2021-2022学年山东省东营市广饶县八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（Word解析版）

2021-2022学年山东省东营市广饶县八年级（下）期末数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列计算结果，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 已知，下列变形错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知四边形是平行四边形，下列说法正确的有(    )
   当时，它是矩形
   时，它是菱形
   当时，它是菱形
   当时，它是正方形

A.  B.  C.  D.

5. 一元二次方程的根是(    )

A.  B.
C. ， D. ，

6. 如图所示，给出下列条件：；；；其中单独能够判定∽的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，是矩形的对角线交点，平分，，的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共共握次手．若设这次会议到会的人数为人，依题意可列方程(    )

A.  B.
C.  D.

9. 如图，在平行四边形中，为边上的点，若：：，交于，则：等于(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

10. 如图，在正方形中，点是对角、的交点，过点作射线、分别交、于点、，且，、交于点给出下列结论：≌；∽；四边形的面积为正方形面积的；其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共28分）

11. 已知，则______．
12. 如果代数式有意义，那么的取值范围是______．
13. 如果关于的一元二次方程有一个解是，那么的值是______．
14. 一个菱形的周长为，一条对角线长为，则其面积为______ ．
15. 如图，是一个长为，宽为的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草如图所示，要使种植花草的面积为，那么小道进出口的宽度应为______

16. 如图，将沿方向平移得到，与重叠部分图中阴影部分的面积是的面积的一半，已知，平移的距离为______．
17. 分如图，菱形的对角线相交于点，，，点为边上一点，且不与写、重合．过作于，于，连接，则的最小值等于____．
18. 如图，在中，，，点，，分别在、、上，且四边形是正方形，点，，分别在、，上，且四边形是正方形，，点，，分别在，，上，且四边形是正方形，则线段的长度是______．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

19. 按要求化简或解方程．
    ；
    ；
    解方程．
20. 已知关于的一元二次方程．
    求证：无论取任何实数，方程总有实数根；
    若等腰三角形的其中一边为，另两边是这个方程的两根，求的值．
21. 如图所示，图中的小方格都是边长为的正方形，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
    
    画出位似中心点；
    直接写出与的位似比；
    以位似中心为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，并直接写出各顶点的坐标．
22. 如图，在矩形中，、相交于点，过点作，且使得，连接，．
    求证：；
    判断四边形的形状，并说明理由．

23. 年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢．某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店年月的“冰墩墩”销量为万件，年月的“冰墩墩”销量为万件．
    求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
    该零售店月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价元的“冰墩墩”按每件元出售，每天可销售件，在此基础上售价每涨元，那么每天的销售量就会减少件，该零售店要想每天获得元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元？
24. 学完了图形的相似这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑的高度如图如图，在地面上取，两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且古建筑，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到处，从处观察点，，，三点成一线；从标杆后退到处，从处观察点，，，三点也成一线．请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑的高度．
     

25. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接，．
    求证：四边形是平行四边形；
    当为何值时，四边形为菱形？说明理由；
    当为何值时，与相似？说明理由．

26. 小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．
    

如图，垂直于地面放置的正方形框架，边长为，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子，的长度和为那么灯泡离地面的高度为____．

不改变图中灯泡的高度，将两个边长为的正方形框架按图摆放，请计算此时横向影子，的长度和为多少？

有个边长为的正方形按图摆放，测得横向影子，的长度和为，求灯泡离地面的距离．写出解题过程，结果用含，，的代数式表示

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、原式，故A不符合题意．
B、与不是同类二次根式，故B不符合题意．
C、原式，故C符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：．
根据二次根式的加减运算以及二次根式的性质即可求出答案．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及二次根式的加减运算，本题属于基础题型．
 

2.【答案】 

【解析】解：中，没有实数根；
B.中，有两个相等实数根；
C.中，没有实数根；
D.中，有两个不相等的实数根；
故选：．
分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，
两边都除以得：，故本选项不符合题意；
B、，
两边都除以得：，故本选项符合题意；
C、，
两边都除以得：，故本选项不符合题意；
D、，
两边都除以得：，故本选项不符合题意；
故选：．
根据比例的性质进行变形，再判断即可．
本题考查了比例的性质，能熟练地运用比例的性质进行变形是解此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：若，则▱是菱形，选项说法错误；
若，则▱是菱形，选项说法正确；
若，则▱是矩形，选项说法错误；
若，则▱是矩形，选项说法错误；
故选：．
根据已知及各个特殊四边形的判定方法对各个选项进行分析从而得到最后答案．
此题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
或，
所以，．
故选：．
先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想．
 

6.【答案】 

【解析】解：有三个．
，再加上为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
，再加上为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
中不是已知的比例线段的夹角，不正确
可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；
故选：．
由图可知与中为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答．
本题考查了相似三角形的判定，此题主要考查学生对相似三角形判定定理的理解和掌握，难度不大，属于基础题，要求学生应熟练掌握．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，，，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
根据矩形的性质可得：，，，又由平分，，即可求得：与的度数，以及是等边三角形，是等腰三角形，即可得：是等腰三角形，求得的度数，则问题得解．
此题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，关键在证明．
 

8.【答案】 

【解析】解：依题意得：．
故选：．
利用参会人员共握手次数参会人数参会人数，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：：：，
设，则，，
四边形是平行四边形，
，，
∽，
，
故选D．
通过证明∽，可得：，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：在正方形中，，，，
，
，
，
，
故正确；
由全等可得，
，，
∽，
故正确；
由全等可得四边形的面积与面积相等，
四边形的面积为正方形面积的，
故正确；
，
，
四边形为正方形，
，
，
在中，，
，
，，
∽，
，
，
，
故不正确；
综上所述，正确的是，
故选：．
利用相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定逐一分析即可得出正确答案．
本题主要考查相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定，解题的关键是利用旋转全等证明出，属于选择压轴题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故答案为：．
根据比例的性质，进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式和分式有意义的条件列不等式组求解．
本题考查二次根式和分式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件被开方数为非负数，分式有意义的条件分母不能为零是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意，把代入，得，
解得，．
又，即，
则符合题意．
故答案是：．
把代入计算即可得到的值，注意二次项系数不为．
本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程的定义．已知方程的一个根，解题时往往都是将其代入方程进行计算其它字母的值或是去求方程的另一根等．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图所示：
四边形是菱形，
，，，，
菱形的周长为，
，
在中，根据勾股定理得：，
，
菱形的面积，
故答案为．
先由菱形的周长求出边长，再根据菱形的性质求出，然后由勾股定理求出，即可得出，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．
本题考查了菱形的性质以及勾股定理的运用；熟练掌握菱形的性质和运用勾股定理计算是解决问题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设小道进出口的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，符合题意；
当时，，不合题意，舍去．
故答案为：．
设小道进出口的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积计算公式，结合种植花草的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：沿边平移到的位置，
，
∽，
，
：：，
，
，
平移的距离为：，
故答案为．
移动的距离可以视为或的长度，根据题意可知与阴影部分为相似三角形，且面积比为：，所以：：，推出，所以．
本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，关键在于求证与阴影部分为相似三角形．
 

17.【答案】略 

【解析】解：连接，如图所示：

四边形是菱形，，，
，，，
，
，，，
四边形是矩形，
，
当时，有最小值，
此时，
，
的最小值为，
故答案为：．
由菱形的性质可得，，，再由勾股定理可求的长，然后证四边形是矩形，得，时，有最小值，最后由面积法可求解．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理以及三角形面积等知识；掌握菱形的性质好矩形的判定与性质是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，
设，则，
解得：，
，
同理，，
，
，
的长度是，
线段的长度是：．
故答案为：．
根据相似三角形的性质求出，，的值，找出规律即可求出的长度，从而可求解．
此题属规律性题目，考查了相似三角形的性质及正方形的性质，解答此题的关键是求出，，的值，找出规律，根据此规律求解．
 

19.【答案】解：原式

；
原式


；
原方程整理得：，
，，，
，
，
，． 

【解析】根据二次根式的性质以及二次根式的运算法则计算即可；
分别根据二次根式的乘除法法则，任何非零数的零次幂等于以及二次根式的性质化简即可；
利用公式法求解即可．
本题考查了二次根式的混合运算以及利用公式法解一元二次方程，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
 

20.【答案】证明：．
，即，
无论取任何实数，方程总有实数根；
解：当腰为时，
把代入，
得，，解得；
当底为时，
则程有两相等的实数根，
，
，
，
综上所述，的值为或． 

【解析】根据根的判别式的意义得的值，于是得到结论；
分两种情况：当腰为时，当底为时，解方程即可得到结论．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；也考查了解一元二次方程．
 

21.【答案】解：如图，

 ：，
，，． 

【解析】各对应点连线的交点即为位似中心；
任意一对对应边的比即为两三角形的位似比；
根据坐标系直接直接写出点的坐标．
本题考查了位似图形位似比与位似中心的确定，注意位似比为所给两三角形对应边的比，位置不能颠倒；
 

22.【答案】证明：四边形是矩形，
，，．
，，
，．
四边形是平行四边形．
；
解：四边形是菱形．
理由如下：
，．
，．
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形． 

【解析】根据矩形的性质和平行四边形的判定解答即可；
根据菱形的判定解答即可．
此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和平行四边形的判定解答．
 

23.【答案】解：设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为，
由题意可得，，
解得，舍去，
答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为．
设每件商品的售价应该定为元，
则每件商品的销售利润为元，
每天的销售量为件，
依题意可得，
解得，，
要使销量尽可能大，
，
答：每件商品的售价应该定为元． 

【解析】设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为，由题意可列方程为，求解即可．
设每件商品的售价应该定为元，根据题意可列方程为，求出的值，再使其满足销量尽可能大即可．
本题考查一元二次方程的应用，能根据已知条件列出方程是解答本题的关键．
 

24.【答案】解：设，由题意可知，
∽，∽，
，，
，
，
，
解得：，
则，即，
解得：，
答：该古建筑的高度为米． 

【解析】设，由题意可知两组三角形相似，利用相似比找出关于的方程，即可求出建筑物的高度．
本题考查了相似三角形的应用，求出的值是解题的关键．
 

25.【答案】证明：由题意知，，，则，，
，，，
，，即．
，
，
四边形是平行四边形；
解：四边形是平行四边形，且，，
当，即时，四边形是菱形．
解得，
故当时，四边形为菱形；
解：当时，∽，
，
，
秒；
当时，∽，
．
．
秒．
秒或秒时与相似． 

【解析】由题意知、，根据中得、，由知、，从而得出，据此可得证；
由即可得；
分∽、∽两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可．
本题属于相似综合题，主要考查的是菱形的判定、相似三角形的性质、直角三角形的性质，掌握相似三角形的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
 

26.【答案】解：设灯泡离地面的高度为，
，
，．
∽．
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得，
，
解得．

设横向影子，的长度和为，
同理可得，
解得；
记灯泡为点，如图：


，，．
∽．
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得．
设灯泡离地面距离为，由题意，得，，，，

． 

【解析】设灯泡的位置为点，易得∽，设出所求的未知数，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，可得灯泡离地面的高度；
同法可得到横向影子，的长度和；
按照相应的三角形相似，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，用字母表示出其他线段，即可得到灯泡离地面的距离．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，注意运用相似三角形对应高的比等于相似比这个性质．