2022-2023学年山东省淄博市淄川区等五地九年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省淄博市淄川区等五地九年级（下）期中数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为人，这个数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  把一副三角板放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则的度数是(    )

 

A.  B.  C.  D.

5.  某工艺品厂草编车间共有名工人，为了了解每个工人的日均生产能力，随机调查了某一天每个工人的生产件数，获得数据如下表，则这一天名工人生产件数的众数是(    )

A. 件 B. 件 C. 件 D. 件

6.  中国古代人民很早就在生产生活种发现了许多有趣的数学问题，其中孙子算经中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余辆车，若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有辆车，则可列方程(    )

A.  B.
C.  D.

7.  不等式的负整数解是，，那么的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  “淄博烧烤”火了，许多游客纷纷从外地来到淄博吃烧烤如图，济南的小李乘坐高铁由济南来淄博吃烧烤时，在距离铁轨米的处，观察他所乘坐的由济南经过淄博开往青岛的的“和谐号”动车他观察到，当“和谐号”动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上；秒钟后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上小李根据所学知识求得，这时段动车的平均速度是米秒．(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在平行四边形中，，，垂足在线段上，、分别是、的中点，连接，、的延长线交于点，则下列结论：；：；其中，正确结论的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10.  如图，是的直径，，，，则阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

11.  如图，尺规作图，作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交，于，，再分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，由作法得≌的根据是     (    )

 

A.  B.  C.  D.

12.  直线，且与的距离为，与的距离为，把一块含有角的直角三角形如图放置，顶点，，恰好分别落在三条直线上，与直线交于点，则线段的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  用教材中的计算器进行计算，开机后依次按下，把显示结果输入如图的程序中，则输出的结果是______．

 

14.  如图，已知的内切圆与边相切于点，连接，若，则的度数是          ．
 

15.  若关于的一元二次方程为实数在的范围内有解，则的取值范围是______．

16.  如图，点的坐标为，点是线段上的一个动点不运动至，两点，过点作轴，垂足为，以为边在右侧作正方形连接并延长交轴的正半轴于点，连接，若以，，为顶点的三角形与相似，点的坐标是______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17.  计算；
；
 

四、解答题（本大题共6小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
如图，点在反比例函数的图象在第二象限内的分支上，轴于点，是原点，且的面积为试解答下列问题：
比例系数______；
在给定直角坐标系中，画出这个函数图象的另一个分支；
当时，写出的取值范围．

19.  本小题分
在四川汶川地震灾后重建中，某公司拟为灾区援建一所希望学校．公司经过调查了解：甲、乙两个工程队有能力承包建校工程，甲工程队单独完成建校工程的时间是乙工程队的倍，甲、乙两队合作完成建校工程需要天．
甲、乙两队单独完成建校工程各需多少天？
在施工过程中，该公司派一名技术人员在现场对施工质量进行全程监督，每天需要补助元．若由甲工程队单独施工时平均每天的费用为万元．现公司选择了乙工程队，要求其施工总费用不能超过甲工程队，则乙工程队单独施工时平均每天的费用最多为多少？

20.  本小题分
如图，在矩形中，，，是的中点，于点．
求证：∽；
求的长．
 

21.  本小题分
如图，已知是的直径，，是上的点，，交于点，连结．
求证：；
若，，求的长．

22.  本小题分
如图，点是正方形边上一点，连接，作于点，于点，连接．
求证：；
已知，四边形的面积为，求的正弦值．

23.  本小题分
如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，点的坐标为，顶点的坐标为．

求二次函数的解析式和直线的解析式；
点是直线上的一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，当点在第一象限时，求线段长度的最大值；
在抛物线上是否存在异于点、的点，使中边上的高为？若存在求出点的坐标；若不存在请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故本选项正确；
B、，故本选项错误；
C、和不是同类项，不能合并，故本选项错误；
，故本选项错误．
故选：．
A、根据幂的乘方的定义解答；
B、根据同底数幂的乘法解答；
C、根据合并同类项法则解答；
D、根据积的乘方的定义解答．
本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数中，当，时函数的图象在一、二、三象限．
先根据正比例函数的函数值随的增大而增大判断出的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论．
【解答】
解：正比例函数的函数值随的增大而增大，
，
，
一次函数的图象经过一、二、三象限，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键．
过直角顶点作直线平行于直角三角板的斜边，利用平行线的性质结合已知角得出答案．
【解答】
解：过直角顶点作直线平行于直角三角板的斜边，

可得：，，
故的度数是：．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：根据统计表可知，出现的次数最多，
故这一天名工人生产件数的众数是．
故选：．
根据众数的定义解答即可，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
本题考查了众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
 

6.【答案】 

【解析】解：设有辆车，则可列方程：
．
故选：．
根据每三人乘一车，最终剩余辆车，每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示总人数是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
解不等式得出，根据不等式的负整数解是，，知，解之可得．
本题主要考查解一元一次不等式的能力，根据一元一次不等式的整数解确定的取值范围是解题的关键．
【解答】
解：，
，
不等式的负整数解是，，
，
解得：，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：作于点．
在中，，
米，米，
同理，米．
则米．
则平均速度是米秒．
故选：．
作于点，在中利用三角函数求得的长，在中，利用三角函数求得的长，则即可求得，进而求得速度．
本题考查解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：是的中点，
，
在▱中，，
，
，
，
，
，
，故此选项正确；
延长，交延长线于，
四边形是平行四边形，
，
，
为中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，故正确；
，
，
，

故错误；
设，则，
，
，
，
，
，故此选项正确．
故选：．
由在平行四边形中，，是的中点，易得，继而证得；然后延长，交延长线于，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出≌，得出对应线段之间关系进而得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出≌是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接．
，
，
故，即可得阴影部分的面积等于扇形的面积，
又，
，
，
，
，即阴影部分的面积为．
故选：．
连接，则根据垂径定理可得出，继而将阴影部分的面积转化为扇形的面积，代入扇形的面积公式求解即可．
本题考查的是垂径定理，熟知平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，认真阅读作法，从角平分线的作法得出与的两边分别相等，加上公共边相等，于是两个三角形符合判定方法要求的条件，答案可得．
【解答】
解：以为圆心，任意长为半径画弧交，于，，即；
以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，即；
在和中，
，
≌．
故选D．  

12.【答案】 

【解析】解：分别过点、、作，，，
是等腰直角三角形，
，
，，，
，，
在与中，
，
≌
，，
与的距离为，与的距离为，
，，
在中，
，，
，
，，
∽，
，，解得，
在中，
，，
．
故选A．
分别过点、、作，，，先根据全等三角形的判定定理得出≌，故可得出及的长，在中根据勾股定理求出的长，再由相似三角形的判定得出∽，故可得出的长，在中根据勾股定理即可求出的长．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意知输入的值为，
则输出的结果为


，
故答案为：．
先根据计算器计算出输入的值，再根据程序框图列出算式，继而根据二次根式的混合运算计算可得．
本题主要考查计算器基础知识，解题的关键是根据程序框图列出算式，并熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
先根据三角形内心的性质和切线的性质得到平分，，则，然后利用互余计算的度数．
本题考查了三角形角平分线的定义、内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
【解答】
解：的内切圆与边相切于点，
平分，，
，
．
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】解：根据题意得，解得，
令，
在的范围内有解
当时，，解得，
所以的范围为．
故答案为．
先利用判别式的意义得到，再利用二次函数与一元二次方程的关系，得到当时，，则，于是得到的范围为．
本题考查了一元二次方程根的判别式，二次函数与一元二次方程．
 

16.【答案】或 

【解析】解：过点作，
点的坐标为，
，，
，
设，
四边形是正方形，
，，
，
，
以，，为顶点的三角形与相似，
，则，
，
，
∽，
，
即，
解得，
，
点的坐标为，
时，则，
，
，
∽，
，
即，
解得，
，
点的坐标为．
如图当点在点左边时，设正方形的边长为，
∽，
：：：，
，，
，
，
，
，
，
综上所述，点的坐标是或或．
故答案为：或或．
根据点坐标是可以确定，又四边形是正方形，所以，即可证明的边，再根据“以，，为顶点的三角形与相似”分，两种情况讨论，根据与相似，相似三角形对应高的比等于对应边的比列出比例式计算即可求出正方形的边长，从而的长亦可求出．
此题考查了相似三角形的性质对应高的比等于对应边的比的性质，解题的关键是根据点的坐标确定出，注意要分情况讨论，避免漏解．
 

17.【答案】解：


；



． 

【解析】先化简，再计算加减法；
先算乘方，再算乘除，最后算减法．
考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
 

18.【答案】；
如图所示：；


利用图象可得出：
当时：． 

【解析】

解：由于的面积为，则，又函数图象位于第一象限，，
则，反比例函数关系式为．
故答案为：；
见答案；
见答案．
【分析】
由反比例函数系数的几何意义可得的面积为，又函数图象位于第三象限，，求出值，得反比例函数关系式；
根据中所求解析式即可画出这个函数图象的另一个分支；
利用函数图象即可得出的取值范围．
此题主要考查了反比例函数的性质以及图象画法和利用函数图象得出函数值的取值范围，正确的利用数形结合得出是解题关键．  

19.【答案】解：设乙工程队单独完成建校工程需天，则甲工程队单独完成建校工程需．
依题意得：．
解得：．
经检验：是原方程的解．
，
答：甲需天，乙需天．

甲工程队需总费用为万元．
设乙工程队施工时平均每天的费用为万元．
则：．
解得：．
所以乙工程队施工时平均每天的费用最多为万元． 

【解析】等量关系为：甲的工效乙的工效甲乙合作的工效．
等量关系为：甲工程队总费用施工费用技术员费用；不等关系式为：乙施工费用技术员费用甲工程队总费用．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
 

20.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
又，
∽；
由知∽，
：：，
是边的中点，，
，
又，，
，
：：，
． 

【解析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质．
先根据矩形的性质，得到，则，又由，根据有两角对应相等的两三角形相似即可证明∽；
由∽，根据相似三角形的对应边成比例，即可求出的长．
 

21.【答案】证明：是的直径，
，
，
，
即，
；
解：由知，
，
，
，
． 

【解析】本题考查弧长的计算，垂径定理，以及圆周角定理．
根据平行线的性质得出，再利用垂径定理证明即可；
由知，则可求出，根据弧长公式解答即可．
 

22.【答案】证明：四边形为正方形，
，，
于点，于点，
，，
，，
，
在和中
，
≌，
；
解：设，则，，
四边形的面积为，
，解得，舍去，
，
在中，，
． 

【解析】通过证明≌得到；
设，则，，利用四边形的面积等于的面积与的面积之和得到，解方程求出得到，则，然后利用勾股定理计算出，最后利用正弦的定义求解．
本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．也考查了解直角三角形．
 

23.【答案】解：抛物线的顶点的坐标为，
可设抛物线解析式为，
点在该抛物线的图象上，
，解得，
抛物线解析式为，即
点在轴上，令可得，
点的坐标为，
可设直线解析式为，
把点代入可得，解得，
直线解析式为．
设点横坐标为，则点坐标为，点坐标为，
点在第一象限，
点在点的上方，
，
当时，有最大值．
存在满足条件的点，理由如下：
如图，过点作轴交于点，交轴于点，过点作于点，

设点坐标为，则点坐标为，
，
是等腰直角三角形，
，
，
， 
，
，
，
，
，
当中边上的高为时，即，
，
，
当时，，方程无实数根，
当时，解得或，
或，
综上可知存在满足条件的点，其坐标为或． 

【解析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质及方程思想等知识．
在中主要是待定系数法的考查，注意抛物线顶点式的应用；
在中用点坐标表示出的长是解题的关键；
在中构造等腰直角三角形求得的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
注意：在中异于点、的点不一定在第一象限，所以用点的纵坐标减点的纵坐标时要加绝对值符号．
可设抛物线解析式为顶点式，由点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线解析式；
设出点坐标，从而可表示出的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；
过点作轴，交于点，过点作于点，可设出点坐标，表示出的长度，由条件可证得为等腰直角三角形，则可得到关于点坐标的方程，可求得点坐标．