高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算课后作业题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算课后作业题，共13页。试卷主要包含了单选题，单空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


向量的减法运算练习
一、单选题
1. 在边长为1的正三角形ABC中，|AB−BC|的值为(    )
A. 1 B. 2 C. 32 D. 3
2. 已知任意两个向量a，b，则    (    )
A. |a+b|=|a|+|b| B. |a−b|=|a|−|b|
C. |a−b|≤|a|−|b| D. |a−b|≤|a|+|b|
3. 如图，▱ABCD中，E是BC的中点，若AB=a，AD=b，则DE=(    )
A. 12a−b
B. 12a+b
C. a+12b
D. a−12b
4. 在▱ABCD中，设AB=a，AD=b，AC=c，BD=d，下列等式中不正确的是(    )
A. a+b=c B. a−b=d C. b−a=d D. c−a=b
5. 设a，b为非零向量，且满足|a−b|=|a|+|b|，则a与b的关系是(    )
A. 既不共线也不垂直 B. 垂直
C. 同向 D. 反向
6. 给出下列向量等式： ①AB+CA+BC=0; ②AB−AC−BC=0; ③AC−BC−AB=0.其中正确的等式有(    )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
7. 如图，在四边形ABCD中，设AB=a，AD=b，BC=c，则DC等于(     )
A. a−b+c
B. b−(a+c)
C. a+b+c
D. b−a+c
8. 已知正方形ABCD的边长为1，则|AB+BC|+|AB−AD|=(     )
A. 4 B. 2 C. 2 D. 22
9. 在△ABC中，BC=a，CA=b，则AB等于  (    )
A. a+b B. −a+(−b) C. a−b D. b−a
10. 在正六边形ABCDEF中，AB=a，FE=b，AD=c，则AF=  (    )
A. a+b−c B. a−b+c C. a+b+c D. c−a−b
11. 已知非零向量a与b同向，则a−b  (    )
A. 必定与a同向 B. 必定与b同向
C. 必定与a是平行向量 D. 与b不可能是平行向量
12. 有下列不等式或等式：
①|a|−|b|<|a−b|<|a|+|b|；
②|a|−|b|=|a−b|=|a|+|b|；
③|a|−|b|=|a−b|<|a|+|b|；
④|a|−|b|<|a−b|=|a|+|b|．
其中一定不成立的个数是  (    )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、单空题
13. 如图，在正六边形ABCDEF中，与OA−OC+CD相等的向量有____.(填序号) 

①CF;②AD;③DA;④BE;⑤CE+BC;⑥CA−CD;⑦AB+AE．
14. 已知非零向量a，b满足|a|=|b|=|a−b|，则|a+b||a−b|=          ．
15. 若|a|=1，|b|=3，则|a−b|的取值范围是_______．
16. 在四边形ABCD中，若AB=−CD，且|AB−AD|=∣AB+AD|，则四边形ABCD的形状为_______．
17. 已知|OA|=a，|OB|=b(a>b)，|AB|的取值范围是[5,15]，则a=________，b=________．
三、解答题
18. 如图，点D，E，F分别为△ABC的三边AB，BC，CA的中点．

证明：(1)AB+BE=AC+CE；
(2)EA+FB+DC=0．




19. 如图，已知向量a，b，c，求作向量a−b−c．





20. 如图，O为△ABC内一点，OA=a，OB=b，OC=c.求作：

(1)b+c−a； 
(2)a−b−c．



21. 如图，已知G是△ABC所在平面内一点．求证：G是△ABC的重心的充要条件是GA+GB+GC=0．










答案和解析
1.【答案】D
【解答】
解：如图，作菱形ABCD，
则|AB−BC|=|AB−AD|=|DB|=3．

2.【答案】D
【解答】
解：若a，b为共线向量且方向相同，则有a−b 若方向相反，则有a−b=a+b．
若a，b不共线，令a=OA，b=OB，则a−b=BA，
如图


∴a−b 综上，a−b≤a+b．
3.【答案】D
【解答】解：因为E是BC的中点，所以CE=12CB=−12AD=−12b，
所以DE=DC+CE=AB+CE=a−12b．
4.【答案】B
【解答】解：在▱ABCD中，
∵AB=a，AD=b，AC=c，BD=d，
∴a−b=DB=−d，故B不正确，
5.【答案】D

【解答】解：设a，b的起点为O，终点分别为A，B，
则a−b=BA，
由|a−b|=|a|+|b|，
得O，A，B三点共线，且O在A，B之间．
所以OA与OB反向．
6.【答案】C
【解答】
解：因为AB+CA+BC=AB+BC+CA=0，所以 ①正确；
由AB−AC−BC=CB−BC=2CB，知 ②不正确；
AC−BC−AB=AB−AB=0，所以 ③正确；
可知：其中正确的等式有2个，
7.【答案】A
【解答】
解：DC=AC−AD=AB+BC−AD=a+c−b=a−b+c．
故选A．
8.【答案】D
【解答】
解：∵正方形ABCD的边长为1，
∴|AB+BC|+|AB−AD|=|AC|+|DB|=22．
9.【答案】B
【解析】解：AB=CB−CA=−BC−CA=−a−b=−(a+b)=−a−b，
10.【答案】D
【解答】
解：因为CD=AD−AC，AC=AB+BC，
所以CD=AD−AB−BC，
已知AB=a，FE=b，AD=c，
由BC=FE，故BC=b，
则CD=c−a−b，且CD=AF，
故AF=c−a−b，
11.【答案】C
【解答】
解：若|a|>|b|，则a−b与a同向；
若|a|<|b|，则a−b与−b同向；
若|a|=|b|，则a−b=0，方向任意，且与任意向量共线．
故选C．
12.【答案】A
【解答】
解：当a与b不共线时①成立；
当a=b=0或b=0，a≠0时②成立；
当b为非零向量，a与b方向相同，且|a|⩾|b|时③成立；
当a与b反向共线时④成立．
所以不成立的个数为0．
13.【答案】①
【解答】解：∵OA−OC+CD=CA+CD=CF，
CE+BC=BC+CE=BE≠CF，
CA−CD=DA≠CF，
AB+AE=AD≠CF，
∴填①．
14.【答案】3
【解答】
解：如图，设OA=a，OB=b，

则OC=OA+OB=a+b，BA=OA−OB=a−b．
∵|a|=|b|=|a−b|，
∴BA=OA=OB．
∴△OAB为正三角形，设其边长为1，
则|a−b|=|BA|=1，|a+b|=2×32=3．
∴|a+b||a−b|=31=3．
15.【答案】[2,4]
【解答】
解：根据向量的减法运算知||a|−|b||≤|a−b|≤|a|+|b|，
故3−1≤|a−b|≤1+3，
即|a−b|的取值范围是[2,4]．
故答案为[2,4]．
16.【答案】矩形
【解答】
解：因为AB=−CD，
所以AB=DC，
所以四边形ABCD为平行四边形，
因为|AB−AD|=|AB+AD|，
所以|DB|=|AC|，
即平行四边形ABCD的对角线相等，
所以四边形ABCD为矩形．
故答案为矩形．
17.【答案】10，5
【解答】
解：∵a−b=||OA|−|OB||⩽|OA−OB|=|BA|⩽|OA|+|OB|=a+b，
∴a+b=15,a−b=5,
解得a=10,b=5.
18.【答案】证明：(1)由向量加法的三角形法则，
∵AB+BE=AE，AC+CE=AE，
∴AB+BE=AC+CE．
(2)由向量加法的平行四边形法则，
∵EA=EF+ED，FB=FE+FD，DC=DF+DE，
∴EA+FB+DC=EF+ED+FE+FD+DF+DE
=(EF+FE)+(ED+DE)+(FD+DF)
=0+0+0=0．
(2)利用向量加法的平行四边形法则即可证明．
19.【答案】解：解法一：如图1所示，
以A为起点分别作向量AB和AC，
使AB=a，AC=b．
连接CB，得向量CB=a−b，
再以C为起点作向量CD，使CD=c，
连接DB，得向量DB．
则向量DB即为所求作的向量a−b−c．

解法二：如图2，

①作AB=−b和BC=−c；
②作OA=a，则OC=a−b−c．


20.【答案】解：(1)以OB，OC为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，则OD=OB+OC=b+c，
所以b+c−a=OD−OA=AD，如图所示．

(2)由a−b−c=a−(b+c)，如图，
作▱OBEC，连接OE，则OE=OB+OC=b+c，

连接AE，则EA=a−(b+c)=a−b−c．


【解析】本题主要考查向量的加法，减法运算，解答本题的关键是知道向量运算的法则.属于基础题．
(1)以OB，OC为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，则AD即为所求；
(2)作▱OBEC，连接OE，AE，则EA即为所求．
21.【答案】【证明】(充分性)如图1，以GB，GC为邻边作□GBEC，连接GE，交BC于点M，

则M是BC的中点，也是GE的中点．
因为GB+GC=GE，又GA+GB+GC=0，
所以GE=AG．
于是可得点G在线段AM上，且AG=2GM，
又AM是△ABC的边BC上的中线，所以G是△ABC的重心．
(必要性)如图2，延长AG交BC于点D，则由G是△ABC的重心，得D是BC的中点，且AG=2GD．

延长GD到E′，使DE′=GD，连接E′B，E′C，则四边形GBE′C是平行四边形，
所以GB+GC=GE′=−GA，故GA+GB+GC=0．
综上，G是△ABC的重心的充要条件是GA+GB+GC=0．


【解析】
【分析】
本题考查充要条件的概念，以及向量的几何运用．
先证明充分条件，再证明必要条件．