 由 13.2 + 3 × 0.80 - 0.77 0.86 - 0.77 = 14.2. 可以估计月均用水量的样 本数据的80%分位数约为14.2.

追问：类似地，你会计算95%分位数吗

课堂练习1

某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价,为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过400千瓦时的占80%，

(1)求a，b的值．

(2)根据求得的a，b值计算用电量的75%分位数和15%分位数.

4. 归纳小结，深化理解

学生和教师共同回顾、总结本节课所学的数学知识、思想、方法.

（1） 百分位数的概念.

（2） 一组数据求解百分位数的步骤。

（3） 应用统计工具解决统计问题。

（4） 体会由特殊到一般、类比及用样本百分位数估计总体百分位数的思想。

（5） 了解了百分位数在实际生活中的应用。

师生活动：先由学生总结本节课所学内容，然后 教师补充说明。