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2022-2023学年山东省东营市广饶县九年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）
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这是一份2022-2023学年山东省东营市广饶县九年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省东营市广饶县九年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 中国人使用负数最早可追溯到两千多年前的秦汉时期，则12023的相反数为( )
A. −2023 B. 2023 C. 12023 D. −12023
2. 下列运算正确的是( )
A. a3−a2=a B. a7÷a3=a4
C. (−3a)2=−6a2 D. (a+1)2=a2+1
3. 如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1//l2，则∠1−∠2=( )
A. 72°
B. 36°
C. 45°
D. 47°
4. 在数轴上表示不等式2x−1≤−5的解集，正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 下列说法正确的是( )
A. 为检测一批灯泡的质量，应采取抽样调查的方式
B. 一组数据“1，2，2，5，5，3”的众数和平均数都是3
C. 若甲、乙两组数据的方差分别是0.09，0.1，则乙组数据比甲组数据更稳定
D. “明天下雨概率为0.5”，是指明天有一半的时间可能下雨
6. 如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD=40°，则∠ABD的大小为( )
A. 20°
B. 40°
C. 50°
D. 60°
7. 如图，射线DM的端点D在直线AB上，点C是射线DM上不与点D重合的一点，根据尺规作图痕迹，下列结论中不能体现的是( )
A. 作一条线段等于已知线段
B. 作∠MDB的平分线
C. 过点C作AB的平行线
D. 过点C作DM的垂线
8. 若关于x的方程2x+mx−2+x−12−x=3的解是正数，则m的取值范围为( )
A. m>−7 B. m>−7且m≠−3
C. m<−7 D. m>−7且m≠−2
9. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，直线l⊥AB，将直线l沿AB方向从A点平移到B点，若直线l交AB于P，交AC(或BC)于Q，设AP=x，CQ=y，则下列图象中，能表示y关于x的函数关系的图象大致是( )
A. B.
C. D.
10. 如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC于点M，交CD于点F，过点D作DE//BF交AC于点N.交AB于点E，连接FN，EM.有下列结论：①图中共有三个平行四边形；②当BD=2BC时，四边形DEBF是菱形；③BD⊥ME；④AD2=BD⋅CM.其中，正确结论的序号是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
二、填空题（本大题共8小题，共28.0分）
11. 春暖花开的四月，2023中国孙子文化园汉服花朝节开始了，做古装游戏，玩现代项目，成为研学圣地.据统计近期迎来各地游客约21.8万人次，其中数据21.8万用科学记数法表示为______ ．
12. 分解因式：4m2−64=______．
13. 圆锥的底面直径长为10cm，母线长为6cm，则这个圆锥侧面积= ．
14. 关于xy的方程组x+y=m−13x+5y=2m+3，则x+3y的值等于 ．
15. 如图，渔船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向，轮船从A处以15海里/小时的速度沿南偏西50°方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向，则灯塔C与码头B相距 海里．
16. 关于x的函数y=(k−2)x2−(2k−1)x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是______ ．
17. 如图，反比例函数y1=3kx(x>0)的图象在第一象限，反比例函数y2=−2kx(x>0)的图象在第四象限，把一个含45°角的直角三角板如图放置，三个顶点分别落在原点O和这两个函数图象上的A，B点处，若点B的横坐标为2，则k的值为______．
18. 如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(3,0)，点P(1,2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2023次后，点P的坐标为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
(1)计算：2−1+| 6−3|+2 3sin45°−(−2)2023⋅(12)2023．
(2)化简：先化简，再求值：(3a+1−a+1)÷a2−4a2+2a+1，其中a从−1，2，3中取一个你认为合适的数代入求值．
20. (本小题8.0分)
某中学举行了心理健康知识测试，为大概了解学生心理健康情况，该校随机抽取了部分学生进行测试，根据成绩(单位：分)分成：E(75≤x<80)，D(80≤x<85)，C(85≤x<90)，B(90≤x<95)，A(95≤x≤100)五个组，并绘制了如图1和图2所示的统计图．
请根据图中提供的信息，回答下列问题．
(1)本次抽取测试的学生有______ 人，m= ______ ；
(2)直接补全图1中的统计图，由扇形统计图知E组所占扇形圆心角的度数为______ ；
(3)根据调查结果，可估计该校2000名学生中，成绩大于或等于80分的学生约有______ 人.
(4)学校决定在A组4名学生(3男1女)中随机选取两名学生走进社区进行心理健康知识宣传，求恰好选中一男一女的概率是多少？
21. (本小题8.0分)
如图，直线y=−32x−2分别交x轴、y轴于A、B两点，与双曲线y=mx(m≠0)在第二象限内的交点为C，CD⊥y轴于点D，且CD=4．
(1)求双曲线的关系式；
(2)设点Q是双曲线上的一点，且△QOB的面积是△AOB的面积的4倍，求点Q的坐标．
22. (本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC的角平分线交BC于点O，以OB为半径作⊙O，交AO于点E，交AO的延长线于点D．
(1)判断直线AC是否是⊙O的切线，请说明理由；
(2)连接BE，在△DBE中，若tanD=12，求AEAB的值．
23. (本小题8.0分)
为了满足社区居民强身健体的需要，广饶县政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经过考察了解，广跃公司有A，B两种型号的健身器材可供选择，已知广跃公司2021年每套A型健身器材的售价为2.5万元，2021年每套B型健身器材的售价为2万元，2023年每套A型健身器材售价为1.6万元，每套A型，B型健身器材的年平均下降率相同．
(1)求2021年到2023年每套A型健身器材年平均下降率；
(2)2023年政府经过招标，决定年内采购并安装广跃公司A，B两种型号的健身器材共80套，政府采购专项经费总计不超过112万元，并且采购A型器材费用不能大于B型器材的费用，请求出至少采购B型健身器材多少套．
24. (本小题10.0分)
抛物线L：y=−x2+bx+c经过点A(0,3)，与它的对称轴直线x=1交于点B．
(1)求抛物线L的解析式；
(2)抛物线L与x轴正半轴交于点N，E在直线AN上方的抛物线上，过点E作EH⊥AN，垂足为H，求EH的最大值；
(3)如图2，将抛物线L向上平移2个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D，F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点.若△PCD与△POF相似，直接写出点P的坐标．
25. (本小题12.0分)
已知，△ABC为等边三角形，点D在边BC上．
【基本图形】如图1，以AD为一边作等边三角形△ADE，连结CE.请直接写出AC、CE、CD之间的关系．
【迁移运用】如图2，点F是AC边上一点，以DF为一边作等边三角△DEF．
求证：CE+CD=CF．
【类比探究】如图3，点F是AC边的延长线上一点，以DF为一边作等边三角△DEF.试探究线段CE，CD，CF三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：12023的相反数为−12023．
故选：D．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】B
【解析】解：A.a3与a2不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B.a7÷a3=a4，原计算正确，故此选项符合题意；
C.(−3a)2=9a2，原计算错误，故此选项不符合题意；
D.(a+1)2=a2+2a+1，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
分别根据合并同类项法则，同底数幂的除法法则，积的乘方的运算法则以及完全平方公式逐一判断即可．
本题考查合并同类项法则，同底数幂的除法，完全平方公式以及积的乘方，熟记相关运算法则和公式是解答本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：延长AB交l2于F，
∵l1//l2，
∴∠BFD=∠2，
∵正五边形ABCDE的每个外角相等，
∴∠FBC=360°÷5=72°，
∵∠1=∠BFD+∠FBC，
∴∠1−∠BFD=∠FBC=72°，
∴∠1−∠2=72°．
故选：A．
延长AB交l2于F，由平行线的性质，得到∠BFD=∠2，求出正五边形的外角的度数，由三角形外角的性质即可解决问题．
本题考查平行线的性质，多边形，三角形的外角，关键是作辅助线应用三角形外角的性质．
4.【答案】C
【解析】解：2x−1≤−5，
移项及合并同类项，得：2x≤−4，
系数化为1，得：x≤−2，
其解集在数轴上表示如下所示，
，
故选：C．
根据解一元一次不等式的方法可以求得该不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可．
本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
5.【答案】A
【解析】解：A、为检测一批灯泡的质量，应采取抽样调查的方式，故A符合题意；
B、一组数据“1，2，2，5，5，3”的众数是2和5，平均数是3，故B不符合题意；
C、若甲、乙两组数据的方差分别是0.09，0.1，则甲组数据比乙组数据更稳定，故C不符合题意；
D、“明天下雨概率为0.5”，是指明天下雨的可能性是50%，故D不符合题意；
故选：A．
根据概率的意义，算术平均数，众数，方差，全面调查与抽样调查，概率公式，逐一判断即可解答．
本题考查了概率的意义，算术平均数，众数，方差，全面调查与抽样调查，概率公式，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵∠BCD=40°，
∴∠A=∠BCD=40°，
∴∠ABD=90°−40°=50°．
故选：C．
连接AD，先根据圆周角定理得出∠A及∠ADB的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．
本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：由作图痕迹可得CE=CD，DE平分∠MDB，所以A、B选项不符合题意；
∵CD=CE，
∴∠MDE=∠CED
∵∠MDE=∠BDE，
∴∠BDE=∠CED，
∴CE//AB，所以C选项不符合题意．
故选：D．
利用基本作图得到CE=CD，DE平分∠MDB，则可对A、B选项进行判断；再证明∠BDE=∠CED得到CE//AB，则可对C、D选项进行判断．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和垂线段最短．
8.【答案】B
【解析】解：2x+mx−2+x−12−x=3，
去分母，得2x+m−x+1=3(x−2)．
去括号，得2x+m−x+1=3x−6．
移项，得2x−x−3x=−6−1−m．
合并同类项，得−2x=−7−m．
x的系数化为1，得x=7+m2．
∵关于x的方程2x+mx−2+x−12−x=3的解是正数，
∴x=7+m2>0且x=7+m2≠2．
∴m>−7且m≠−3．
故选：B．
先解分式方程，得x=7+m2.再根据分式方程的解的定义解决此题．
本题主要考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的定义、解一元一次不等式是解决本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：如图，当点Q在AC上时，
在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∵直线l⊥AB，
∴△APQ∽△ABC，
∴AP：AQ=AC：AB，即x：AQ=3：5，
∴AQ=53x，
∴y=AC−AQ=3−53x，
∴y=−53x+3；
如图，当点Q在AC上时，
∵直线l⊥AB，
∴△BPQ∽△ABC，
∴BP：BQ=BC：AB，即(5−x)：BQ=4：5，
∴BQ=54(5−x)，
∴y=BC−BQ=4−54(5−x)，
∴y=54x−94．
故选：C．
分情况求出当点Q在AC上时、当点Q在AC上时的函数关系式，依据关系式判断即可．
本题考查了动点问题的函数图象的应用，结合图形分析题意并解答是解题关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵矩形是特殊的平行四边形，
∴矩形ABCD是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵BF⊥AC，DE//BF，
∴DE⊥AC，
∴∠AND=∠BMC=90°．
在△AND和△BMC中，
∠DAC=∠BCA∠AND=∠BMC=90°AD=BC，
∴△AND≌△BMC(AAS)，
∴DN=BM．
∵AB//CD，DE//BF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴DE=BF，
∴NE=MF，
∴四边形BNFM为平行四边形．
∴图中有3个平行四边形：四边形ABCD，四边形DEBF，四边形NEMF，
∴①的结论正确；
当BD=2BC时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC，
∴AC=2BC，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAC=30°．
同理：∠CDB=30°．
∵OA=OB=OC=OD，
∴∠OBA=∠OAB=30°．
∴∠DOA=∠OAB+∠OBA=60°，
∵DN⊥AC，
∴∠ODN=30°，
∴∠ODN=∠OBA，
∴ED=EB，
∴平行四边形DEBF为菱形．
∴②的结论正确；
如图，BD与ME不垂直，
∴③的结论不正确；
∵∠ABC=90°，BM⊥AC，
∴△BCM∽△ACB，
∴BCCM=ACBC，
∴BC2=CM⋅AC，
∵BC=AD，BD=AC，
∴AD2=BD⋅CM．
∴④的结论正确．
综上，结论正确的有：①②④，
故选：B．
利用矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定定理即可判定①的结论正确；利用含30°角的直角三角形的性质，菱形的判定定理即可判定②的结论正确；举出反例说吗③的结论不正确；利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质即可判定④的结论正确．
本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
11.【答案】2.18×105
【解析】解：21.8万=218000=2.18×105，
故答案为：2.18×105．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法．
本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12.【答案】4(m+4)(m−4)
【解析】解：4m2−64，
=4(m2−16)，
=4(m+4)(m−4)．
先提取公因式4，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13.【答案】30πcm2
【解析】解：∵圆锥的底面直径长为10cm，
∴底面圆的周长=π×10=10π(cm)，
∵圆锥的母线长为6cm，
∴这个圆锥侧面积=12×10π×6=30π(cm2).
故答案为：30πcm2．
先求出圆锥侧面展开后扇形所对弧的长度，再根据扇形面积公式求出扇形的面积即可．
本题考查了圆锥的计算，能熟记弧长公式和扇形的面积公式是解此题的关键，已知扇形的圆心角为n°，半径为r，那么扇形所对弧的长度=nπr180，扇形的面积=nπr2360．
14.【答案】5
【解析】解：x+y=m−1①3x+5y=2m+3②，
②−①×2，得(3x+5y)−2(x+y)=(2m+3)−2(m−1)，
整理得：x+3y=5．
故答案为：5．
②−①×2得出(3x+5y)−2(x+y)=(2m+3)−2(m−1)，去括号后合并同类项即可．
本题考查了解二元一次方程组，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
15.【答案】15 6
【解析】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
由题意得：
AB=15×2=30(海里)，∠BAC=180°−50°−70°=60°，∠ABC=50°+25°=75°，
∴∠C=180°−∠BAC−∠ABC=45°，
在Rt△ADB中，AD=AB⋅cos60°=30×12=15(海里)，
BD=AB⋅sin60°=30× 32=15 3(海里)，
在Rt△BDC中，BC=BDsin45∘=15 3 22=15 6(海里)，
∴灯塔C与码头B相距15 6海里，
故答案为：15 6．
过点B作BD⊥AC，垂足为D，根据垂直定义可得：∠ADB=∠BDC=90°，根据题意可得：AB=30海里，∠BAC=60°，∠ABC=75°，从而利用三角形内角和定理∠C=45°，然后在Rt△ADB中，利用锐角三角函数的定义可求出AD，BD的长，再在Rt△BDC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16.【答案】k>−14且k≠2
【解析】解：根据题意得：(2k−1)2−4k(k−2)>0k−2≠0，
解得k>−14且k≠2．
故答案是：k>−14且k≠2．
关于x的函数y=(k−2)x2−(2k−1)x+k的图象与x轴有两个交点，则判别式b2−4ac>0，且二次项系数不等于0，据此列不等式求解．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．
△=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
17.【答案】1
【解析】解：如图所示，过B作BC⊥y轴于C，过A作AD⊥CB于D，
∵△ABO是等腰直角三角形，
∴∠ABO=∠ADB=∠BCO=90°，BO=AB，
∴∠CBO=∠BAD，
∴△BCO≌△ADB(AAS)，
∴BC=AD，CO=BD，
∵点B在反比例函数y2=−2kx(x>0)的图象上，点B的横坐标为2，
∴可设B(2,−k)，
∴CO=BD=k，CB=AD=2，
∴A(2+k,2−k)，
∵点A在反比例函数y1=3kx(x>0)的图象上，
∴(2+k)(2−k)=3k，
解得k1=1，k2=−4(舍去)，
∴k的值为1，
故答案为：1．
过B作BC⊥y轴于C，过A作AD⊥CB于D，依据△BCO≌△ADB，即可得到BC=AD，CO=BD，设B(2,−k)，即可得到A(2+k,2−k)，依据点A在反比例函数y1=3kx(x>0)的图象上，即可得到k的值．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
18.【答案】(6070,1)
【解析】解：第一次P1(5,2)，
第二次P2(8,1)，
第三次P3(10,1)，
第四次P4(13,2)，
第五次P5(17,2)，
…
发现点P的位置4次一个循环，
∵2023÷4=505……3，
P2023的纵坐标与P3相同为1，横坐标为12×505+10=6070，
∴P2023(6070,1)，
故答案为(6070,1)．
首先求出P1～P5的坐标，探究规律后，利用规律解决问题．
本题考查坐标与图形的旋转、规律型：点的坐标等知识，学会从特殊到一般的探究规律的方法是解题的关键．
19.【答案】解：(1)2−1+| 6−3|+2 3sin45°−(−2)2023⋅(12)2023
=12+3− 6+2 3× 22+(2×12)2023
=12+3− 6+2 3× 22+12023
=12+3− 6+2 3× 22+1
=12+3− 6+ 6+1
=92；
(2)(3a+1−a+1)÷a2−4a2+2a+1
=3−(a−1)(a+1)a+1⋅(a+1)2(a+2)(a−2)
=3−a2+1a+1⋅(a+1)2(a+2)(a−2)
=(2+a)(2−a)a+1⋅(a+1)2(a+2)(a−2)
=−a−1，
∵a=−1，±2时，原分式无意义，
∴a=3，
当a=3时，原式=−3−1=−4．
【解析】(1)根据负整数指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，逆用积的乘方，进行计算即可求解；
(2)根据分式的混合运算进行计算，然后根据分式有意义的条件，将a=3代入化简结果，即可求解．
本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，掌握负整数指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，逆用积的乘方，分式的运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：(1)40；20；
(2)B组人数为40×30%=12(人)，
补全图形如下：
54°；
(3)1700；
(4)根据题意列表如下：
男1
男2
男3
女
男1
--
男2男1
男3男1
女男1
男2
男1男2
--
男3男2
女男2
男3
男1男3
男2男3
--
女男3
女
男1女
男2女
男3女
--
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中选取的2名学生恰好是一男一女的结果有6种，
∴恰好选中一男一女的概率是P=612=12．
【解析】解：(1)本次抽取测试的学生有10÷25%=40(人)，m%=8÷40×100%=20%，即m=20，
故答案为：40；20；
(2)B组人数为40×30%=12(人)，
补全图形如下：
由扇形统计图知E组所占扇形圆心角的度数为360°×640=54°；
故答案为：54°；
(3)根据调查结果，可估计该校2000名学生中，成绩大于或等于80分的学生约有2000×40−640=1700(人)，
故答案为：1700；
(4)见答案．
(1)由C组人数及其所占百分比可得总人数，用D组人数除以总人数可得m的值；
(2)总人数乘以B组对应百分比可得其人数，用360°乘以E组人数所占比例即可得出答案；
(3)总人数乘以样本中A、B、C、D组人数和所占比例即可；
(4)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图．
21.【答案】解：(1)∵CD⊥y轴于点D，且CD=4.，
∴点C的横坐标为−4，
当x=−4时，y=−32×(−4)−2=4，
∴点C(−4,4)，
又∵点C(−4,4)在双曲线y=mx(m≠0)上，
∴m=−4×4=−16，
∴双曲线的关系式为y=−16x；
(2)∵直线y=−32x−2分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴点A(−43,0)，点B(0,−2)，
即OA=43，OB=2，
∴S△AOB=12×43×2=43，
设Q(x,−16x)，
由于△QOB的面积是△AOB的面积的4倍，
∴△QOB的面积为163，
即12OB×|x|=163，
解得x=±163，
当x=163时，y=−16163=−3，
当x=−163时，y=−16−163=3，
∴点Q(163,−3)或(−163,3)．
【解析】(1)把x=−4代入可求出点C的坐标，再代入反比例函数关系式可确定m的值，进而确定反比例函数关系式；
(2)根据直线的关系式可求出与x轴、y轴的交点坐标，进而求出三角形AOB的面积，得到三角形BOQ的面积后设点Q的坐标，由三角形的面积公式列方程求解即可．
本题是反比例函数图象与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，确定点C坐标是求出反比例函数关系式的关键，用含有点Q的坐标表示三角形BOQ的面积标是解决问题的前提．
22.【答案】解：(1)直线AC是⊙O的切线，理由如下：
∵∠ABC=90°，
∴OB⊥AB，
如图，作OF⊥AC于点F，
∵AO是∠BAC的角平分线，
∴OF=OB，
∴OF是⊙O的半径，
∴直线AC是⊙O的切线；
(2)如图，连接BE，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DBE=90°，即∠2+∠3=90°．
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3．
∵OB=OD，
∴∠3=∠D，
∴∠1=∠D，
又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，
∴AEAB=BEBD=tanD=12．
【解析】(1)先判断出OB⊥AB，再利用角平分线定理即可得出结论；
(2)先判断出∠1=∠3，进而判断出∠1=∠D，得出△ABE∽△ADB即可得出结论．
本题主要考查了角平分线定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出△ABE∽△ADB是解本题的关键．
23.【答案】解：(1)设2021年到2023年每套A型健身器材售价的年平均下降率为x，
根据题意得：2.5(1−x)2=1.6，
解得：x1=0.2=20%，x2=1.8(不符合题意，舍去)．
答：2021年到2023年每套A型健身器材售价的年平均下降率为20%；
(2)由(1)可知：2023年每套B型健身器材售价为2×(1−20%)2=1.28(万元)．
设采购B型健身器材y套，则采购A型健身器材(80−y)套，
根据题意得：1.6(80−y)+1.28y≤1121.6(80−y)≤1.28y，
解得：y≥50，
∴y的最小值为50．
答：至少采购B型健身器材50套．
【解析】(1)设2021年到2023年每套A型健身器材售价的年平均下降率为x，利用2023年每套A型健身器材售价=2021年每套A型健身器材售价×(1−2021年到2023年每套A型健身器材售价的年平均下降率)2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
(2)利用2023年每套B型健身器材售价=2021年每套B型健身器材售价×(1−2021年到2023年每套B型健身器材售价的年平均下降率)2，可求出2023年每套B型健身器材的售价，设采购B型健身器材y套，则采购A型健身器材(80−y)套，根据“政府采购专项经费总计不超过112万元，并且采购A型器材费用不能大于B型器材的费用”，可列出关于y的一元一次不等式组，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
24.【答案】解：(1)由题意得：c=3x=−b2×(−1)=1，
解得：b=2c=3，
则抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3；
(2)过点E作ET//y轴交AN于点T，
由抛物线的表达式知，点N(3,0)，
则ON=OA=3，则∠OAN=45°，
由点A、N的坐标得，直线AN的表达式为：y=−x+3，
∵ET//y轴，则∠HET=∠OAN=45°，
则EH= 22ET，
设点E(x,−x2+2x+3)，则点T(x,−x+3)，
则ET=(−x2+2x+3)−(−x+3)=−(x−32)2+94，
即ET的最大值为：94，
故EH的最大值为： 22×94=9 28；
(3)由题意可知，
抛物线L1的解析式为y=−x2+2x+3+2=x2+2x+5=−(x−1)2+6，
∴C(0,5)，D(2,5)，
∴CD=2，OF=1，OC=5，
设P(0,t)，
①当△PCD∽△FOP时，PCCD=FOOP，
∴5−t2=1t，
解得：t=5− 172或t=5+ 172；
②当△PCD∽△POF时，PCCD=POOF，
∴5−t2=t1，
∴t=53；
综上所述，P点的坐标为(0,5− 172)，(0,5+ 172)或(0,53).
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)由题意得：EH= 22ET，设点E(x,−x2+2x+3)，则点T(x,−x+3)，则ET=(−x2+2x+3)−(−x+3)=−(x−32)2+94≤94，即可求解；
(3)抛物线L1的解析式为y=−x2+2x+5，知C(0,5)、D(2,5)、F(1,0)，再设P(0,t)，分△PCD∽△POF和△PCD∽△POF两种情况，结合方程的解的情况求解可得．
本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、线段长度的计算、相似三角形的判定与性质及一元二次方程根的判别式等知识点．
25.【答案】【基本图形】结论：CE+CD=AC．
理由：∵△ABC与△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=60°，AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠DAE−∠CAD=∠BAC−∠CAD，即∠CAE=∠BAD，
在△CAE与△BAD中，
AB=AC∠CAE=∠BADAE=AD，
∴△CAE≌△BAD (SAS)，
∴CE=BD，
∴CE+CD=BD+CD=BC，
∵AC=BC，
∴CE+CD=AC；
【迁移运用】证明：如图2，过点D作DG//AB，交AC于点G，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠A=∠B=60°，
∵DG//AB，
∴∠CGD=∠A=60°，∠CDG=∠B=60°，
∴△CDG为等边三角形，
∴CD=DG=CG，
∵△DEF为等边三角形，
∴DE=DF，∠EDF=60°，
∵∠CDG−∠EDG=∠EDF−∠EDG，即∠CDE=∠FDG，
在△CDE与△GDF中，
DC=DG∠CDE=∠GDFDE=DF，
∴△CDE≌△GDF(SAS)，
∴CE=GF，
∴CE+CD=GF+CG=CF；
【类比探究】CD+CF=CE，
理由如下：如图3，过点D作DG//AB，交AC于点G，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠A=∠B=60°，
∵DG//AB，
∴∠CGD=∠A=60°，∠CDG=∠B=60°，
∴△CDG为等边三角形，
∴CD=DG=CG，
∵△DEF为等边三角形，
∴DE=DF，∠FDE=60°，
∵∠GDC+∠CDF=∠EDF+∠CDF，即∠GDF=∠CDE，
在△CDE与△GDF中，
DC=DG∠CDE=∠GDFDE=DF，
∴△CDE≌△GDF(SAS)，
∴CE=GF，
∵GF=CF+CG=CF+CD，
∴CD+CF=CE．
【解析】【基本图形】证明△CAE≌△BAD，根据全等三角形的性质得到CE=BD，证明结论；
【迁移运用】过点D作DG//AB，交AC于点G，证明△CDE≌△GDF，得到CE=GF，证明结论；
【类比探究】过点D作DG//AC，交AB于点G，仿照【迁移运用】的证明方法证明即可．
本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
2022-2023学年山东省东营市广饶县九年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 中国人使用负数最早可追溯到两千多年前的秦汉时期，则12023的相反数为( )
A. −2023 B. 2023 C. 12023 D. −12023
2. 下列运算正确的是( )
A. a3−a2=a B. a7÷a3=a4
C. (−3a)2=−6a2 D. (a+1)2=a2+1
3. 如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1//l2，则∠1−∠2=( )
A. 72°
B. 36°
C. 45°
D. 47°
4. 在数轴上表示不等式2x−1≤−5的解集，正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 下列说法正确的是( )
A. 为检测一批灯泡的质量，应采取抽样调查的方式
B. 一组数据“1，2，2，5，5，3”的众数和平均数都是3
C. 若甲、乙两组数据的方差分别是0.09，0.1，则乙组数据比甲组数据更稳定
D. “明天下雨概率为0.5”，是指明天有一半的时间可能下雨
6. 如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD=40°，则∠ABD的大小为( )
A. 20°
B. 40°
C. 50°
D. 60°
7. 如图，射线DM的端点D在直线AB上，点C是射线DM上不与点D重合的一点，根据尺规作图痕迹，下列结论中不能体现的是( )
A. 作一条线段等于已知线段
B. 作∠MDB的平分线
C. 过点C作AB的平行线
D. 过点C作DM的垂线
8. 若关于x的方程2x+mx−2+x−12−x=3的解是正数，则m的取值范围为( )
A. m>−7 B. m>−7且m≠−3
C. m<−7 D. m>−7且m≠−2
9. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，直线l⊥AB，将直线l沿AB方向从A点平移到B点，若直线l交AB于P，交AC(或BC)于Q，设AP=x，CQ=y，则下列图象中，能表示y关于x的函数关系的图象大致是( )
A. B.
C. D.
10. 如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC于点M，交CD于点F，过点D作DE//BF交AC于点N.交AB于点E，连接FN，EM.有下列结论：①图中共有三个平行四边形；②当BD=2BC时，四边形DEBF是菱形；③BD⊥ME；④AD2=BD⋅CM.其中，正确结论的序号是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
二、填空题（本大题共8小题，共28.0分）
11. 春暖花开的四月，2023中国孙子文化园汉服花朝节开始了，做古装游戏，玩现代项目，成为研学圣地.据统计近期迎来各地游客约21.8万人次，其中数据21.8万用科学记数法表示为______ ．
12. 分解因式：4m2−64=______．
13. 圆锥的底面直径长为10cm，母线长为6cm，则这个圆锥侧面积= ．
14. 关于xy的方程组x+y=m−13x+5y=2m+3，则x+3y的值等于 ．
15. 如图，渔船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向，轮船从A处以15海里/小时的速度沿南偏西50°方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向，则灯塔C与码头B相距 海里．
16. 关于x的函数y=(k−2)x2−(2k−1)x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是______ ．
17. 如图，反比例函数y1=3kx(x>0)的图象在第一象限，反比例函数y2=−2kx(x>0)的图象在第四象限，把一个含45°角的直角三角板如图放置，三个顶点分别落在原点O和这两个函数图象上的A，B点处，若点B的横坐标为2，则k的值为______．
18. 如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(3,0)，点P(1,2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2023次后，点P的坐标为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
(1)计算：2−1+| 6−3|+2 3sin45°−(−2)2023⋅(12)2023．
(2)化简：先化简，再求值：(3a+1−a+1)÷a2−4a2+2a+1，其中a从−1，2，3中取一个你认为合适的数代入求值．
20. (本小题8.0分)
某中学举行了心理健康知识测试，为大概了解学生心理健康情况，该校随机抽取了部分学生进行测试，根据成绩(单位：分)分成：E(75≤x<80)，D(80≤x<85)，C(85≤x<90)，B(90≤x<95)，A(95≤x≤100)五个组，并绘制了如图1和图2所示的统计图．
请根据图中提供的信息，回答下列问题．
(1)本次抽取测试的学生有______ 人，m= ______ ；
(2)直接补全图1中的统计图，由扇形统计图知E组所占扇形圆心角的度数为______ ；
(3)根据调查结果，可估计该校2000名学生中，成绩大于或等于80分的学生约有______ 人.
(4)学校决定在A组4名学生(3男1女)中随机选取两名学生走进社区进行心理健康知识宣传，求恰好选中一男一女的概率是多少？
21. (本小题8.0分)
如图，直线y=−32x−2分别交x轴、y轴于A、B两点，与双曲线y=mx(m≠0)在第二象限内的交点为C，CD⊥y轴于点D，且CD=4．
(1)求双曲线的关系式；
(2)设点Q是双曲线上的一点，且△QOB的面积是△AOB的面积的4倍，求点Q的坐标．
22. (本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC的角平分线交BC于点O，以OB为半径作⊙O，交AO于点E，交AO的延长线于点D．
(1)判断直线AC是否是⊙O的切线，请说明理由；
(2)连接BE，在△DBE中，若tanD=12，求AEAB的值．
23. (本小题8.0分)
为了满足社区居民强身健体的需要，广饶县政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经过考察了解，广跃公司有A，B两种型号的健身器材可供选择，已知广跃公司2021年每套A型健身器材的售价为2.5万元，2021年每套B型健身器材的售价为2万元，2023年每套A型健身器材售价为1.6万元，每套A型，B型健身器材的年平均下降率相同．
(1)求2021年到2023年每套A型健身器材年平均下降率；
(2)2023年政府经过招标，决定年内采购并安装广跃公司A，B两种型号的健身器材共80套，政府采购专项经费总计不超过112万元，并且采购A型器材费用不能大于B型器材的费用，请求出至少采购B型健身器材多少套．
24. (本小题10.0分)
抛物线L：y=−x2+bx+c经过点A(0,3)，与它的对称轴直线x=1交于点B．
(1)求抛物线L的解析式；
(2)抛物线L与x轴正半轴交于点N，E在直线AN上方的抛物线上，过点E作EH⊥AN，垂足为H，求EH的最大值；
(3)如图2，将抛物线L向上平移2个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D，F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点.若△PCD与△POF相似，直接写出点P的坐标．
25. (本小题12.0分)
已知，△ABC为等边三角形，点D在边BC上．
【基本图形】如图1，以AD为一边作等边三角形△ADE，连结CE.请直接写出AC、CE、CD之间的关系．
【迁移运用】如图2，点F是AC边上一点，以DF为一边作等边三角△DEF．
求证：CE+CD=CF．
【类比探究】如图3，点F是AC边的延长线上一点，以DF为一边作等边三角△DEF.试探究线段CE，CD，CF三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：12023的相反数为−12023．
故选：D．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】B
【解析】解：A.a3与a2不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B.a7÷a3=a4，原计算正确，故此选项符合题意；
C.(−3a)2=9a2，原计算错误，故此选项不符合题意；
D.(a+1)2=a2+2a+1，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
分别根据合并同类项法则，同底数幂的除法法则，积的乘方的运算法则以及完全平方公式逐一判断即可．
本题考查合并同类项法则，同底数幂的除法，完全平方公式以及积的乘方，熟记相关运算法则和公式是解答本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：延长AB交l2于F，
∵l1//l2，
∴∠BFD=∠2，
∵正五边形ABCDE的每个外角相等，
∴∠FBC=360°÷5=72°，
∵∠1=∠BFD+∠FBC，
∴∠1−∠BFD=∠FBC=72°，
∴∠1−∠2=72°．
故选：A．
延长AB交l2于F，由平行线的性质，得到∠BFD=∠2，求出正五边形的外角的度数，由三角形外角的性质即可解决问题．
本题考查平行线的性质，多边形，三角形的外角，关键是作辅助线应用三角形外角的性质．
4.【答案】C
【解析】解：2x−1≤−5，
移项及合并同类项，得：2x≤−4，
系数化为1，得：x≤−2，
其解集在数轴上表示如下所示，
，
故选：C．
根据解一元一次不等式的方法可以求得该不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可．
本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
5.【答案】A
【解析】解：A、为检测一批灯泡的质量，应采取抽样调查的方式，故A符合题意；
B、一组数据“1，2，2，5，5，3”的众数是2和5，平均数是3，故B不符合题意；
C、若甲、乙两组数据的方差分别是0.09，0.1，则甲组数据比乙组数据更稳定，故C不符合题意；
D、“明天下雨概率为0.5”，是指明天下雨的可能性是50%，故D不符合题意；
故选：A．
根据概率的意义，算术平均数，众数，方差，全面调查与抽样调查，概率公式，逐一判断即可解答．
本题考查了概率的意义，算术平均数，众数，方差，全面调查与抽样调查，概率公式，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵∠BCD=40°，
∴∠A=∠BCD=40°，
∴∠ABD=90°−40°=50°．
故选：C．
连接AD，先根据圆周角定理得出∠A及∠ADB的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．
本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：由作图痕迹可得CE=CD，DE平分∠MDB，所以A、B选项不符合题意；
∵CD=CE，
∴∠MDE=∠CED
∵∠MDE=∠BDE，
∴∠BDE=∠CED，
∴CE//AB，所以C选项不符合题意．
故选：D．
利用基本作图得到CE=CD，DE平分∠MDB，则可对A、B选项进行判断；再证明∠BDE=∠CED得到CE//AB，则可对C、D选项进行判断．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和垂线段最短．
8.【答案】B
【解析】解：2x+mx−2+x−12−x=3，
去分母，得2x+m−x+1=3(x−2)．
去括号，得2x+m−x+1=3x−6．
移项，得2x−x−3x=−6−1−m．
合并同类项，得−2x=−7−m．
x的系数化为1，得x=7+m2．
∵关于x的方程2x+mx−2+x−12−x=3的解是正数，
∴x=7+m2>0且x=7+m2≠2．
∴m>−7且m≠−3．
故选：B．
先解分式方程，得x=7+m2.再根据分式方程的解的定义解决此题．
本题主要考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的定义、解一元一次不等式是解决本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：如图，当点Q在AC上时，
在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∵直线l⊥AB，
∴△APQ∽△ABC，
∴AP：AQ=AC：AB，即x：AQ=3：5，
∴AQ=53x，
∴y=AC−AQ=3−53x，
∴y=−53x+3；
如图，当点Q在AC上时，
∵直线l⊥AB，
∴△BPQ∽△ABC，
∴BP：BQ=BC：AB，即(5−x)：BQ=4：5，
∴BQ=54(5−x)，
∴y=BC−BQ=4−54(5−x)，
∴y=54x−94．
故选：C．
分情况求出当点Q在AC上时、当点Q在AC上时的函数关系式，依据关系式判断即可．
本题考查了动点问题的函数图象的应用，结合图形分析题意并解答是解题关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵矩形是特殊的平行四边形，
∴矩形ABCD是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵BF⊥AC，DE//BF，
∴DE⊥AC，
∴∠AND=∠BMC=90°．
在△AND和△BMC中，
∠DAC=∠BCA∠AND=∠BMC=90°AD=BC，
∴△AND≌△BMC(AAS)，
∴DN=BM．
∵AB//CD，DE//BF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴DE=BF，
∴NE=MF，
∴四边形BNFM为平行四边形．
∴图中有3个平行四边形：四边形ABCD，四边形DEBF，四边形NEMF，
∴①的结论正确；
当BD=2BC时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC，
∴AC=2BC，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAC=30°．
同理：∠CDB=30°．
∵OA=OB=OC=OD，
∴∠OBA=∠OAB=30°．
∴∠DOA=∠OAB+∠OBA=60°，
∵DN⊥AC，
∴∠ODN=30°，
∴∠ODN=∠OBA，
∴ED=EB，
∴平行四边形DEBF为菱形．
∴②的结论正确；
如图，BD与ME不垂直，
∴③的结论不正确；
∵∠ABC=90°，BM⊥AC，
∴△BCM∽△ACB，
∴BCCM=ACBC，
∴BC2=CM⋅AC，
∵BC=AD，BD=AC，
∴AD2=BD⋅CM．
∴④的结论正确．
综上，结论正确的有：①②④，
故选：B．
利用矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定定理即可判定①的结论正确；利用含30°角的直角三角形的性质，菱形的判定定理即可判定②的结论正确；举出反例说吗③的结论不正确；利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质即可判定④的结论正确．
本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
11.【答案】2.18×105
【解析】解：21.8万=218000=2.18×105，
故答案为：2.18×105．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法．
本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12.【答案】4(m+4)(m−4)
【解析】解：4m2−64，
=4(m2−16)，
=4(m+4)(m−4)．
先提取公因式4，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13.【答案】30πcm2
【解析】解：∵圆锥的底面直径长为10cm，
∴底面圆的周长=π×10=10π(cm)，
∵圆锥的母线长为6cm，
∴这个圆锥侧面积=12×10π×6=30π(cm2).
故答案为：30πcm2．
先求出圆锥侧面展开后扇形所对弧的长度，再根据扇形面积公式求出扇形的面积即可．
本题考查了圆锥的计算，能熟记弧长公式和扇形的面积公式是解此题的关键，已知扇形的圆心角为n°，半径为r，那么扇形所对弧的长度=nπr180，扇形的面积=nπr2360．
14.【答案】5
【解析】解：x+y=m−1①3x+5y=2m+3②，
②−①×2，得(3x+5y)−2(x+y)=(2m+3)−2(m−1)，
整理得：x+3y=5．
故答案为：5．
②−①×2得出(3x+5y)−2(x+y)=(2m+3)−2(m−1)，去括号后合并同类项即可．
本题考查了解二元一次方程组，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
15.【答案】15 6
【解析】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
由题意得：
AB=15×2=30(海里)，∠BAC=180°−50°−70°=60°，∠ABC=50°+25°=75°，
∴∠C=180°−∠BAC−∠ABC=45°，
在Rt△ADB中，AD=AB⋅cos60°=30×12=15(海里)，
BD=AB⋅sin60°=30× 32=15 3(海里)，
在Rt△BDC中，BC=BDsin45∘=15 3 22=15 6(海里)，
∴灯塔C与码头B相距15 6海里，
故答案为：15 6．
过点B作BD⊥AC，垂足为D，根据垂直定义可得：∠ADB=∠BDC=90°，根据题意可得：AB=30海里，∠BAC=60°，∠ABC=75°，从而利用三角形内角和定理∠C=45°，然后在Rt△ADB中，利用锐角三角函数的定义可求出AD，BD的长，再在Rt△BDC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16.【答案】k>−14且k≠2
【解析】解：根据题意得：(2k−1)2−4k(k−2)>0k−2≠0，
解得k>−14且k≠2．
故答案是：k>−14且k≠2．
关于x的函数y=(k−2)x2−(2k−1)x+k的图象与x轴有两个交点，则判别式b2−4ac>0，且二次项系数不等于0，据此列不等式求解．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．
△=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
17.【答案】1
【解析】解：如图所示，过B作BC⊥y轴于C，过A作AD⊥CB于D，
∵△ABO是等腰直角三角形，
∴∠ABO=∠ADB=∠BCO=90°，BO=AB，
∴∠CBO=∠BAD，
∴△BCO≌△ADB(AAS)，
∴BC=AD，CO=BD，
∵点B在反比例函数y2=−2kx(x>0)的图象上，点B的横坐标为2，
∴可设B(2,−k)，
∴CO=BD=k，CB=AD=2，
∴A(2+k,2−k)，
∵点A在反比例函数y1=3kx(x>0)的图象上，
∴(2+k)(2−k)=3k，
解得k1=1，k2=−4(舍去)，
∴k的值为1，
故答案为：1．
过B作BC⊥y轴于C，过A作AD⊥CB于D，依据△BCO≌△ADB，即可得到BC=AD，CO=BD，设B(2,−k)，即可得到A(2+k,2−k)，依据点A在反比例函数y1=3kx(x>0)的图象上，即可得到k的值．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
18.【答案】(6070,1)
【解析】解：第一次P1(5,2)，
第二次P2(8,1)，
第三次P3(10,1)，
第四次P4(13,2)，
第五次P5(17,2)，
…
发现点P的位置4次一个循环，
∵2023÷4=505……3，
P2023的纵坐标与P3相同为1，横坐标为12×505+10=6070，
∴P2023(6070,1)，
故答案为(6070,1)．
首先求出P1～P5的坐标，探究规律后，利用规律解决问题．
本题考查坐标与图形的旋转、规律型：点的坐标等知识，学会从特殊到一般的探究规律的方法是解题的关键．
19.【答案】解：(1)2−1+| 6−3|+2 3sin45°−(−2)2023⋅(12)2023
=12+3− 6+2 3× 22+(2×12)2023
=12+3− 6+2 3× 22+12023
=12+3− 6+2 3× 22+1
=12+3− 6+ 6+1
=92；
(2)(3a+1−a+1)÷a2−4a2+2a+1
=3−(a−1)(a+1)a+1⋅(a+1)2(a+2)(a−2)
=3−a2+1a+1⋅(a+1)2(a+2)(a−2)
=(2+a)(2−a)a+1⋅(a+1)2(a+2)(a−2)
=−a−1，
∵a=−1，±2时，原分式无意义，
∴a=3，
当a=3时，原式=−3−1=−4．
【解析】(1)根据负整数指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，逆用积的乘方，进行计算即可求解；
(2)根据分式的混合运算进行计算，然后根据分式有意义的条件，将a=3代入化简结果，即可求解．
本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，掌握负整数指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，逆用积的乘方，分式的运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：(1)40；20；
(2)B组人数为40×30%=12(人)，
补全图形如下：
54°；
(3)1700；
(4)根据题意列表如下：
男1
男2
男3
女
男1
--
男2男1
男3男1
女男1
男2
男1男2
--
男3男2
女男2
男3
男1男3
男2男3
--
女男3
女
男1女
男2女
男3女
--
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中选取的2名学生恰好是一男一女的结果有6种，
∴恰好选中一男一女的概率是P=612=12．
【解析】解：(1)本次抽取测试的学生有10÷25%=40(人)，m%=8÷40×100%=20%，即m=20，
故答案为：40；20；
(2)B组人数为40×30%=12(人)，
补全图形如下：
由扇形统计图知E组所占扇形圆心角的度数为360°×640=54°；
故答案为：54°；
(3)根据调查结果，可估计该校2000名学生中，成绩大于或等于80分的学生约有2000×40−640=1700(人)，
故答案为：1700；
(4)见答案．
(1)由C组人数及其所占百分比可得总人数，用D组人数除以总人数可得m的值；
(2)总人数乘以B组对应百分比可得其人数，用360°乘以E组人数所占比例即可得出答案；
(3)总人数乘以样本中A、B、C、D组人数和所占比例即可；
(4)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图．
21.【答案】解：(1)∵CD⊥y轴于点D，且CD=4.，
∴点C的横坐标为−4，
当x=−4时，y=−32×(−4)−2=4，
∴点C(−4,4)，
又∵点C(−4,4)在双曲线y=mx(m≠0)上，
∴m=−4×4=−16，
∴双曲线的关系式为y=−16x；
(2)∵直线y=−32x−2分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴点A(−43,0)，点B(0,−2)，
即OA=43，OB=2，
∴S△AOB=12×43×2=43，
设Q(x,−16x)，
由于△QOB的面积是△AOB的面积的4倍，
∴△QOB的面积为163，
即12OB×|x|=163，
解得x=±163，
当x=163时，y=−16163=−3，
当x=−163时，y=−16−163=3，
∴点Q(163,−3)或(−163,3)．
【解析】(1)把x=−4代入可求出点C的坐标，再代入反比例函数关系式可确定m的值，进而确定反比例函数关系式；
(2)根据直线的关系式可求出与x轴、y轴的交点坐标，进而求出三角形AOB的面积，得到三角形BOQ的面积后设点Q的坐标，由三角形的面积公式列方程求解即可．
本题是反比例函数图象与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，确定点C坐标是求出反比例函数关系式的关键，用含有点Q的坐标表示三角形BOQ的面积标是解决问题的前提．
22.【答案】解：(1)直线AC是⊙O的切线，理由如下：
∵∠ABC=90°，
∴OB⊥AB，
如图，作OF⊥AC于点F，
∵AO是∠BAC的角平分线，
∴OF=OB，
∴OF是⊙O的半径，
∴直线AC是⊙O的切线；
(2)如图，连接BE，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DBE=90°，即∠2+∠3=90°．
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3．
∵OB=OD，
∴∠3=∠D，
∴∠1=∠D，
又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，
∴AEAB=BEBD=tanD=12．
【解析】(1)先判断出OB⊥AB，再利用角平分线定理即可得出结论；
(2)先判断出∠1=∠3，进而判断出∠1=∠D，得出△ABE∽△ADB即可得出结论．
本题主要考查了角平分线定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出△ABE∽△ADB是解本题的关键．
23.【答案】解：(1)设2021年到2023年每套A型健身器材售价的年平均下降率为x，
根据题意得：2.5(1−x)2=1.6，
解得：x1=0.2=20%，x2=1.8(不符合题意，舍去)．
答：2021年到2023年每套A型健身器材售价的年平均下降率为20%；
(2)由(1)可知：2023年每套B型健身器材售价为2×(1−20%)2=1.28(万元)．
设采购B型健身器材y套，则采购A型健身器材(80−y)套，
根据题意得：1.6(80−y)+1.28y≤1121.6(80−y)≤1.28y，
解得：y≥50，
∴y的最小值为50．
答：至少采购B型健身器材50套．
【解析】(1)设2021年到2023年每套A型健身器材售价的年平均下降率为x，利用2023年每套A型健身器材售价=2021年每套A型健身器材售价×(1−2021年到2023年每套A型健身器材售价的年平均下降率)2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
(2)利用2023年每套B型健身器材售价=2021年每套B型健身器材售价×(1−2021年到2023年每套B型健身器材售价的年平均下降率)2，可求出2023年每套B型健身器材的售价，设采购B型健身器材y套，则采购A型健身器材(80−y)套，根据“政府采购专项经费总计不超过112万元，并且采购A型器材费用不能大于B型器材的费用”，可列出关于y的一元一次不等式组，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
24.【答案】解：(1)由题意得：c=3x=−b2×(−1)=1，
解得：b=2c=3，
则抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3；
(2)过点E作ET//y轴交AN于点T，
由抛物线的表达式知，点N(3,0)，
则ON=OA=3，则∠OAN=45°，
由点A、N的坐标得，直线AN的表达式为：y=−x+3，
∵ET//y轴，则∠HET=∠OAN=45°，
则EH= 22ET，
设点E(x,−x2+2x+3)，则点T(x,−x+3)，
则ET=(−x2+2x+3)−(−x+3)=−(x−32)2+94，
即ET的最大值为：94，
故EH的最大值为： 22×94=9 28；
(3)由题意可知，
抛物线L1的解析式为y=−x2+2x+3+2=x2+2x+5=−(x−1)2+6，
∴C(0,5)，D(2,5)，
∴CD=2，OF=1，OC=5，
设P(0,t)，
①当△PCD∽△FOP时，PCCD=FOOP，
∴5−t2=1t，
解得：t=5− 172或t=5+ 172；
②当△PCD∽△POF时，PCCD=POOF，
∴5−t2=t1，
∴t=53；
综上所述，P点的坐标为(0,5− 172)，(0,5+ 172)或(0,53).
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)由题意得：EH= 22ET，设点E(x,−x2+2x+3)，则点T(x,−x+3)，则ET=(−x2+2x+3)−(−x+3)=−(x−32)2+94≤94，即可求解；
(3)抛物线L1的解析式为y=−x2+2x+5，知C(0,5)、D(2,5)、F(1,0)，再设P(0,t)，分△PCD∽△POF和△PCD∽△POF两种情况，结合方程的解的情况求解可得．
本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、线段长度的计算、相似三角形的判定与性质及一元二次方程根的判别式等知识点．
25.【答案】【基本图形】结论：CE+CD=AC．
理由：∵△ABC与△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=60°，AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠DAE−∠CAD=∠BAC−∠CAD，即∠CAE=∠BAD，
在△CAE与△BAD中，
AB=AC∠CAE=∠BADAE=AD，
∴△CAE≌△BAD (SAS)，
∴CE=BD，
∴CE+CD=BD+CD=BC，
∵AC=BC，
∴CE+CD=AC；
【迁移运用】证明：如图2，过点D作DG//AB，交AC于点G，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠A=∠B=60°，
∵DG//AB，
∴∠CGD=∠A=60°，∠CDG=∠B=60°，
∴△CDG为等边三角形，
∴CD=DG=CG，
∵△DEF为等边三角形，
∴DE=DF，∠EDF=60°，
∵∠CDG−∠EDG=∠EDF−∠EDG，即∠CDE=∠FDG，
在△CDE与△GDF中，
DC=DG∠CDE=∠GDFDE=DF，
∴△CDE≌△GDF(SAS)，
∴CE=GF，
∴CE+CD=GF+CG=CF；
【类比探究】CD+CF=CE，
理由如下：如图3，过点D作DG//AB，交AC于点G，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠A=∠B=60°，
∵DG//AB，
∴∠CGD=∠A=60°，∠CDG=∠B=60°，
∴△CDG为等边三角形，
∴CD=DG=CG，
∵△DEF为等边三角形，
∴DE=DF，∠FDE=60°，
∵∠GDC+∠CDF=∠EDF+∠CDF，即∠GDF=∠CDE，
在△CDE与△GDF中，
DC=DG∠CDE=∠GDFDE=DF，
∴△CDE≌△GDF(SAS)，
∴CE=GF，
∵GF=CF+CG=CF+CD，
∴CD+CF=CE．
【解析】【基本图形】证明△CAE≌△BAD，根据全等三角形的性质得到CE=BD，证明结论；
【迁移运用】过点D作DG//AB，交AC于点G，证明△CDE≌△GDF，得到CE=GF，证明结论；
【类比探究】过点D作DG//AC，交AB于点G，仿照【迁移运用】的证明方法证明即可．
本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
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