2022-2023学年山东省烟台市莱州市九年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省烟台市莱州市九年级（下）期中数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  不等式在数轴上表示为(    )

A.  B.
C.  D.

3.  如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，若再增加一块相同的正方体，使主视图和左视图都不变，第五块正方体摆放的位置有个．(    )

A.
B.
C.
D.

4.  中国古代建筑中的窗格图案美观大方，寓意吉祥，下列绘出的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D. ．

6.  “易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，太极图是我国古代文化关于太极思想的图示，内含表示一阴一阳的图形一黑一白如图，在正方形的内切圆中画出太极图，然后在正方形内随机取一点，则此点取自太极图中黑色部分的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列说法正确的是(    )

A. 用计算器进行计算时，其按键顺序如下：，则输出的结果为
B. 计算器上先输入某数，再依次按键显示的结果是，则原来输入的某数是
C. 用计算器求一组数据的平均数，其按键顺序如下：，则输出的结果为
D. 用计算器进行计算，在输入数据过程中，如果发现刚输入的数据有错误，可按键清除最后一步，再重新输入正确数据

8.  据媒体报道，我国因环境污染造成的巨大经济损失，每年高达元，这个数用科学记数法表示正确的是(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

9.  二次函数的图象如图所示，以下结论正确的个数为(    )
；；；为任意实数

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

10.  如图，在平面直角坐标系中．四边形是平行四边形，其中、将▱在轴上顺时针翻滚．如：第一次翻滚得到▱，第二次翻滚得到▱，则第五次翻滚后，点的对应点坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  因式分解：        ．

12.  要使算式的运算结果最大，则“”内分别填入，，，中的一个符号不重复使用，使计算所得的结果最大，则这个最大的结果为______ ．

13.  如果过多边形的一个顶点共有条对角线，那么这个多边形的内角和是______ 度

14.  已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面展开图的圆心角是_____度．

15.  七巧板被誉为“东方魔板”，小丽利用七巧板如图甲中的各板块拼成一个“帆船”如图乙，则“帆船”的长与高之比为______．

16.  如图，正方形的两个顶点、落在双曲线上，点、分别落在轴与轴的正半轴上，则正方形的边长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
某市为了解八年级学生视力健康状况，在全市随机抽查了名八年级学生年初的视力数据，并调取该批学生年初的视力数据，制成如下统计图不完整：
青少年视力健康标准

根据以上信息，请解答：
分别求出被抽查的名学生年初视力正常类别的人数和年初轻度视力不良类别的扇形圆心角度数．
若年初该市有八年级学生人，请估计这些学生年初视力正常的人数比年初增加了多少人？
国家卫健委要求，全国初中生视力不良率控制在以内请估计该市八年级学生年初视力不良率是否符合要求？并说明理由．

 

19.  本小题分
如图，平行四边形纸片中，折叠纸片使点落在上的点处，得折痕，再折叠纸片使点落在上的点，得折痕．
请说明：；
请说明：．

20.  本小题分
共享单车为大众出行提供了方便，图为单车实物图，图为单车示意图，与地面平行，点、、共线，点、、共线，坐垫可沿射线方向调节．已知，，，车轮半径为，小明体验后觉得当坐垫离地面高度为时骑着比较舒适，求此时的长．结果精确到参考数据：，，，

 

21.  本小题分
草莓是一种极具营养价值的水果，某水果店以元购进两种不同品种的盒装草莓，若按标价出售可获毛利润元毛利润售价进价，这两种盒装草莓的进价、标价如下表所示：

求这两个品种的草莓各购进多少盒；
该店计划下周购进这两种品种的草莓共盒每种品种至少进盒，并在两天内将所进草莓全部销售完毕损耗忽略不计因品种草莓的销售情况较好，水果店计划购进品种的盒数不低于品种盒数的倍，且品种不少于盒如何安排进货，才能使毛利润最大，最大毛利润是多少？
该店第二次进货时采用了中的设计方案，并且两次购进的草莓全部售出，请从利润率的角度分析，对于该店来说哪一次更合算？注：利润率．

22.  本小题分
如图，为正的外接圆．
尺规作图：作的角平分线交于点．
过点作的切线，交的延长线于点．
求证：．
连接，若，求的半径．

23.  本小题分
如图，在中，，点，分别为，的中点，连接将绕点逆时针旋转，连接并延长与直线交于点．

若，将绕点逆时针旋转至图所示的位置，则线段与的数量关系是        ；
若，将绕点逆时针旋转，则的结论是否仍然成立？若成立，请就图所示的情况加以证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；
若，，将旋转至时，请求出此时的长．

24.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的图象与轴交于点，两点，点坐标为，点坐标为，与轴交于点．
求抛物线的函数解析式；
若将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于一点，交轴于点，使，求直线函数解析式；
在条件下若将线段平移点，的对应点，，若点落在抛物线上且点落在直线上，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
原式利用绝对值的代数意义化简即可．
此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：不等式的解集在数轴上表示为
，
故选：．
根据在数轴上表示不等式解集的方法表示出不等式的解集，再得出符合条件的选项即可．
此题主要考查了用数轴表示不等式的解集，关键是掌握：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线．
 

3.【答案】 

【解析】解：再增加一块相同的正方体，使主视图和左视图都不变，第五块正方体摆放的位置只有在图中的阴影部分，
故选：．
根据解答组合体的三视图进行判断即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体的三视图的画法和形状是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】
解：是轴对称图形又是中心对称图形，而，，选项不满足要求．
故选B．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了合并同类项，积的乘方和幂的乘方单项式乘单项式，完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则和完全平方公式分别化简得出答案．
【解答】
解：，故此选项错误；
B.，故此选项错误；
C.，正确；
D.，故此选项错误；
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：根据图形的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，
设圆的半径为，则正方形的面积为，
所以黑色部分的面积为，
则所求的概率．
故选：．
根据图形的对称性求出黑色图形的面积，利用几何概型的概率公式计算可得．
本题主要考查了几何概型的概率计算问题，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，计算器求三角函数值时，后面少按了“”，故A不正确；
，按选项所给的按键顺序可以求出原来输入的数，故B正确；
，按键中多了“，”，故C不正确；
，清除刚输入错的数据时，按“”键，故D不正确．
故选：．
运用计算器进行验证计算即可．
本题考查计算器的使用，正确使用计算器是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查科学记数法的应用．对于较大数用科学记数法表示时，中的应为，应为整数数位减科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数．
【解答】
解：元．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，
，
对称轴，
、同号，而，
，
抛物线与轴的交点在轴的负半轴，
，
，
因此正确；
由于抛物线过点点，
，
又对称轴为，即，
，
，
即，
而，
，
因此正确；
由图象可知，抛物线与轴的一个交点坐标为，而对称轴为，由对称性可知，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
，
因此正确；
由二次函数的最小值可知，
当时，，
当时，，
，
即，
因此不正确；
综上所述，正确的结论有，共个，
故选：．
根据二次函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标以及最大小值，对称性进行判断即可．
本题考查二次函数图象和性质，掌握二次函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标以及最值与系数、、的关系是正确判断的前提．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形．其中、，
，
，，
▱在轴上顺时针翻滚，四次一个循环，
第五次点的坐标为，
把点向上平移个单位得到点，
第五次翻滚后，点的对应点坐标为
故选：．
▱在轴上顺时针翻滚，四次一个循环，推出第五次点的坐标为，利用平移的性质求出对应点的坐标即可；
本题考查平行四边形的性质、规律型问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
这个最大的结果为，
故答案为：．
根据题意，可以分别计算出，，，的结果，然后比较大小，即可解答本题．
本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：过多边形的一个顶点共有条对角线，
，
，
该多边形边数为，
，
这个多边形的内角和为．
故答案为：．
从多边形一个顶点可作条对角线，则这个多边形的边数是，边形的内角和可以表示成，代入公式就可以求出内角和．
本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要熟记的内容，比较简单．
 

14.【答案】 

【解析】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为，
根据题意得，
解得，
即圆锥的侧面展开图的圆心角为．
故答案为．
设圆锥的侧面展开图的圆心角为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，设大正方形的边长为，

则大等腰直角三角形的直角边为，小正方形的边长为，平行四边形的两边分别为和，
则在图乙中，，，，
则“帆船”的长为：，“帆船”的高为：，
“帆船”的长与高之比为．
故答案为：．
设大正方形的边长为，分别表示三种等腰直角三角形和小正方形的边长，再表示帆船的长与高即可．
本题主要考查七巧板相关内容，由正方形的边长得出各个几何图形的边长是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：作轴于，轴于，
设，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
同理，≌，
，，
，
点、落在双曲线上，
，
，
，
，
，
正方形的边长为，
故答案为：．
设，，由正方形可以通过作辅助线，构造全等三角形，进而表示求出、的坐标，利用，得到，即可得到，然后根据勾股定理求得．
本题考查反比例函数的图象和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质，表示出点、的坐标是解决问题的关键．
 

17.【答案】解：原式

，
解方程，得，，
由题意得：，
当时，原式． 

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，解方程求出的值，根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

18.【答案】解：被抽查的名学生年初轻度视力不良的扇形圆心角度数．
该批名学生年初视力正常人数人．

该市八年级学生年初视力正常人数人．
这些学生年初视力正常的人数人，
估计增加的人数人．
估计这些学生年初视力正常的人数比年初增加了人．

该市八年级学生年视力不良率．
．
该市八年级学生年初视力不良率符合要求． 

【解析】利用年初视力不良的百分比乘即可求解．
分别求出、年初视力正常的人数即可求解．
用即可得该市八年级学生年视力不良率，即可判断．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

19.【答案】解：折叠纸片使点落在上的点处，
，
折叠纸片使点落在上的点，
，
，
，
；
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
由折叠的性质得，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
由折叠的性质的，，
，
． 

【解析】根据折叠的性质得到，，根据平角的定义即可得到结论；
根据平行四边形的性质得到，求得，得到，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，推出四边形是平行四边形，于是得到结论．
本题考查了翻折变换折叠问题，平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

20.【答案】解：过点作，交于，交地面于

由题意可知，当时，，
中，，，
，
． 

【解析】过点作，交于，通过构建直角三角形解答即可．
本题主要考查了解直角三角形的应用，正确构建直角三角形是解答本题的关键．
 

21.【答案】解：设品种的草莓购进盒，品种的草莓购进盒，
由题意可得，，
解得，
答：品种的草莓购进盒，品种的草莓购进盒；
设品种的草莓购进盒，则品种的草莓购进盒，毛利润为元，
由题意可得，，
，
随的增大而减小，
水果店计划购进品种的盒数不低于品种盒数的倍，且品种不少于盒，
，
解得，
当时，取得最大值，此时，，
答：当品种的草莓购进盒，品种的草莓购进盒时，才能使毛利润最大，最大毛利润是元；
第一次的利润率为：，
第二次的利润率为：，
，
对于该店来说第一次更合算． 

【解析】根据某水果店以元购进两种不同品种的盒装草莓，按标价出售可获毛利润元和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
根据题意，可以写出毛利润和购买种草莓数量的函数关系式，然后根据水果店计划购进品种的盒数不低于品种盒数的倍，且品种不少于盒，可以得到相应的不等式，求出种草莓数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到如何安排进货，才能使毛利润最大，最大毛利润是多少；
分别求出两次的利润率，比较即可．
本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系和不等关系，列出相应的方程组和不等式组，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质解答．
 

22.【答案】解：如图，连接并延长交于，射线即为的平分线；

证明：如图：


是正三角形，平分，
，
是的切线，过点，
，
；
解：如图：

是正三角形，
，
平分，

设的半径是，
在中，，，
，
在中，，
，
解得负值已舍去，
的半径为． 

【解析】根据为正的外接圆，连接并延长交于即可；
根据切线性质得，根据正三角形性质可证；
设半径是，在中表示出，在中，根据勾股定理列出方程求得．
本题考查了正三角形的性质，圆的切线的性质以及解直角三角形等有关知识，解决问题的关键是熟练掌握图形的性质．
 

23.【答案】 

【解析】解：，点，分别为，的中点，
，
，
，
，
≌，
；
故答案为：；
此时的结论不成立，与的数量关系为．
理由如下：点，分别为，的中点，
，，
，
，
，
∽．
，
；
，
，
在中，，
由知，∽，
，，
，
又，
四边形是矩形，
，
．
根据题意易得，然后可证≌，进而问题可求解；
由题意易得，，然后可得∽，进而问题可求解；
由题意易得，根据勾股定理可得，然后由可求得，进而问题可求解．
本题主要考查相似三角形的性质与判定、矩形的性质与判定、勾股定理及旋转的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、矩形的性质与判定、勾股定理及旋转的性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：设抛物线的解析式为：，
，
解得：，
则抛物线的解析式为：；

由抛物线的解析式知，点，
，则点、关于轴对称，
点，
设直线的解析式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
直线的解析式为：；

设点，点，
由题意知，、、、组成的几何图形为平行四边形，
则点向右平移个单位向上平移个单位得到点，同样向右平移个单位向上平移个单位得到，
则，
解得：或或舍去，
即点的坐标为或． 

【解析】用待定系数法即可求解；
由，则点、关于轴对称，得到点，进而求解；
由题意知，、、、组成的几何图形为平行四边形，则点向右平移个单位向上平移个单位得到点，同样向右平移个单位向上平移个单位得到，即可求解．
本题考查了二次函数综合题，涉及到点的对称性、平行四边形的性质、一次函数的性质等，综合性强，难度适中．